安徽省A10聯(lián)盟2022屆高三下學(xué)期開年考文科數(shù)學(xué)試題 附解析

2022屆高三開年考文科數(shù)學(xué)試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的意義求出集合M，根據(jù)自然數(shù)的概念求出集合N，結(jié)合交集的概念與運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，解得，所以，，則，故選D.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A.5 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，結(jié)合實(shí)部的概念即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，則其實(shí)部為5.故選：A.3.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)解析式分析函數(shù)對(duì)稱性，并判斷f(0)的大小即可判斷圖像.【詳解】由題意得，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，故選：C.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式（一）化簡，再用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式即可得答案.【詳解】，故選:D.5.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)漸近線的方程可求出，再間的關(guān)系求離心率.【詳解】由題意得，這條漸近線的斜率為，∴，∴.故選：B.6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷與的大小關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：B.7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，∴，故選：B.8.已知命題：，；命題：若對(duì)任意恒成立，則.下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷命題p真假，由恒成立求出a的取值范圍判斷q,再由復(fù)合命題的真值表判斷即可求解.【詳解】令，則在為連續(xù)函數(shù)，且，，故在上存在零點(diǎn)，故方程在上有解，所以命題真命題.對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，所以命題為真命題，所以為真命題，、、為假命題.故選：A9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，，即可求出，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)，代入即可求出，即可可得函數(shù)解析式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由題意得，，則，∴，∴.∵，∴，又，∴，∴，令，解得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C.10.已知曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】將函數(shù)解析式可得、，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知和的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，其圖象可由向左平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；又，∴函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，∴.故選：C.11.如圖，四棱錐的外接球的球心為，其中底面為正方形，若平面過球心，且，，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)條件解三角形即可求解.【詳解】四邊形為正方形，∴，∴即為所求異面直線與所成角，由，可得，.又，∴，∴，∴，∴.故選：B12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可知導(dǎo)數(shù)在上恒成立，分離參數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可得解.【詳解】由題意得，，又在上，則，∴.令，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，則，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題~第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，，且與垂直，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，因?yàn)榕c的垂直，所以，解得.故答案：14.劉徽是魏晉時(shí)代著名數(shù)學(xué)家，是我國古代數(shù)學(xué)的集大成者，他給出了階幻方的構(gòu)作方法是數(shù)學(xué)史上算法的范例，他的階幻方被稱為“神農(nóng)幻方”.所謂幻方，是把排成的方陣，使其每行、每列和對(duì)角線的數(shù)字之和均相等.下圖是劉徽構(gòu)作的3階幻方，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，滿足數(shù)字之和等于15，則含有數(shù)字5或6的概率為______.816357492【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)題意寫出基本事件總數(shù)和“含有數(shù)字5或6”包含的基本事件數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由題意得，該3階幻方每行、每列和對(duì)角線上的數(shù)字之和均等于15，從中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，數(shù)字之和等于15，基本事件總數(shù)為8，易知事件“含有數(shù)字5或6”包含的基本事件數(shù)為6，故所求事件的概率為.故答案為：.15.如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑，若該幾何體的體積是，則它的表面積是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三視圖得出幾何體為球體去除自身的后的部分，利用體積求出半徑，計(jì)算表面積即可.【詳解】由三視圖可得原幾何體為球體去除自身的后的部分，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以該幾何體的表面積為.故答案為：16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，若，且，則到的距離為______.【答案】12【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意和拋物線的定義可得，進(jìn)而得到關(guān)于p的方程，解方程即可.【詳解】由知，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵，∴，解得.故答案為：12三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的發(fā)展，線上銷售成為了一種熱門的發(fā)展趨勢.為了了解產(chǎn)品A的線上銷售對(duì)象對(duì)該產(chǎn)品的滿意程度，研究人員隨機(jī)抽取了部分客戶作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表：表示滿意表示不滿意男性6045女性3045（1）判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為客戶的滿意程度與性別有關(guān)？（2）根據(jù)以往數(shù)據(jù)，產(chǎn)品A的部分銷售年份和線上銷售總額之間呈現(xiàn)線性相關(guān)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中，，求關(guān)于的回歸直線方程.附：，，，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）能；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)的計(jì)算公式計(jì)算，與表格對(duì)照即可判斷；(2)根據(jù)線性回歸方程斜率計(jì)算公式計(jì)算斜率，根據(jù)計(jì)算出縱截距即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下表：表示滿意表示不滿意總計(jì)男性6045105女性304575總計(jì)9090180則，故能夠在犯錯(cuò)誤概率不超過0.025的前提下認(rèn)為客戶的滿意程度與性別有關(guān).【小問2詳解】由題意得，，，則，，∴關(guān)于的回歸直線方程為.18.設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，再由累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和即可.【小問1詳解】∵，∴，即，由累乘法得，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，∴.【小問2詳解】由（1）知，，∴，則19.如圖，在多面體中，平面平面，其中與都是面積為的等邊三角形，，點(diǎn)在平面上的射影落在中邊的中線上，且直線與平面所成角的大小為30°.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析;（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，連接，可證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理求解；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法求解即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖，故為的中線，∴，.設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，由題意得，點(diǎn)在上.連接，則平面.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∴.∵是面積為的等邊三角形，∴，∵直線與平面所成角的大小為30°，即，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由得，即，解得.20.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，點(diǎn)斜式求出切線方程即可；（2）分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，∴，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2詳解】由題意得，.令，則.令，易得為單調(diào)遞增函數(shù)，且，，∴，使得，即，∴，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴的取值范圍為.21.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)，（，均不與重合）是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線和的斜率之積為，試探究：直線是否過定點(diǎn)；若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）過定點(diǎn)，【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形面積公式和題意可得、，聯(lián)立方程組，解方程組即可；(2)由(1)知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線斜率進(jìn)而得出關(guān)于m的方程，解方程即可.【小問1詳解】由題意得，，則①，∵，∴在橢圓上，代入可得②，聯(lián)立①②，解得，，∴橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，若直線的斜率不存在，設(shè)，，此時(shí)，與題設(shè)矛盾，故直線的斜率必存在.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)，∴，，（*）∴，將（*）式代入上式，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)，不符題意.所以直線過定點(diǎn).22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），曲線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線在軸上方交于點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)（異于原點(diǎn)）.（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先消去參數(shù)得到一般方程，再利用將直角坐標(biāo)系下的方程轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系下的方程即可；（2）根據(jù)極徑的幾何意義利用求解即可.【小問1詳解】曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為普通方程為，由，，得曲線的極坐標(biāo)方程為，整理得.同理，得曲線的極坐標(biāo)方程為，即.【小問2詳解】聯(lián)立，得，∴，聯(lián)立，得，∴.23.已知