2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之平均變化率與瞬時(shí)變化率

第24頁(yè)（共24頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷常考題之平均變化率與瞬時(shí)變化率一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?昆明校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，則△xA．2e B．0 C．1 D．e2．（2024秋?榆林期末）據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組列車全長(zhǎng)236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車開出站一段時(shí)間內(nèi)，速度v（m/s）與行駛時(shí)間t（s）的關(guān)系為v＝1.4t+0.3t2，t∈[0，12]，則當(dāng)t＝10s時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為（）A．4.4m/s2 B．7.4m/s2 C．17m/s2 D．20m/s23．（2024秋?商丘期末）已知某質(zhì)點(diǎn)的位移y（單位：m）與時(shí)間x（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝x4+3x2，則當(dāng)x＝1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）A．10 B．9 C．8 D．74．（2024秋?海門區(qū)期末）已知函數(shù)f(x)=A．f（x）在x＝1+Δx處的導(dǎo)數(shù) B．f（x）在x＝1處的導(dǎo)數(shù) C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均變化率 D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均變化率5．（2024秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益．已知一段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示．下列敘述中正確的是（）A．在[0，t3]這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0 B．在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率 C．甲水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率 D．乙水庫(kù)在t1時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽(yáng)光照射的關(guān)系近似為T(t)=120t+5+15，其中TA．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫下降了12℃ B．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為﹣2.4℃/min C．當(dāng)t＝5時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為﹣3℃/min時(shí)的時(shí)刻t（多選）7．（2024秋?淮安期末）已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移方程為S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（）A．該物體位移的最大值為100 B．該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度為15 C．該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是32 D．該物體的速度v和時(shí)間t時(shí)的關(guān)系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）（多選）8．（2024春?龍華區(qū)校級(jí)期中）設(shè)f（x）在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f′（x0）相等的是（）A．limΔxB．limΔxC．limΔxD．lim三．填空題（共4小題）9．（2024秋?新泰市校級(jí)期末）已知f(x)=x+1x10．（2024春?吉林期末）已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量y（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=t，則在t＝4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為mm/11．（2024春?西城區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y=x在區(qū)間[1，4]上的平均變化率k恰等于其在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，則k＝；x0＝12．（2023秋?裕安區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)y＝2x，則函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為．四．解答題（共3小題）13．（2024春?泰安期中）①在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于極限的計(jì)算，常會(huì)用到：（i）四則運(yùn)算法則：如果limx→af(x)=A，limx→ag(x)=B，則limx→a[f（x）±g（x）]=limx→af（x）±limx→ag（x）＝A±B，limx→a[f（x）?g（x）]=limx→af（x）?limx→ag（x）＝AB，若B≠0，則limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB；（ii）洛必達(dá)法則1：若函數(shù)f（x），g（1）計(jì)算：①limx②limx→0（1+2x）（2）試判斷f(x)=tanxsin2xx3是否為區(qū)間(0，π14．（2024?邢臺(tái)二模）在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，洛必達(dá)法則是解決未定式00型或∞∞型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)f（x）和g（①limx→af(x)=0②在點(diǎn)a的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g′（x）≠0；③limx→a則limx（1）用洛必達(dá)法則求limx（2）函數(shù)f(x)=1+x+x22!+x33!+?+x（3）已知g（2x）＝g（x）?cosx，g（0）＝1，x∈(-π2參考公式：limx→a15．（2024春?雙城區(qū)校級(jí)期中）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有一結(jié)論：若函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)分別為f′（x），g′（x），且limx→a②設(shè)a＞0，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈[0，a]，均有f(x)≥f(xk)成立，且limx→0f結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：（1）證明f（x）＝x3﹣3x不是區(qū)間[0，3]上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；（2）計(jì)算：limx（3）記f(t)=tant?sin2t

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷常考題之平均變化率與瞬時(shí)變化率參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CBACD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?昆明校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，則△xA．2e B．0 C．1 D．e【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率；極限及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令x＝1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義即可求解．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝xlnx，則f′（x）＝lnx+x×1x=所以f′（1）＝1+ln1＝1，則△x→0limf(1+△故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了變化的快慢與變化率，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?榆林期末）據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組列車全長(zhǎng)236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車開出站一段時(shí)間內(nèi)，速度v（m/s）與行駛時(shí)間t（s）的關(guān)系為v＝1.4t+0.3t2，t∈[0，12]，則當(dāng)t＝10s時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為（）A．4.4m/s2 B．7.4m/s2 C．17m/s2 D．20m/s2【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】通過(guò)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)變化率求解．【解答】解：v′＝0.6t+1.4，故當(dāng)t＝10時(shí)，v′＝6+1.4＝7.4，即t＝10s時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為7.4m/s2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的物理意義，是基礎(chǔ)題．3．（2024秋?商丘期末）已知某質(zhì)點(diǎn)的位移y（單位：m）與時(shí)間x（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝x4+3x2，則當(dāng)x＝1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）A．10 B．9 C．8 D．7【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】求函數(shù)y＝x4+3x2在x＝1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值．【解答】解：函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝x4+3x2，則y′＝4x3+6x，則y′|x＝1＝4+6＝10．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?海門區(qū)期末）已知函數(shù)f(x)=A．f（x）在x＝1+Δx處的導(dǎo)數(shù) B．f（x）在x＝1處的導(dǎo)數(shù) C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均變化率 D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均變化率【考點(diǎn)】平均變化率．【答案】C【分析】由已知結(jié)合函數(shù)平均變化率的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x，則f（1）＝1，f（1+Δ則式子1+Δx-1Δx(Δx＞0)故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)平均變化率的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益．已知一段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示．下列敘述中正確的是（）A．在[0，t3]這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0 B．在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率 C．甲水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率 D．乙水庫(kù)在t1時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率；平均變化率．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由平均變化率的定義分析A、B，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及瞬時(shí)變化率的定義分析C、D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，在[0，t3]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)的蓄水量減少，其平均變化率均小于0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于0，乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于0，則在[t1，t2]這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于0，而乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于0，則甲水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，乙水庫(kù)在t1時(shí)刻切線的斜率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻切線的斜率，即乙水庫(kù)在t1時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在t2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率、瞬時(shí)變化率的分析，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?連云港期末）蜥蜴的體溫與陽(yáng)光照射的關(guān)系近似為T(t)=120t+5+15，其中TA．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫下降了12℃ B．從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為﹣2.4℃/min C．當(dāng)t＝5時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為﹣3℃/min時(shí)的時(shí)刻t【考點(diǎn)】平均變化率；瞬時(shí)變化率．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】對(duì)于A，分別求出t＝0和t＝5時(shí)的蜥蜴體溫，即可得到從t＝0到t＝5的蜥蜴體溫下降量；對(duì)于B，根據(jù)平均變化率計(jì)算公式即可得出結(jié)果；對(duì)于C，求出T′（t），令t＝5，即可求出蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率；對(duì)于D，令T′（t）＝﹣3，求出t的值，即是蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為﹣3℃/min時(shí)的時(shí)刻．【解答】解：根據(jù)題意，T(t)=依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，當(dāng)t＝0時(shí)，T(0)=1205+15=39，當(dāng)t＝所以從t＝0到t＝5，蜥蜴的體溫下降了39﹣27＝12，故A正確；對(duì)于B，從t＝0到t＝5，蜥蜴體溫的平均變化率為T(5)-T(0)對(duì)于C，T'(t)=-120(t+5)2，當(dāng)t＝5時(shí)，T'(5)=對(duì)于D，令T'(t)=-故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率、瞬時(shí)變化率的計(jì)算，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?淮安期末）已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移方程為S（t）＝3t2+2（1≤t≤6）（）A．該物體位移的最大值為100 B．該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度為15 C．該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是32 D．該物體的速度v和時(shí)間t時(shí)的關(guān)系式是v（t）＝6t（1≤t≤6）【考點(diǎn)】瞬時(shí)變化率．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析位移的最大值，可得A錯(cuò)誤，由平均變化率公式可得B正確，由瞬時(shí)變化率的計(jì)算公式可得C錯(cuò)誤，由導(dǎo)數(shù)的定義可得D正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），其導(dǎo)數(shù)S′（t）＝6t（1≤t≤6），依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，S（t）＝3t2+2（1≤t≤6），t＝6時(shí)，位移取得最大值，其最大值為S（6）＝110，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度ΔSΔt=該物體在[1，4]內(nèi)的平均速度為15，B正確；對(duì)于C，S′（t）＝6t（1≤t≤6），則S′（5）＝30，即該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是30，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于S′（t）＝6t（1≤t≤6），即該物體的速度v和時(shí)間t時(shí)的關(guān)系式是v（t）＝6t（1≤t≤6），D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均變化率和瞬時(shí)變化率的計(jì)算，涉及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024春?龍華區(qū)校級(jí)期中）設(shè)f（x）在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f′（x0）相等的是（）A．limΔxB．limΔxC．limΔxD．lim【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)各項(xiàng)逐一分析，能求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于A，limΔx→0f(x0)-對(duì)于B，limΔx→0f(x0+Δx)-f對(duì)于C，limΔx→0f(x0+2對(duì)于D，limΔx→0f(x0故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?新泰市校級(jí)期末）已知f(x)=x+1x【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】-1【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：f(則f'（x）=-f'（2）=-所以limh→0f(2+h)-f(2)故答案為：-1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024春?吉林期末）已知在一次降雨過(guò)程中，某地降雨量y（單位：mm）與時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=t，則在t＝4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為14mm【考點(diǎn)】變化的快慢與變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將函數(shù)y=t關(guān)于t求導(dǎo)，再將t＝【解答】解：因?yàn)閥=所以f'∴f'故在t＝4min時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為14mm/min故答案為：14【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024春?西城區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y=x在區(qū)間[1，4]上的平均變化率k恰等于其在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，則k＝13；x0＝【考點(diǎn)】平均變化率．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】13；9【分析】由已知結(jié)合函數(shù)平均變化率及瞬時(shí)變化率的定義即可分別求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=y=x在區(qū)間[1，4]上的平均變化率k恰等于其在x＝又函數(shù)平均變化率為k=f(4)-f(1)4-1=2-1則函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為12所以x0=9故答案為：13；9【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的平均變化率及瞬時(shí)變化率定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023秋?裕安區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)y＝2x，則函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為3．【考點(diǎn)】平均變化率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】根據(jù)平均變化率的定義即可計(jì)算．【解答】解：設(shè)y＝f（x）＝2x，所以ΔyΔx故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均變化率的求解，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024春?泰安期中）①在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于極限的計(jì)算，常會(huì)用到：（i）四則運(yùn)算法則：如果limx→af(x)=A，limx→ag(x)=B，則limx→a[f（x）±g（x）]=limx→af（x）±limx→ag（x）＝A±B，limx→a[f（x）?g（x）]=limx→af（x）?limx→ag（x）＝AB，若B≠0，則limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=AB；（ii）洛必達(dá)法則1：若函數(shù)f（x），g（1）計(jì)算：①limx②limx→0（1+2x）（2）試判斷f(x)=tanxsin2xx3是否為區(qū)間(0，π【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）①1；②e2；（2）是，證明見解析．【分析】（1）①根據(jù)洛必達(dá)法則1，以此計(jì)算即可得解；②設(shè)h（x）＝lng（x），根據(jù)洛必達(dá)法則1求出limx→0lng（2）方法一，?x∈(0，π2)，均有f方法二，利用導(dǎo)數(shù)可得f（x）在(0，π2【解答】解：（1）①根據(jù)洛必達(dá)法則1，limx②設(shè)g(x)=(1+2設(shè)h(x)=∴l(xiāng)imx∴l(xiāng)imx（2）證明：∵f(x)=∴f(x2)=8tanx2si∴f=co∴?x∈(0∴f（x）是區(qū)間(0，π2方法一：由以上同理可得f(由①limx→0=lim∴?x∈(0，π2)方法二：f'設(shè)φ（x）＝3xcos2x﹣3sinxcosx+xsin2x，x∈(0，π2)，則φ′（x）＝4sinx（sin設(shè)m（x）＝sinx﹣xcosx.x∈(0，π2)，則m′（x）＝∴m（x）在(0，π2)上單調(diào)遞增，又m（∴m（x）＞0在(0，π2)上恒成立，∴φ∴φ（x）在(0，π2)上單調(diào)遞增，∵φ（∴φ（x）＞0在(0，π2)上恒成立，∴f′（∴f（x）在(0，又limx∴?x∈(0，π2)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的新定義，極限及其運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于難題．14．（2024?邢臺(tái)二模）在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，洛必達(dá)法則是解決未定式00型或∞∞型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)f（x）和g（①limx→af(x)=0②在點(diǎn)a的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g′（x）≠0；③limx→a則limx（1）用洛必達(dá)法則求limx（2）函數(shù)f(x)=1+x+x22!+x33!+?+x（3）已知g（2x）＝g（x）?cosx，g（0）＝1，x∈(-π2參考公式：limx→a【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）1；（2）函數(shù)f（x）僅在（﹣∞，0）上存在1個(gè)零點(diǎn)；（3）g（x）=sinx【分析】（1）直接利用洛必達(dá)法則求解即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(（3）由題意可得：g(2x)g(x)【解答】解：（1）limx（2）因?yàn)閒(x)=1+所以f'(x)-f(x)=-x2n-1(2n當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）=[f(x)ex]'＜0，函數(shù)h當(dāng)x＜0時(shí)，h'（x）=[f(x)ex]'＞0而limx→-∞f(x)ex=-∞，f（0）＝1所以當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=f所以函數(shù)f（x）僅在（﹣∞，0）上存在1個(gè)零點(diǎn)．（3）因?yàn)間（2x）＝g（x）?cosx，所以g(2所以g(x)g(所以將各式相乘得：g(所以兩側(cè)同時(shí)運(yùn)算極限得：limn即g(令t=x2n，原式可化為g(x)所以由（1）得：g(x)=sinxx(x≠0)，由題意函數(shù)綜上，g（x）=sinx【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．15．（2024春?雙城區(qū)校級(jí)期中）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有一結(jié)論：若函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)分別為f′（x），g′（x），且limx→a②設(shè)a＞0，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈[0，a]，均有f(x)≥f(xk)成立，且limx→0f結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：（1）證明f（x）＝x3﹣3x不是區(qū)間[0，3]上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；（2）計(jì)算：limx（3）記f(t)=tant?sin2t【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見詳解；（2）e；（3）證明見詳解．【分析】（1）根據(jù)k階無(wú)窮遞降函數(shù)的定義即可證明；（2）記g(x)=(1+x)1（3）先證明f（t）是(0，π2)上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)，可得【解答】證明：（1）記H(因?yàn)镠(1)=所以f(x)≥f(所以，f（x）＝x3﹣3x不是區(qū)間[0，3]上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)．解：（2）記g(x)=因?yàn)閘imx所以limx→0lng證明：（3）因?yàn)閒(所以f(所以f(即對(duì)任意t∈(0，所以f(因?yàn)閘imx→0sinxx=所以limn所以，t∈(0，π2)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了洛必達(dá)法則的應(yīng)用，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．變化的快慢與變化率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平均變化率：我們常說(shuō)的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來(lái)說(shuō)，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化2、瞬時(shí)變化率：變化率的概念是變化快慢的特例，我們記△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），則函數(shù)的平均變化率為：△y△x=f(x13、導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)f（x）在x＝x0處時(shí)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點(diǎn)撥】瞬時(shí)速度特別提醒：①瞬時(shí)速度實(shí)質(zhì)是平均速度當(dāng)△t→0時(shí)的極限值．②瞬時(shí)速度的計(jì)算必須先求出平均速度，再對(duì)平均速度取極限，函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)特別提醒：①當(dāng)△x→0時(shí)，比值△y△x的極限存在，則f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)；若△y△x的極限不存在，則f②自變量的增量△x＝x﹣x0可以為正，也可以為負(fù)，還可以時(shí)正時(shí)負(fù)，但△x≠0．而函數(shù)的增量△y可正可負(fù)，也可以為0．③在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：f′（x0）=△x→0limf(x導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)：①導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：f′（x）=△②可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；③可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)仍為周期函數(shù)；④并不是所有函數(shù)都有導(dǎo)函數(shù)．⑤導(dǎo)函數(shù)f′（x）與原來(lái)的函數(shù)f（x）有相同的定義域（a，b），且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x0處的函數(shù)值即為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值．⑥區(qū)間一般指開區(qū)間，因?yàn)樵谄涠它c(diǎn)處不一定有增量（右端點(diǎn)無(wú)增量，左端點(diǎn)無(wú)減量）．【命題方向】典例1：一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝5﹣3t2，則在一段時(shí)間[1，1+△t]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（）A．3△t+6B．﹣3△t+6C．3△t﹣6D．﹣3△t﹣6分析：分別求出經(jīng)過(guò)1秒種的位移與經(jīng)過(guò)1+△t秒種的位移，根據(jù)平均速度的求解公式平均速度＝位移÷時(shí)間，建立等式關(guān)系即可．解：V=故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的平均變化率公式：f(典例2：一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s＝8﹣3t2．（1）求質(zhì)點(diǎn)在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2）求質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度（用定義及求導(dǎo)兩種方法）．分析：本題考查的是變化率及變化快慢問(wèn)題．在解答時(shí)：（1）首先結(jié)合條件求的△s，然后利用平均速度為△s（2）定義法：即對(duì)平均速度為△s△t當(dāng)△t趨向于0時(shí)求極限即可獲得解答；求導(dǎo)法：t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度即s＝8﹣3t2在t＝1處的導(dǎo)數(shù)值，故只需求t＝1時(shí)函數(shù)s＝8﹣3解答：由題意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴質(zhì)點(diǎn)在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：v=（2）定義法：質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為v=求導(dǎo)法：質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴當(dāng)t＝1時(shí)，v＝﹣6×1＝﹣6．點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的物理意義建立了導(dǎo)數(shù)與物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度之間的關(guān)系．對(duì)位移s與時(shí)間t的關(guān)系式求導(dǎo)可得瞬時(shí)速度與時(shí)間t的關(guān)系．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，誚按照“一差、二比、三極限”的求導(dǎo)步驟來(lái)求．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．2．平均變化率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平均變化率：我們常說(shuō)的變化的快慢一般指的是平均變化率，拿y＝f（x）來(lái)說(shuō)，當(dāng)自變量x由x1變化到x2時(shí)，其函數(shù)y＝f（x）的函數(shù)值由f（x1）變化到f（x2），它的平均變化率為f(x2)-f(x1)x2-x1．把（x2﹣x1）叫做自變量的改變量，記做△x；函數(shù)值的變化【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算：將區(qū)間端點(diǎn)a和b代入函數(shù)f，計(jì)算f(﹣解釋：平均變化率描述了函數(shù)在區(qū)間上的平均斜率，反映函數(shù)值的總體變化趨勢(shì)．【命題方向】常見題型包括計(jì)算函數(shù)在給定區(qū)間上的平均變化率，解決實(shí)際問(wèn)題中的平均變化率計(jì)算．函數(shù)f（x）＝log2x在區(qū)間[2，4]上的平均變化率是_____．解：函數(shù)的平均變化率是f(4)-故答案為：123．瞬時(shí)變化率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平均變化率：我們常說(shuō)