初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題06 轉(zhuǎn)化與化歸-特殊方程、方程組

專題06轉(zhuǎn)化與化歸----特殊方程、方程組

閱讀與思考

特殊方程、方程組通常是指高次方程（組）（次數(shù)高于兩次）、結(jié)構(gòu)巧妙而富有規(guī)律性的方程、方程

組.

降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：

1、因式分解；

2、換元；

3、平方；

4、巧取倒數(shù)；

5、整體疊加、疊乘等.

轉(zhuǎn)化是解各類特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二

次方程，這也可以說是“九九歸宗”.

例題與求解

xy5

【例1】已知方程組22的兩組解是(x,y)與(x,y)，則xyxy的值是_______

3xy2311221221

（北京市競賽題）

解題思路：通過消元，將待求式用同一字母的代數(shù)式表示，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求值.

xyyz63

【例2】方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是（）

xzyz23

A．1組B．2組C．3組D．4組

解題思路:原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數(shù)的特征入手．

【例3】解下列方程:

13xx213x

（1）(x)42；（“祖沖之杯”邀請賽試題）

x1x1

x23xx2x411

（2）；（河南省競賽試題）

2x22x83x29x12

（3）(1999x)3(x1998)31；（山東省競賽試題）

（4）(x23x4)2(2x27x6)2(3x24x2)2（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：注意到方程左邊或右邊項(xiàng)與項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，利用換元法求解.

【例4】解下列方程組:

1

xxy33,

（1）y（山東省競賽試題）

1

2xy6;

y

x(x1)(3x5y)144,

（2）2（西安市競賽試題）

x4x5y24;

y2x33x22x,

（3）232（全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

xy3y2y.

解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)方程組中兩個方程的特點(diǎn)和聯(lián)系，用換元法求解或整體處理.

2kxkx1

【例5】若關(guān)于x的方程只有一個解（相等的解也算一個）.試求k的值與方程

x1x2xx

的解.

（江蘇省競賽試題）

【例6】方程2x2xy3xy20060的正整數(shù)解有多少對？

（江蘇省競賽試題）

解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識進(jìn)行解題.

能力訓(xùn)練

A級

11

1．方程2(x2)3(x)1的實(shí)數(shù)根是_____________.

x2x

222

2．x23x42x27x63x24x2，這個方程的解為x=_________________.

x63y,2yz

3．實(shí)數(shù)x,y,z滿足2則x的值為_______________.（上海市競賽題）

x3y2xy2z0,

2

axbx10,

4．設(shè)方程組bx2xa0,有實(shí)數(shù)解，則ab1________.

2

xaxb0

（武漢市選拔賽試題）

5．使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得個數(shù)為（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

（“五羊杯”競賽試題）

xy2,

6．已知方程組2有實(shí)數(shù)根，那么它有（）

xyz1

A．一組解B．二組解C．三組解D．無數(shù)組解

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

11

7．設(shè)a213a，b213b且ab，則代數(shù)式的值為（）

a2b2

A．5B．7C．9D．11

8．已知實(shí)數(shù)x,y滿足xyxy9,x2yxy220，則x2y2的值為（）

A．6B．17C．1D．6或17

x2y2p,

9．已知關(guān)于x,y的方程組2有整數(shù)解x,y，求滿足條件的質(zhì)數(shù)p.

3xyp(xy)p

（四川省競賽試題）

2

．已知方程組xya20,的兩個解為xx1,xx2,且是兩個不等的正數(shù)

10x1,x2.

xy10yy1,yy2,

（1）求a的取值范圍；

（）若222，試求的值

2x1x23x1x28a6a11a.

（南通市中考試題）

xy

1x,

11．已知a,b是方程t2t10的兩個實(shí)根，解方程組ab

xy

1y.

ba

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

pqp15,

12．已知某二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為p,q，且滿足關(guān)系式22試求

pqpq6,

這個一元二次方程.

（杭州市中考試題）

B級

xyzxyz15

1．方程組xyz的解是___________________.

234

2．已知7x29x137x25x137x，則x的值為______________.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

1

．已知實(shí)數(shù)是方程組y的解，則（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

3x0,y0xx0y0_________.

yx1

xy9,

114

4．方程組的解是_________________.（“希望杯”邀請賽試題）

xy3

x2y21,

5．若二元二次方程組有唯一解，則k的所有可能取值為______________.

ykx21

（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）

xxxxxxxxxxxxxxx

．正數(shù)同時滿足23456，13456，12456，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6123

x1x2x3

xxxxxxxxxxxxxxx

12356，12346，12345則的值為

469.x1x2x3x4x5x6________.

x4x5x6

（上海市競賽試題）

7．方程x36x2x60的所有根的積是（）

A．3B．-3C．4D．-6E．以上全不對

（美國猶他州競賽試題）

x131999x11,

8．設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且滿足3則xy（）

y11999y11,

A．1B．-1C．2D．-2

（武漢市選拔賽試題）

xyz1,111

9．已知xyz2,則的值為（）

222xyz1yzx1zxy1

xyz3,

12

A．1B．C．2D．

23

x1x12xa2

10．對于實(shí)數(shù)a，只有一個實(shí)數(shù)值x滿足等式0，試求所有這樣的實(shí)數(shù)a的

x1x1x21

和.

（江蘇省競賽試題）

11．解方程