初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題23面積的計算

專題23面積的計算

閱○讀○與○思○考○

計算圖形的面積是幾何問題中一種重要題型，計算圖形的面積必須掌握如下與面積有關(guān)的重要知識：

1.常見圖形的面積公式；

2．等積定理：等底等高的兩個三角形面積相等；

3.等比定理：

(1)同底（或等底）的兩個三角形面積之比等于等于對應(yīng)高之比；同高（或等高）的兩個三角形面積

之比等于等于對應(yīng)底之比.

(2)相似三角形的面積之比等于對應(yīng)線段之比的平方.

熟悉下列基本圖形、基本結(jié)論：

例題與求解

【例1】如圖，△ABC內(nèi)三個三角形的面積分別為5，8，10，四邊形AEFD的面積為x，則x＝________.

（黃岡市競賽試題）

解題思路：圖中有多對小三角形共高，所以可將面積比轉(zhuǎn)化為線段之比作為解題突破口.

例1圖

【例2】如圖，在△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，

那么△ABC的面積等于()(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)

A．12B．14C．16D．18

解題思路：由中點想到三角形中位線，這樣△ABC與四邊形BCDE面積存在一定的關(guān)系.

例2圖

BECFDGAH

【例3】如圖，依次延長四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，使＝＝＝

ABBCCDDA

＝m，若S四邊形EFGH＝2S四邊形ABCD，求m的值.

解題思路：添加輔助線將四邊形分割成三角形，充分找出圖形面積比與線段比之間的關(guān)系，建立關(guān)于

m的方程.

例3圖

【例4】如圖，P，Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長線上的兩點，PA與CQ相交于點E，且∠PAD

＝∠QAD，求證：S矩形ABCD＝S△APQ.

解題思路：圖形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的線段、等積式，將它們與相應(yīng)圖形聯(lián)系起

來，促使問題的轉(zhuǎn)化.

例4圖

【例5】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動

到點A為止，移動速度為每秒2個單位長度.過點D作DE∥BC交AC于點E，設(shè)動點D運動的時間為x

秒，AE的長為y.

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？(江西省中考試題)

解題思路：對于(1)利用△ADE∽△ABC可得y與x的關(guān)系式；對于(2)先寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，

再求最大值.

例5圖

【例6】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點D，E，F(xiàn).

PDPEPF

求證：(1)＋＋＝1；

ADBECF

PAPBPC

(2)＋＋＝2

ADBECF

解題思路：過點A，P分別作BC的垂線，這樣既可得到平行線，產(chǎn)生比例線段，又可以與面積聯(lián)系

PA

起來，把轉(zhuǎn)化為面積比，利用面積法證明.

AD

例6圖

能○力○訓(xùn)○練○

A級

2

1．如圖，ABCD中，AE∶BE＝1∶2，S△AEF＝6cm，則S△CDF的值為________.(濟南市中考試題)

2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為23cm，P為正六邊形內(nèi)任一點，則點P到各邊距離之和為_______.

第1題圖第2題圖第3題圖

3．如圖，P是邊長為8的正方形ABCD外一點，PB＝PC，△PBD的面積等于48，則△PBC的面積

為_____________.(北京市競賽試題)

4．如圖，已知△BOF，△AOF，△BOD，△COE的面積分別為30，40，35，84，則△ABC的面積為________.

(浙江省競賽試題)

5．如圖，已知AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，DE是Rt△ADC斜邊上的高，如果DC∶AD＝1∶2，S△DCE

＝a，那么S△ABC等于()(金華市中考試題)

A．4aB．9aC．16aD．25a

第4題圖第5題圖第6題圖

6．如圖，已知M是ABCD邊AB的中點，CM交BD于點E，則圖中陰影部分面積與ABCD的面

積之比為（）（山西省中考試題）

1115

A．B．C．D．

64312

S△ADE

7．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點D，E，若S△ADE＝2S△DCE，則等于()

S△ABC

(浙江省寧波市中考試題)

1124

A．B．C．D．

4239

8．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則

圖中陰影部分面積面積為（）cm2.(廣東省競賽試題)

A．4B．23C．33D．43

第7題圖第8題圖第9題圖

9．如圖，平面上有兩個邊長相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的頂點A′在正方形

ABCD的中心，當(dāng)正方形A′B′C′D′繞A′轉(zhuǎn)動時，兩個正方形重合部分的面積必然是一個定值.這個結(jié)論

對嗎？證明你的判斷.（“希望杯”邀請賽試題）

10．如圖，設(shè)凸四邊形ABCD的一組對邊AB，CD的中點分別為K，M.求證：S四邊形ABCD＝S△ABM＋S△DCK..

第10題圖

11．如圖1，AB，CD是兩條線段，M是AB的中點，S△DMC，S△DAC，S△DBC分別表示△DMC，△DAC，

S△DAC＋S△DBC

△DBC的面積，當(dāng)AB∥CD時，有S△DMC＝………..①.

2

(1)如圖2，若圖1中AB與CD不平行時，①式是否成立？請說明理由.

(2)如圖3，若圖1中AB與CD相交于點O時，問S△DMC與S△DAC和S△DBC有何相等關(guān)系？試證明你

的結(jié)論.（安徽省中考試題）

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°

＜θ＜180°），得到△A′B′C′.

(1)如圖1，當(dāng)AB∥CB′時，設(shè)A′B′與CB相交于點D，證明：△A′CD是等邊三角形；

(2)如圖2，連接A′A，B′B，設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S△ACA′和S△BCB′.求證：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3.

(3)如圖3，設(shè)AC的中點為E，A′B′的中點為P，AC＝a，連接EP，當(dāng)θ＝_____時，EP長度最大，最

大值是____________.（安徽省中考試題）

B級

1．如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7cm2和11cm2，則△CDE的面

積等于___________cm2.（武漢市競賽試題）

2．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA＝PB＝10，并且P到CD邊的距離也等于10，那么正方形

ABCD的面積是_______________.(北京市競賽試題)

DFCE

3．如圖，四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，DC上，＝1，＝2，若△ADF的面積為m，四

FCBE

邊形AECF的面積為n(n＞m)，則四邊形ABCD的面積為___________.(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖

13

4．如圖，圖形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于點O，若AC＝5，BD＝12，中位線長為，

2

△AOB的面積為S1，△OCD的面積為S2，則S1＋S2＝_________.(山東省競賽試題)

5．如圖，分別延長△ABC的三邊AB，BC，CA至A′，B′，C′，使得AA′＝3AB，BB′＝3BC，CC′＝3AC，

若S△ABC＝1，則S△A′B′C′等于().

A．18B．19C．24D．27

(山東省競賽試題)

6．如圖，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE相交于點I，BD和AF

相交于點H，那么四邊形BEIH的面積是()

1278

A．B．C．D．

351515

(江蘇省競賽試題)

第5題圖第6題圖第7題圖

1S△AEF

7．如圖，矩形ABCD中，E是BC上的一點，F(xiàn)是CD上的點，已知S△ABE＝S△ADF＝SABCD，則的

3S△CEF

值等于()(北京市競賽試題)

A．2B．3C．4D．5

8．(1)探究：如圖1，在ABCD的形外分別作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB

＝∠EAD＝90°，連接AC，EF.在圖中找一個與△FAE全等的三角形，并加以證明.

(2)應(yīng)用：以ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖2，連接EF，GH，IJ，KL，若

ABCD的面積為5，則圖中陰影部分四個三角形的面積之和為____________.（長春市中考試題）

9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝

120°，底邊QR＝6cm，點B，C，Q，R在同一條直線l上，且C，Q兩點重合，如果等腰△PQR以1cm/s

的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運動，t秒時梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為Scm2.

(1)當(dāng)t＝4時，求S的值；

(2)當(dāng)4≤t≤10時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.(廣州市中考試題)

第9題圖

10．有一根直尺的短邊長為2cm，長邊長為10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角紙板，它的斜邊

長為12cm，如圖1將直尺的短邊DE放置與直角三角紙板的斜邊AB重合，且點D與點A重合將直尺沿

AB方向平移，如圖2，設(shè)平移的長為xcm(0≤x≤10)，直尺與三角形紙板重疊部分（圖中陰影部分）的

面積Scm2.

(1)當(dāng)x＝0時，S＝________，當(dāng)x10時，S＝________；

(2)當(dāng)0＜x≤4時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)4＜x＜10時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.(徐州市中考試題)

11．如圖，設(shè)H是等腰三角形ABC的三邊上的高線的交點，在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點A

至底邊的距離變?。ㄈ员３秩切螢榈妊切危?，這時的值變大、變小、還是不變證

BCSABCSHBC?

明你的結(jié)論.(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

第11題圖

12．(1)請你在圖1中作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；

(2)如圖2，點M是矩形ABCD內(nèi)一定點，請你在圖2中過點M作一條直線，使它將矩形ABCD分成

面積相等的兩部分；

(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，

其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4.開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(其占地面積不計)設(shè)在點P(4，2)處.為

了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過點P修一條筆直的道路(路的寬不計)，并且使這條路所在的直線l將直角梯形

OBCD分成面積相等的兩部分.你認(rèn)為直線l是否存在?若存在，求出直線l的表達式；若不存在，請說明

理由.(陜西省中考試題)

專題23面積的計算

例1．22提示：連接AF．

例2．選C提示：連接DE．

31

例3．提示：連接GA，HB，EC，F(xiàn)D，AC，BD，則

2

，同理，

S△HAE(m1)S△HAB(m1)mS△ABDS△FCGm(m1)S△BCD

故，同理

S△HAE+S△FCGm(m1)SABCDS△EBF+S△GDHm(m1)SABCD.

例4．提示：過E作EF∥BC交AB于F，AEF≌△ADE≌△ADQ，又AED∽△PEC，

ADDE

則，積AD·CE=PC·DE．△△

PCCE

3

例5．提示：（1）yx6（0≤x≤4）

2

3232

（2）Sx6x(x2)6，當(dāng)x=2時，S最大值=6.

22

例6．（1）如圖，分別過P，A作BC的垂線，垂足為P1，A1．

1

BCPP1

S△PPPD

則PBC21．

S1AAAD

△ABCBCAA1

21

PES△PFS

同理PCA，=△PAB，

BES△ABCCFS△ABC

PDPEPFS△+S△+S△

故=BPCPCAPAB1．

ADBECFS△ABC

PDPBPCPDPEPF

（2）=3()2.

ADBECFADBECF

A級

1．54cm2．18cm3．324．3155．C

6．C7．D8．C

1

9．提示：當(dāng)正方形ABCD與正方形A’B’C’D’的對應(yīng)邊平行時，兩者重合部分面積為正方形面積的；轉(zhuǎn)

4

動后，兩者重合面積仍為定值．

10．提示：過A、K、B分別作CD的垂線．

11．（1）結(jié)論仍然成立，證明略．

S△DBCS△DAC

（2）S△

DMC2

2

S△AC13a

．（）略（）∽△ACA（），

1212ACA’BCB’23120°

S△BCBBC32

△

B級

3n1

1．72．2563．m

22

．提示：2

430S梯形ABCD=(S1S2)

5．B6．C7．D8．（1）略（2）10

9．提示：（1）當(dāng)t=4時，Q與B重合，P與D重合，如圖a，重合部分是BDC，

1

SBDC=22323．△

2

△

（2）①當(dāng)4≤t≤6時，如圖b，BQ=t－4，CR=6－4，

由PQR∽△BQM∽△CRN，

S

△SCRNCR26t2BQMBQ2t4

得()(),＝()＝()2，

SPQRPQ23SPQRPQ23

3(t5)253

∴S＝SPQR－SBQM－SCRN＝．

2

△△△

5

當(dāng)t＝5時，S最大值＝3．

2

113

②當(dāng)6＜t≤10時，如圖c，BR＝10－t，BK⊥RK，且∠KRB＝30°，所以BK＝BR＝(10－t)，KR＝(10

222

13

－t)，S＝BK·KR＝(10－t)2．

28

當(dāng)t＝6時，S最大值＝23．

5

綜合①②，當(dāng)t＝5時，S最大值＝3．

2

10．提示：（1）S＝2cm2；S＝2cm2．

（2）當(dāng)0＜x≤4時，如圖a，DG＝AD＝x，AE＝EF＝x＋2，

(EFDG)DE

S＝＝2x＋2cm2．

2

（3）當(dāng)4＜x＜10時，應(yīng)分兩種情況進行討論：

2

①當(dāng)4＜x＜6時，如圖b，DG＝AD＝x，EF＝BE＝12－x－2＝10－x，S＝SABC－SADG－SBEF＝－x＋10x

△△△

2

－14＝－(x－5)＋11，故當(dāng)x＝5時，S最大值＝11．

②當(dāng)6≤x＜10時，如圖c，BD＝DG＝12－x，EF＝BE＝1