初中數(shù)學自主招生難度講義-9年級專題10 最優(yōu)化

專題10最優(yōu)化

閱讀與思考

數(shù)學問題中常見的一類問題是：求某個變量的最大值或最小值；在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常碰到一些

帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等，這類問題我們稱之

為最值問題，解最值問題的常見方法有：

1．配方法

由非負數(shù)性質得ab20．

2．不等分析法

通過解不等式（組），在約束條件下求最值．

3．運用函數(shù)性質

對二次函數(shù)yax2bxca0，若自變量為任意實數(shù)值，則取值情況為：

b4acb2

（1）當a0，x時，y最小值；

2a4a

b4acb2

（2）當a0，x時，y最大值；

2a4a

4．構造二次方程

利用二次方程有解的條件，由判別式0確定變量的取值范圍，進而確定變量的最值．

例題與求解

3x26x5

【例1】當x變化時，分式的最小值是．

1

x2x1

2

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

解題思路：因分式中分子、分母的次數(shù)相等，故可將原分式用整式、真分式的形式表示，通過配方

確定最小值．

【例2】已知y1，且2xy1，則2x216x3y2的最小值為（）

1927

A.B.3C.D.13

77

（太原市競賽試題）

解題思路：待求式求表示為關于x(或y)的二次函數(shù)，用二次函數(shù)的性質求出最小值，需注意的是變

量x、y的隱含限制．

x213

【例3】fx，在axb的范圍內最小值2a，最大值2b，求實數(shù)對(a，b).

22

解題思路:本題通過討論a，b與對稱軸x0的關系得出結論．

1

【例4】（1）已知y1xx的最大值為a，最小值b，求a2b2的值．

2

（“《數(shù)學周報》杯”競賽試題）

2

（2）求使x248x16取得最小值的實數(shù)x的值．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

（3）求使9x249x212xy4y214y216y20取得最小值時x，y的值．

（“我愛數(shù)學”初中生夏令營數(shù)學競賽試題）

解題思路：解與二次根式相關的最值問題，除了利用函數(shù)增減性、配方法等基本方法外，還有下列

常用方法：平方法、判別式法、運用根式的幾何意義構造圖形等．

【例5】如圖，城市A處位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)B需從A市購進大量生活、生產(chǎn)用品，

如果鐵路運費是公路運費的一半，問：該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使從A到B的運費最低？

（河南省競賽試題）

解題思路：設鐵路與公路的交點為C，AC＝x千米，BC＝y(tǒng)千米，AD＝n千米，BD＝m千米，又設

鐵路每千米的運費為a元，則從A到B的運費Sany2m22ay，通過有理化，將式子整理

為關于y的方程．

【例】（）設，，…，（），為－＋個互不相同的正整數(shù)，且＋＋…＋

61xrxr1xkkrkr1xrxr＋1

xk＝2003，求k的最大可能值．

（香港中學競賽試題）

（2）a，b，c為正整數(shù)，且a2b3c4，求c的最小值．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

解題思路：對于(1)，因r＝1，對k－r＋1＝k－1＋1＝k個正整數(shù)x1，x2，…，xk，不妨設x1＜x2＜…

＜xk＝2013，可見，只有當各項x1，x2，…，xk的值愈小時，才能使k愈大（項數(shù)愈多），通過放縮求k

的最大值；對于（2），從c2ac2ab2入手．

能力訓練

A級

1．已知三個非負數(shù)a，b，c，滿足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，則m的最

小值為___________，最大值為．

2．多項式p＝2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值為．

3．已知x，y，z為實數(shù)，且x＋2y－z＝6，x－y＋2z＝3，那么x2＋y2＋z2的最小值為．

（“希望杯”邀請賽試題）

4．若實數(shù)a，b，c，滿足a2＋b2＋c2＝9，則代數(shù)式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值為()

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

5．已知兩點A(3，2)與B(1，－1)，點P在y軸上且使PA＋PB最短，則P的坐標是（）

1111

A.(0，)B.(0，0)C.(0，)D.(0，)

264

（鹽城市中考試題）

11

6．正實數(shù)x，y滿足xy1，那么的最小值為（）

x44y4

155

A.B.C.1D.E.2

284

（黃岡市競賽試題）

7．某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不

高于800元/件，經(jīng)試銷調查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數(shù)ykxb的

關系（如圖所示）.

（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)ykxb的解析式；

（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S元．

①試用銷售單價x表示毛利潤；

②試問：銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷量是多

少？

（南通市中考試題）

8．方程x22m1xm60有一根不大于1，另一根不小于1，

（1）求m的取值范圍；

（2）求方程兩根平方和的最大值與最小值．

（江蘇省競賽試題）

9．已知實數(shù)a，b滿足a2abb21，求a2abb2的最大值與最小值．

（黃岡市競賽試題）

10.已知a，b，c是正整數(shù)，且二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸有兩個不同的交點A，B，若

點A，B到原點的距離都小于1，求a＋b＋c的最小值．

（天津市競賽試題）

11．某單位花50萬元買回一臺高科技設備，根據(jù)對這種型號設備的跟蹤調查顯示：該設備投入使

1

用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結論：第x天應付的養(yǎng)護與維修費為x1500

4

元．

（1）如果將設備從開始投入使用到報廢所需的養(yǎng)護與維修費及購買設備費用的總和均攤到每一天，

叫作每天的平均損耗，請你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數(shù)x（天）的函數(shù)．

（2）按照此行業(yè)的技術和安全管理要求，當此設備的平均損耗達到最小值時，就應當報廢，問：

該設備投入使用多少天應當報廢？

（河北省競賽試題）

B級

1．a(chǎn)，b是正數(shù)，并且拋物線yx2ax2b和yx22bxa都與x軸有公共點，則a2b2的

最小值是．

2．設x，y，z都是實數(shù)，且滿足x＋y＋z＝1，xyz＝2，則xyz的最小值為．

3．如圖，B船在A船的西偏北45°處，兩船相距102km，若A船向西航行，B船同時向南航行，

且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離為km．

（全國初中數(shù)學競賽試題）

4．若a，b，c，d是乘積為1的四個正數(shù)，則代數(shù)式a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋bc＋ac＋ad＋bd＋cd的

最小值為（）

A.0B.4C.8D.10

（天津市競賽試題）

5．已知x，y，z為三個非負實數(shù)，且滿足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2.若s＝2x＋y－z，則s的最大

值與最小值的和為（）

232735

A.5B.C.D.

444

（天津市選拔賽試題）

6．如果拋物線yx2k1xk1與x軸的交點為A，B，頂點為C，那么△ABC的面積的最

小值為（）

A.1B.2C.3D.4

7．某商店將進貨價每個10元的商品按每個18元售出時，每天可賣出60個，商店經(jīng)理到市場上做

了一番調查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價（在每個18元的基礎上）每提高1元，則日銷售量就減少5

個；若將這種商品的售價（在每個18元的基礎上）每降低1元，則日銷量就增加10個，為獲得每日最

大利潤，此商品售價應定為每個多少元？

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

8．有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是p（萬元）和q（萬元），它們

13

與投入資金x（萬元）的關系有經(jīng)驗公式：px,qx.今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，

55

為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得多大的利潤？