列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3.1分類變量與列聯(lián)表

有關(guān)法律規(guī)定:香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語(yǔ).吸煙已成為全球范圍內(nèi)嚴(yán)重危害健康、危害人類生存環(huán)境、降低人們的生活質(zhì)量、縮短人類壽命的緊迫問(wèn)題．為此，聯(lián)合國(guó)固定每年5月31日為全球戒煙日.例如：2019年世界無(wú)煙日的重點(diǎn)是”煙草和肺部健康”.那么吸煙和健康之間有因果關(guān)系嗎？每一個(gè)吸煙者的健康問(wèn)題都是由吸煙引起的嗎？如果你認(rèn)為“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引起的，那么可以吸煙”的說(shuō)法對(duì)嗎【引例】下列變量的取值有何異同點(diǎn)？你能將其分類嗎？①人的身高②直尺的長(zhǎng)度③性別④國(guó)籍⑤民族數(shù)值變量取值用以表示個(gè)體所屬類別，分類變量分類變量是區(qū)別不同的現(xiàn)象和性質(zhì)的一種特殊的隨機(jī)變量．本節(jié)主要討論取值于{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性.數(shù)值變量的取值為實(shí)數(shù)，其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.①分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)來(lái)表示，例如男性，女性可以用1,0表示，學(xué)生的班級(jí)可以用1,2,3來(lái)表示．②這些數(shù)值只作編號(hào)使用，并沒(méi)有大小和運(yùn)算意義．③分類變量是相對(duì)于數(shù)值變量來(lái)說(shuō)的．幾點(diǎn)說(shuō)明：【例1】為調(diào)查性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校進(jìn)行了普查.全校生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎解法一：比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男中的比率.

男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個(gè)百分點(diǎn),所以該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉.解法二：

設(shè)Ω表示該校全體學(xué)生組成的集合，對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生，分別令性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響：性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：1124804320合計(jì)601473128男生（X=1）523331192女生（X=0）經(jīng)常（Y=1）不經(jīng)常（Y=0）合計(jì)鍛煉性別

由

可以作出判斷，在該校的學(xué)生中，性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,男生更經(jīng)常性的鍛煉.

在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問(wèn)題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).1124804320合計(jì)601473128男生（X=1）523331192女生（X=0）經(jīng)常（Y=1）不經(jīng)常（Y=0）合計(jì)鍛煉性別分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：2×2列聯(lián)表給出成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).n=a+b+c+db+da+c合計(jì)c+ddcX=1a+bbaX=0Y=1Y=0合計(jì)YX

2×2列聯(lián)表【例2】為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試用2×2列聯(lián)表分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.對(duì)于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：881771合計(jì)45738乙校(X=1)431033甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)學(xué)校

因此,甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計(jì)算結(jié)果：通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),兩個(gè)學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率.乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為甲校

乙校

因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.【思考】“甲乙兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能出錯(cuò)？

這一結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的.因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.

因此，需要找到一種更為合理的推斷方法判斷兩變量之間有無(wú)關(guān)系，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.8.3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)【探究】一個(gè)囚犯正在接受法官審判，你是法官.法官的任務(wù)是假定囚犯無(wú)罪，但是假如有足夠證據(jù)證明囚犯有罪，則需審判囚犯有罪.先做一個(gè)無(wú)罪假設(shè)找無(wú)罪假設(shè)下不可能出現(xiàn)的人證和物證找到了，假設(shè)不成立，嫌疑人有罪沒(méi)找到，沒(méi)有充分證據(jù)證明假設(shè)不成立，暫且認(rèn)為無(wú)罪零假設(shè)：假設(shè)X，Y無(wú)關(guān)聯(lián)，相互獨(dú)立找零假設(shè)下不可能發(fā)生的事件（小概率事件）發(fā)生了，假設(shè)不成立，X，Y不獨(dú)立，從而證明二者有關(guān)聯(lián)沒(méi)發(fā)生，沒(méi)有充分證據(jù)證明假設(shè)不成立，暫且認(rèn)為X，Y相互獨(dú)立獨(dú)立性檢驗(yàn)是假設(shè)檢驗(yàn)中的一種方法，所謂假設(shè)檢驗(yàn)，即建立某個(gè)假設(shè)，通過(guò)樣本數(shù)據(jù)分析，進(jìn)而接受原假設(shè)或者拒絕原假設(shè)，從而得出結(jié)論.小概率事件原理：小概率事件是發(fā)生概率一般不超過(guò)5%的事件，即小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.【思考1】在原假設(shè)H0前提之下，小概率事件幾乎不可能發(fā)生，但若通過(guò)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)小概率事件發(fā)生了，這說(shuō)明什么問(wèn)題？原假設(shè)不成立【思考2】這種結(jié)論會(huì)不會(huì)犯錯(cuò)誤？有多大的概率會(huì)犯錯(cuò)誤？不超過(guò)5%我們需要判斷下面的假定關(guān)系

是否成立，通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè).零假設(shè)：假設(shè)X，Y無(wú)關(guān)聯(lián)，相互獨(dú)立找零假設(shè)下不可能發(fā)生的事件（小概率事件）發(fā)生了，假設(shè)不成立，X，Y不獨(dú)立，從而證明二者有關(guān)聯(lián)沒(méi)發(fā)生，沒(méi)有充分證據(jù)證明假設(shè)不成立，暫且認(rèn)為X，Y相互獨(dú)立①第一步：建立假設(shè)【思考】什么叫做分類變量X和Y獨(dú)立？假定我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表如下：n=a+b+c+db+da+c合計(jì)c+ddcX=1a+bbaX=0Y=1Y=0合計(jì)YX

假定我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表如下：n=a+b+c+db+da+c合計(jì)c+ddcX=1a+bbaX=0Y=1Y=0合計(jì)YX

零假設(shè)H0：分類變量X與Y獨(dú)立：事件觀測(cè)值期望值觀測(cè)值與期望值差X=0,Y=0aX=0,Y=1bX=1,Y=0cX=1,Y=1d殘差零假設(shè)H0：分類變量X與Y獨(dú)立：

卡方統(tǒng)計(jì)量卡方統(tǒng)計(jì)量有什么用呢？思考：那么，究竟

χ2大到什么程度，可以推斷H0不成立呢？

統(tǒng)計(jì)學(xué)家建議，用隨機(jī)變量

χ2取值

的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立.

根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律，上面的想法可以通過(guò)確定一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件來(lái)實(shí)現(xiàn).下表（臨界值表）給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

例如，對(duì)于一個(gè)小概率值α=0.05，有如下的具體檢驗(yàn)規(guī)則：(1)當(dāng)時(shí)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為X與Y不獨(dú)立，(2)當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X與Y獨(dú)立．小概率事件基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).思考：依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),分析例1中的抽樣數(shù)據(jù),能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異？881771合計(jì)45738乙校(X=1)431033甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)學(xué)校

解：零假設(shè)為H0：分類變量X與Y相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無(wú)差異根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.1的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立.因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異．思考：為何基于同一組數(shù)據(jù)的分析，卻得出了不同的結(jié)論，你能說(shuō)明其中的原因嗎？

事實(shí)上，如前所述，法一只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異的結(jié)論，并沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分.在法二中，我們用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)零假設(shè)H0進(jìn)行了檢驗(yàn).通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)χ2≈0.837小于α=0.1所對(duì)應(yīng)的臨界值2.706，因此認(rèn)為沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，所以接受H0，推斷出校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異的結(jié)論.這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個(gè)頻率的差異很有可能是由樣本隨機(jī)性導(dǎo)致的.因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異的結(jié)論是不可靠的.

工作態(tài)度對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度合計(jì)積極支持不太支持積極544094一般326395合計(jì)86103189