2024-2025學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)高一下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)把選好的選項(xiàng)填涂到答題卡相應(yīng)位置，每小題5分）1.若向量，，則=（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量，得到其相反向量，然后與利用加法求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚韵蛄?，又所以，故選：A.本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的條件是（）A B. C. D.且【正確答案】C【詳解】若使成立，則選項(xiàng)中只有C能保證，故選C[點(diǎn)評(píng)]本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學(xué)習(xí)向量知識(shí)時(shí)需注意易考易錯(cuò)零向量，其模為0且方向任意.3.設(shè)，向量，，，且，，則＝A. B. C. D.10【正確答案】B【詳解】試題分析：∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴．考點(diǎn)：向量的垂直、平行的充要條件，向量的模．4.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)周期即可求解，代入最高點(diǎn)即可求解.【詳解】由圖象知函數(shù)周期，，把?代入解析式，得，即?.?又?故選：A5.是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，，∴，，，∴.【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量數(shù)量積問(wèn)題，一般有兩個(gè)思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡(jiǎn).平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語(yǔ)言——“坐標(biāo)語(yǔ)言”，實(shí)質(zhì)是將“形”化為“數(shù)”．向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)．6.點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，則點(diǎn)為的重心B.若，則點(diǎn)為的外心C.若，則點(diǎn)為的內(nèi)心D.若，則點(diǎn)為的垂心【正確答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可判斷A；根據(jù)模長(zhǎng)相等結(jié)合外心的性質(zhì)即可判斷B，利用向量的數(shù)量積和外心的性質(zhì)判斷C，利用和向量的線性運(yùn)算和垂心的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A：設(shè)邊，，的中點(diǎn)分別為，∴，∵，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在中線上，同理可得點(diǎn)在中線上，∴點(diǎn)是的重心，故A正確；

對(duì)于B：若，∴點(diǎn)為的外心，故B正確；對(duì)于C：設(shè)邊，，的中點(diǎn)分別為，則，∴，∴為線段的垂直平分線，同理可得分別為線段的垂直平分線，∴為三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)為的外心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由已知可得，即，∴點(diǎn)在邊邊上的高上，同理可得點(diǎn)在邊邊上的高上，點(diǎn)在邊邊上的高上，∴點(diǎn)是的垂心，故D正確.故選：C7.在平面直角坐標(biāo)系中，，將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量則點(diǎn)的坐標(biāo)是A. B.C. D.【正確答案】A【詳解】試題分析：設(shè)，再設(shè)，則，由題意可得，從而可得，故答案選A.考點(diǎn)：平面向量.8.已知向量，且．若，則的最小值為（）．A. B.26 C. D.24【正確答案】B【詳解】作正方形，連接對(duì)角線，令、分別為對(duì)角線、邊上一點(diǎn)，使得，，，.故.二、多選題（每題均不止一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)把選好的選項(xiàng)填涂到答題卡相應(yīng)位置，每小題6分）9.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)至，使，連接、，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，取定平面的一個(gè)基底，再利用向量運(yùn)算逐項(xiàng)求解判斷.【詳解】在邊長(zhǎng)為1的正方形中，令，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于BD，，，，，因此，BD正確；對(duì)于C，，，C錯(cuò)誤；故選：ABD10.以下各組向量中，可以作為平面向量的一組基底的是（）A.，B.，C.，D.，【正確答案】BC【分析】利用和差角的正余弦公式、二倍角的正弦公式，結(jié)合基底的意義逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，，，A不是；對(duì)于B，，不共線，B是；對(duì)于C，，不共線，C；對(duì)于D，，，D不是.故選：BC11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.的圖象可由向左平移得到C.若的定義域?yàn)?，則值域?yàn)镈.集合，若，且，則【正確答案】ACD【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合對(duì)稱性、函數(shù)圖象變換、最值及零點(diǎn)問(wèn)題依次求解判斷.【詳解】依題意，，對(duì)于A，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，，C正確；對(duì)于D，由，得，則或，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：（每小題5分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置）12.已知點(diǎn)，，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)是__．【正確答案】【分析】與向量同向的單位向量為，根據(jù)坐標(biāo)形式求得向量及模長(zhǎng)即可求得.【詳解】點(diǎn)，，，可得，因此，與向量同方向單位向量為：故13.已知向量夾角為，且，則__________．【正確答案】【詳解】試題分析：的夾角，，，，.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算.【思路點(diǎn)晴】平面向量的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù).14.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和等于__________.【正確答案】60【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即為方程在區(qū)間上的解.等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，在區(qū)間上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象，均關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱，且在區(qū)間上共有12個(gè)交點(diǎn)（6組對(duì)稱點(diǎn)），每組對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為10，即這12個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為60.所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和等于60.四、解答題（共5題，請(qǐng)把詳細(xì)計(jì)算和推理過(guò)程書寫在答題卡相應(yīng)的位置，超出答題框部分無(wú)效）.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，.（1）若、、三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)表示及共線向量的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算即得.（2）由（1）中信息，利用向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，，由、、三點(diǎn)共線，得，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由，得，則，解得，則所以的面積為.16.已知向量，函數(shù)的最大值為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域.【正確答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【詳解】：（Ⅰ）因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以（Ⅱ）將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到因所以的最小值為最大值為所以在上的值域?yàn)椤究键c(diǎn)定位】本題通過(guò)向量運(yùn)算形成三角函數(shù)問(wèn)題，考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角函數(shù)的圖象變換、三角函數(shù)的值域等主干知識(shí)，難度較小17.從低壓變壓器輸出的電路中，輸送的是交流電，其電壓變化規(guī)律符合三角函數(shù)，原理圖如圖（1）所示，線路為零線，線路、、均為火線.如圖（2）則是變壓器的簡(jiǎn)單模型，.其中，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時(shí)間（單位：秒）的變化關(guān)系為：，以此類推，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時(shí)間（單位：秒）的變化關(guān)系為：，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時(shí)間（單位：秒）的變化關(guān)系為：交流電的頻率一般是赫茲，即每秒變化次，其中頻率是周期的倒數(shù).（1）求的值；（2）之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長(zhǎng)；同理，之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長(zhǎng)；之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長(zhǎng)，其中向量、、的模長(zhǎng)均為它們對(duì)應(yīng)電壓三角函數(shù)的最大值，用戶張先生連接的家庭用電連接的是，用戶李先生的工廠若連接的是，其中之間的電壓等價(jià)于之間的電壓，其大小為向量的模長(zhǎng).請(qǐng)分別求出張先生家庭電壓最大值和李先生工廠電壓的最大值.【正確答案】（1）（2）張先生家庭電壓最大值和李先生工廠電壓的最大值分別為、【分析】（1）求出交流電的最小正周期，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值；（2）由題意可得出張先生家庭電壓的最大值，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值，即可得出李先生工廠電壓的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，交流電的最小正周期為，則.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，張先生家庭電壓的最大值為，且，，所以，.故李先生工廠電壓的最大值為.18.在中，為邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).若，，設(shè)，.（1）把和分別用和表示；（2）求的最小值.【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算，用，表示；（2）利用數(shù)量積運(yùn)算求出，再利用基本不等式