初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題13三角形的基本知識

專題13三角形的基本知識

閱讀與思考

三角形是最基本的幾何圖形，是研究復(fù)雜幾何圖形的基礎(chǔ)，許多幾何問題都可轉(zhuǎn)化為三角形的問題

來解.三角形基本知識主要包括三角形基本概念、三角形三邊關(guān)系定理及推論、三角形內(nèi)角和定理及推論

等，它們在線段和角度的計算、圖形的計數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用.

解與三角形的基本知識相關(guān)的問題時，常用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法解幾何計算題

及簡單的證明題，對三角形按邊或按角進(jìn)行恰當(dāng)分類.

應(yīng)熟悉以下基本圖形：

例題與求解

【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，則∠BOC=________.

（“東方航空杯”——上海市競賽試題）

解題思路：因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，故應(yīng)注意符合題設(shè)條件的圖形多樣性.

【例2】等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形

底邊的長為（）

A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.無法確定

（北京市競賽試題）

解題思路：中線所分兩部分不等的原因在于等腰三角形的腰與底的不等，應(yīng)分情況討論.

【例3】如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，若∠BDC=140°，

∠BGC=110°，求∠A的大小.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：運用凹四邊形的性質(zhì)計算.

【例4】在△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)均為正數(shù)，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度數(shù).

（北京市競賽試題）

解題思路：把∠A，∠C用∠B的代數(shù)式表示，建立關(guān)于∠B的不等式組，這是解本題的突破口.

【例5】（1）周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個？

（2）現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n(n2)小段，每段的長不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意3小

段都不能拼成三角形，試求n的最大值.此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的n段.

（江蘇省競賽試題）

解題思路：對于（1），不妨設(shè)三角形三邊為a，b，c，且abc，由條件及三角形三邊關(guān)系定理可

確定c的取值范圍，從而可以確定整數(shù)c的值.

對于（2），因n段之和為定值150cm，故欲使n盡可能的大，必須使每段的長度盡可能的小.這樣依題

意可構(gòu)造一個數(shù)列.

【例6】在三角形紙片內(nèi)有2008個點，連同三角形紙片的3個頂點，共有2011個點，在這些點中，

沒有三點在一條直線上.問：以這2011個點為頂點能把三角形紙片分割成多少個沒有重疊部分的小三角

形？

（天津市競賽試題）

解題思路：本題的解題關(guān)鍵是找到規(guī)律：三角形內(nèi)角每增加1個內(nèi)點，就增加了2個三角形和3條邊.

能力訓(xùn)練

A級

1.設(shè)a，b，c是△ABC的三邊，化簡abcabc=____________.

2.三角形的三邊分別為3，12a，8，則a的取值范圍是__________.

3.已知一個三角形三個外角度數(shù)比為2:3:4，這個三角形是_______（按角分類)三角形.

4.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為____________.（“縉云杯“試題）

（第4題）（第5題）（第6題）

5.如圖，已知AB∥CD，GM，HM分別是∠AGH，∠CHG的角平分線，那么∠GMH=_________.

（第7題）（第9題）

6.如圖，△ABC中，兩外角平分線交于點E，則∠BEC等于（）

11

A.(90A)B.90A

22

11

C.(180A)D.180A

22

7.如圖，在△ABC中，BD，BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，

交BC于H.下列結(jié)論：

1

①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.

2

其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④

8.已知三角形的每條邊長的數(shù)值都是2001的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的不同的三角形共有（）

A.6個B.7個C.8個D.9個

9.如圖，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，則（）

1

A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）

2

11

C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）

34

（北京市競賽試題）

10.一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別是4和1997，則滿足上述條件的三角形的個數(shù)是（）

A.1個B.3個C.5個D.7個

（北京市競賽試題）

11.如圖，已知∠3=∠1+∠2，求證：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.

（河南省競賽試題）

12.平面內(nèi)，四條線段AB，BC，CD，DA首尾順次連接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.

（1）∠BAD和∠BCD的角平分線交于點M（如圖1），求∠AMC的大小.

（2）點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點N（如圖2），求∠ANC.

圖1圖2

13.三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度.在下圖中，E位于線段CA上，D

位于線段BE上.

（1）證明：AB+AE＞DB+DE；

（2）證明：AB+AC＞DB+DC；

（3）AB+BC+CA與2（DA+DB+DC）哪一個更大？證明你的結(jié)論；

（4）AB+BC+CA與DA+DB+DC哪一個更大？證明你的結(jié)論.

（加拿大埃蒙德頓市競賽試題）

B級

1.已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但不是最短邊，這樣的三角形的

個數(shù)有_______個.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2.以三角形的3個頂點和它內(nèi)部的9個點共12個點為頂點能把原三角形分割成______個沒有公共部分

的小三角形.

3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是m，最小值是n，

則mn___________.

（上海市競賽試題）

4.如圖，若∠CGE=，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.

（山東省競賽試題）

（第4題）（第5題）

.如圖，在△中，∠°，延長到，∠與∠的平分線相交于點，與

5ABCA=96BCDABCACDA1A1BC

的平分線相交于點，依此類推，與的平分線相交于點，則的大小

A1CDA2A4BCA4CDA5A5

是（）

A.3°B.5°C.8°D.19.2°

6.四邊形ABCD兩組對邊AD，BC與AB，DC延長線分別交于點E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于

點P.∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結(jié)論中正確的是（）

①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；

④∠PEB+∠PFC=136°.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

7.三角形的三角內(nèi)角分別為，，，且，2，則的取值范圍是（）

A.3645B.4560C.6090D.4532

（重慶市競賽試題）

8.已知周長小于15的三角形三邊的長都是質(zhì)數(shù)，且其中一邊的長為3，這樣的三角形有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

（山東省競賽試題）

9.不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長.

（第三十二屆美國邀請賽試題）

10.設(shè)m，n，p均為自然數(shù)，滿足mnp且mnp15，試問以m，n，p為三邊長的三角

形有多少個？

1

11.銳角三角形用度數(shù)來表示時，所有角的度數(shù)為正整數(shù)，最小角的度數(shù)是最大角的度數(shù)的，求滿足

4

此條件的所有銳角三角形的度數(shù).

（漢城國際數(shù)學(xué)邀請賽試題）

12.如圖1，A為x軸負(fù)半軸上一點，B為x軸正半軸上一點，C（0，-2），D（-2，-2）.

（1）求△BCD的面積；

（2）如圖2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交y軸于P，交BC于Q.

求證：∠CPQ=∠CQP；

（3）如圖3，若∠ADC=∠DAC，點B在x軸正半軸上運動，∠ACB的平分線交直線AD于E，DF∥AC

BCF2DMF

交y軸于F，F(xiàn)M平分∠DFC交DE于M，的值是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

E

圖1圖2

圖3

13.如圖1，A(0,m)，B(n,0).且m，n滿足m3(2n4)20.

圖1圖2

（1）求A，B的坐標(biāo)；

（2）C為y軸正半軸上一動點，D為△BCO中∠BCO的外角平分線與∠COB的平分線的交點，問是否

1

存在點C，使∠D=∠COB.若存在，求C點坐標(biāo)；

4

（3）如圖2，C為y軸正半軸上A的上方一動點，P為線段AB上一動點，連CP延長交x軸于E，

ABOECO

∠CAB和∠CEB平分線交于F，點C在運動過程中的值是否發(fā)生變化？若不

F

變求其值；若變化，求其范圍.

專題13三角形的基本知識

例1130°或50°例2B例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC

4

例4設(shè)∠C＝x°，則∠A＝(x)°，

7

11

∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°

7

411

由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．

77

4

解得70＜x＜84．∵x是整數(shù)，∴x＝77．

7

故∠C＝77°，則∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．

ab30c

例5（1）不妨設(shè)a＜b＜c，則由，得10＜c＜15．

abc

∵c是整數(shù)，∴c＝11，12，13，14．

當(dāng)c＝11時，b＝10，a＝9．

當(dāng)c＝12時，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．

當(dāng)c＝13時，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．

當(dāng)c＝14時，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．

（2）這些小段的長度只可能分別是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…

但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，

故n的最大值為10.共有以下7種方式：

（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；

（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；

（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；

（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；

（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；

（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；

（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.

例6解法1我們不妨先考察三角形內(nèi)有1個點、2個點、3個點…的簡單情況，有下表所示的關(guān)系：

三角形內(nèi)點數(shù)1234…

連線得到的小三角形個數(shù)3579…

不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)有一個點時，連線可得到3個小三角形，以后每增加一個點，這個點必落在某

一個小三角形內(nèi)，它與該三角形的三個頂點可得到三個小三角形，從而增加了兩個小三角形，于是

可以推出，當(dāng)三角形內(nèi)有2008個點是，連線可得到小三角形的個數(shù)為：3＋2×（2008－1）＝4017

（個）.

解法2整體核算法

設(shè)連線后把原三角形分割成n個小三角形，則它們的內(nèi)角和為180°·n，又因為原三角形內(nèi)每一個點

為小三角形頂點時，能為小三角形提供360°的內(nèi)角，2008個點共提供內(nèi)角2008×360°，于是得方

程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即這2008個點能將原三角形紙片分割成4017個小三角

形.

A級

1.2（b＋c）2.－5＜a＜－23.鈍角4.180°

5.90°6.C7.D8.B9.B10.B

11.提示：過G作GH∥EB，可推得BE∥CF.

11

12.（1）∠AMC＝（∠ABC＋∠ADC）＝×（24°＋42°）＝33°

22

（2）∵AN、CN分別平分∠DAE，∠BCD，

∴可設(shè)∠EAN＝∠DAB＝x，∠BCN＝∠DCN＝y(tǒng)，∴∠BAN＝180°－x，設(shè)BC與AN交于S，∴∠BSA

＝∠CSN，∴180°－x＋∠B＝y(tǒng)＋∠ANC，①

同理：180°－2x＋∠B＝2y＋∠D，②

由①×2－②得：2∠ANC＝180°＋∠B＋∠D.

1

∴∠ANC＝（180°＋24°＋42°）＝123°.

2

13.（1）（2）略提示：