廣東省揭陽市榕城區(qū)古溪中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含詳解）

第1頁（共1頁）古溪中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）剪紙是中國最古老的民間藝術(shù)之一，被列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．以下幾幅剪紙作品中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若分式x2?9x?3A．±3 B．﹣3 C．3 D．﹣23．（3分）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2） B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y C．（x+3）2＝x2+6x+9 D．a(chǎn)x+bx+c＝x（a+b）+c4．（3分）如圖，點A、B、C、D都在方格紙的格點上，若△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△COD的位置，則旋轉(zhuǎn)的角度為（）A．90° B．75° C．60° D．45°5．（3分）若a＜b，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．a(chǎn)+2＜b+2 B．3﹣a＜3﹣b C．4a＜4b D．a(chǎn)6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分線交AC于點D，DE⊥BC于點E，若△ABC與△CDE的周長分別為13和3，則AB的長為（）A．10 B．16 C．8 D．57．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（3，2）關(guān)于原點的對稱點P′的坐標(biāo)是（）A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（﹣3，﹣2）8．（3分）如圖，若一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過點A（0，﹣1），B（2，1），則不等式kx+b＜1的解集為（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜09．（3分）某班學(xué)生去距學(xué)校12千米的博物館參觀，一部分同學(xué)騎自行車先走，過了20分鐘后，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的平均速度是騎車同學(xué)速度的3倍，設(shè)騎車同學(xué)的平均速度為x千米/時，則下列方程正確的是（）A．123x?12xC．123x+12x10．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E、F兩動點分別在線段AD、線段AB上運動，若∠BAC＝40°，則當(dāng)BE+EF取得最小值時，∠BEF的度數(shù)為（）A．90° B．60° C．50° D．40°二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）分解因式x﹣xy的結(jié)果為．12．（3分）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線交于點O，若∠BOC＝80°，則∠A＝．13．（3分）如果不等式組x＜5x≤m的解集為x＜5，那么m的取值范圍是為14．（3分）如圖，在Rt△ACD中，∠DAC＝90°，點B為AD延長線上一點，且BD＝AC，連接BC，點F、E分別為BC、AD的中點，連接AF、EF，當(dāng)EF＝22，AE＝1時，則BC的長度為．15．（3分）如圖，△ABC的周長為1，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，A′、B′、C′分別為EF、EG、GF的中點．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分別為第1個、第2個、第3個三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個三角形的周長是．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）（1）因式分解：4a3﹣12a2+9a；（2）化簡并求值：(aa?1?a)÷17．（8分）解一元一次不等式組2x?5≤33x+1018．（8分）閱讀下列材料：問題：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①∴﹣1+2＜y+2＜0+2即1＜x＜2②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．請按照上述方法，完成下列問題：（1）已知x﹣y＝5，且x＞﹣2，y＜0，①試確定y的取值范圍；②試確定x+y的取值范圍；（2）已知x﹣y＝a+1，且x＜﹣b，y＞2b，若根據(jù)上述做法得到3x﹣5y的取值范圍是﹣10＜3x﹣5y＜26，請直接寫出a、b的值．19．（9分）如圖，△ABC三個頂點都在格點上，結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題．（1）將△ABC先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，畫出經(jīng)過兩次平移后的△A1B1C1，寫出點A1，C1的坐標(biāo)；（2）將△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C1；（3）求出△A2B2C1的面積．20．（9分）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，延長邊CD到點F，使DF＝DC，過點F作EF∥AC，連接OF、EC．（1）求證：△ODC≌△EDF；（2）連接AF，已知OD＝DC且∠BEC＝45°，請判斷四邊形OCEF的形狀，并證明你的結(jié)論．21．（9分）2024年植樹節(jié)來臨之際，某學(xué)校計劃采購一批樹苗，參加“保護黃河，遠離霧霾”植樹節(jié)活動．已知每棵甲種樹苗比每棵乙種樹苗貴10元，用400元購買甲種樹苗的棵數(shù)恰好與用300元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？（2）學(xué)校決定購買甲、乙兩種樹苗共100棵，實際購買時，甲種樹苗的售價打九折，乙種樹苗的售價不變．學(xué)校用于購買兩種樹苗的總費用不超過3200元，最多可購買多少棵甲種樹苗？22．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系平行四邊形OABC中，點C坐標(biāo)為（2，m），點A在x軸上，CA⊥OC，∠COA＝60°．動點P從點O出發(fā)，沿射線OC以每秒2個單位的速度運動，同時，動點Q從點A出發(fā)沿AO邊向點O以每秒1個單位的速度運動．當(dāng)點Q到達點O時，點P也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）OC的長為，OA的長為；（2）當(dāng)點Q到達點O時，點P也隨之停止運動，當(dāng)t為何值時，線段PQ恰好被BC平分？（3）如圖2，若在y軸上有一點D，使得存在平行四邊形DCQP，則點D的坐標(biāo)為（直接寫出答案）．23．（12分）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB=10，D為線段AB【初步感知】（1）如圖1，連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至CE，連接AE，DE，求∠BAE的度數(shù)；【深入探究】（2）如圖2，將△ACD沿CD折疊至△ECD，射線CD與射線BE交于點F．若FE＝3EB，求△CEF的面積；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，BD＝BC，連接CD，G為線段AC上一點，作點G關(guān)于直線CD的對稱點H，點G繞B順時針旋轉(zhuǎn)45°至點K，連接HK，HB，請問CD和HK存在何種關(guān)系？并說明理由．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BBAABDDBBD一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A不符合題意；B、是中心對稱圖形，故符合題意；C、D是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故C、D不符合題意．故選：B．2．解：由題意可知：x2解得：x＝﹣3，故選：B．3．解：A．x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；B．2（2x﹣3y）＝4x﹣6y，從左邊到右邊的變形是整式乘法計算，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；C．（x+3）2＝x2+6x+9，從左邊到右邊的變形是整式乘法計算，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；D．a(chǎn)x+bx+c＝x（a+b）+c，等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；故選：A．4．解：∵△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△COD的位置，∴對應(yīng)邊OB、OD的夾角∠BOD即為旋轉(zhuǎn)角，而∠DOB＝90°．∴旋轉(zhuǎn)的角度為90°．故選：A．5．解：A、若a＜b，則a+2＜b+2，故A不符合題意；B、若a＜b，則3﹣a＞3﹣b，故B符合題意；C、若a＜b，則4a＜4b，故C不符合題意；D、若a＜b，則ak2+1故選：B．6．解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴AD＝DE，在Rt△ABD和Rt△EBD中，BD=BDAD=ED∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB＝BE，∵△ABC與△CDE的周長分別為13和3，∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，∴AB+BE＝10，∴AB＝BE＝5．故選：D．7．解：點P（3，2）關(guān)于原點的對稱點P′的坐標(biāo)是（﹣3，﹣2）．故選：D．8．解：如圖所示：不等式kx+b＜1的解為：x＜2．故選：B．9．解：若設(shè)騎車同學(xué)的平均速度是x千米/時，則汽車的平均速度為3x千米/時．根據(jù)題意，列方程得12x故選：B．10．解：如圖所示，連接CE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△BDE（SAS），∴CE＝BE，∴BE+EF＝CE+EF，∴當(dāng)C、E、F三點共線且CF⊥AB時CE+EF最小，即此時BE+EF最小，∵∠BAC＝40°，∴∠BAD=1∴∠ABD＝70°，∴當(dāng)BE+EF最小時，∠CF′B＝90°，∠BCF′＝20°，同理可得CE′＝BE′，則∠CBE′＝∠BCE′＝20°，∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，∴當(dāng)BE+EF取得最小值時，∠BEF的度數(shù)為40°，故選：D．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．解：x﹣xy＝x（1﹣y）．故答案為：x（1﹣y）．12．解：連接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分線交于點O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案為：40°．13．解：∵不等式組x＜5x≤m的解集為x∴m≥5．故答案為：m≥5．14．解：過F作FH⊥AB于H，∴∠BAC＝∠BDF＝90°，∴DF∥AC，∵點F為BC的中點，∴BF＝CF，∴BH＝AH，∴HF=12設(shè)HF＝x，∴AC＝BD＝2x，∵點E是AD的中點，∴AD＝2AE＝2，∴BH＝AH＝1+x，∴HE＝AH﹣AE＝x，∴HF＝HE，∴△HEF是等腰直角三角形，∵EF＝22，∴DE＝DF＝2，∴AC＝BD＝4，∴AB＝6，∴BC=AB2故答案為：213．15．解：由題知，因為E、F是AB、AC的中點，所以EF是△ABC的中位線，所以EF=1同理可得，EG=12AC，所以第2個三角形的周長是：12同理可得，第3個三角形的周長是12第4個三角形的周長是12…，所以第n個三角形的周長12故答案為：12三．解答題（共8小題，滿分75分）16．解：（1）4a3﹣12a2+9a＝a（4a2﹣12a+9）＝a（2a﹣3）2；（2）原式=(=?a(a?2)=?a當(dāng)a＝3時，原式＝﹣3．17．解：2x?5≤3①3x+10由①得：x≤4，由②得：x＞﹣2，∴不等式組的解集為﹣2＜x≤4，．18．解：（1）①∵x﹣y＝5，∴x＝y(tǒng)+5，∵x＞﹣2，∴y+5＞﹣2，∴y＞﹣7，∵y＜0，∴﹣7＜y＜0，②由①得﹣7＜y＜0，∴﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5②，∴﹣7﹣2＜y+x＜0+5，∴x+y的取值范圍是﹣9＜x+y＜5；（2）∵x﹣y＝a+1，∴x＝y(tǒng)+a+1，∵x＜﹣b，∴y+a+1＜﹣b，∴y＜﹣a﹣b﹣1，∴﹣y＞a+b+1，∵y＞2b，∴﹣y＜﹣2b，∴a+b+1＜﹣y＜﹣2b①，∴10b＜5y＜﹣5a﹣5b﹣5，∵2b+a+1＜y+a+1＜﹣b，∴2b+a+1＜x＜﹣b，∴6b+3a+3＜3x＜﹣3b②，∴11b+8a+8＜3x﹣5y＜﹣13b，∴①+②得：5b+5a+5+6b+3a+3＜3x﹣y＜﹣10b﹣3b，∵3x﹣y的取值范圍是﹣10＜3x﹣5y＜26，∴11b+8a+8=?10?13b=26解得：a=0.5b=?219．解：（1）如圖所示，△A1B1C1如即為所作的三角形，C1（2，0），A1（0，2）；（2）如圖所示，△A2B2C2如即為所作的三角形．（3）依據(jù)題意可知，△A2B2C1的面積與△ABC的面積相等，即長為4、寬為3的矩形的面積減去以AB、AC、BC為斜邊的直角三角形的面積：4×3?12×2×3?故△A2B2C1的面積為5．20．（1）證明：∵EF∥AC，∴∠EFC＝∠OCF，在△ODC和△EDF中，∠EFC=∠OCFDF=DC∴△ODC≌△EDF（ASA），（2）解：四邊形OCEF是正方形，理由如下，由（1）可得，△ODC≌△EDF（ASA）；∴OC＝EF，且EF∥AC，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∴∠FEO＝∠EOC，OD＝ED，∵OD＝DC，且∠BEC＝45°，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠CDE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即OE⊥CF，∴平行四邊形OCEF是菱形，∵△CDE是等腰直角三角形，且OE＝CF，∴菱形OCEF是正方形．21．解：（1）設(shè)甲種樹苗每棵的價格是x元，則乙種樹苗每棵的價格是（x﹣10）元，根據(jù)題意得：400x解得x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，也符合題意，∴x﹣10＝40﹣10＝30；∴甲種樹苗每棵的價格是40元，乙種樹苗每棵的價格是30元；（2）設(shè)購買m棵甲種樹苗，根據(jù)題意得：40×0.9m+30×（100﹣m）≤3200，解得m≤3313∵m為整數(shù)，∴m最大取33；∴最多可購買33棵甲種樹苗．22．解：（1）過C作CE⊥OA于E，如圖1，∴∠OEC＝90°，∵C（2，m），∴OE＝2，∵∠COA＝60°，∴∠ECO＝90°﹣∠COA＝30°，∴OC＝2OE＝4，∵CA⊥OC，∴∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠COA＝30°，∴OA＝2OC＝8，故答案為：4，8；（2）∵運動時間為t（0≤t≤8），由題意，得OP＝2t，AQ＝t，如圖，過Q作QN∥OC交BC于N，設(shè)PQ與BC交于M，如圖2，∵線段PQ被BC平分，∴PM＝MQ，∴平行四邊形OABC，∴CN∥OQ，又QN∥OC，∴四邊形OCNQ是平行四邊形，∴OC＝NQ＝4，∵QN∥OC，∴∠NQM＝∠CPM，在△CMP和△NMQ中，∠NQM=∠CPMPM=MQ∴△CMP≌△NMQ（ASA），∴PC＝NQ＝4，∵OC+PC＝OP，∴4+4＝2t，∴t＝4，∴當(dāng)t為4秒時，線段PQ恰好被BC平分；（3）在Rt△OCE中，∠COA＝60°，∴CE=3OE＝23∴C（2，23），∵AQ＝t，OA＝8，∴QO＝8﹣t，∴Q（8﹣t，0），過P作PF⊥OA于F，則∠PFO＝90°，如圖1，∵∠POF＝60°，∴∠OPF＝90°﹣∠POF＝30°，∴OF=12OP＝∴PF=3OF=3∴P（t，3t），∵D在y軸上，∴D（0，n），當(dāng)PC為平行四邊形對角線時，平行四邊形DCQP中，PQ∥CD，PQ＝CD，∴8﹣t﹣t＝2﹣0，∴t