初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題12 心中有數(shù)

專題12心中有數(shù)

閱讀與思考

現(xiàn)代社會是一個數(shù)字化的社會，我們每個人每天都要和各種各樣的數(shù)字打交道，從國民生產(chǎn)總值、

人均消費水平、人口自然增長率、股市綜合指數(shù)，到家庭的水、電、煤氣的月平均數(shù)，學生的身高、體

重、考試成績，都與數(shù)字有關(guān).“用數(shù)據(jù)說話”已成為從事許多工作的基本要求，能用數(shù)據(jù)說話的人必

須具備一定的統(tǒng)計知識.

對數(shù)據(jù)進行收集、整理、計算、分析，并在此基礎(chǔ)上作出科學的推斷，這就是數(shù)據(jù)分析，是統(tǒng)計學

研究的基本范疇和方法，收集數(shù)據(jù)、量化處理的目的在于運用統(tǒng)計結(jié)果進行判斷和決策.

統(tǒng)計學的基本思想就是用樣本對總體進行估計、推理，即用樣本的平均水平、波動情況、分布規(guī)律

等特征估計總體的平均水平、波動情況和分布規(guī)律，是從局部看整體的思想方法.

例題與求解

【例l】在對某班的一次數(shù)學測試成績進行統(tǒng)計分析中，各分數(shù)段的人數(shù)如圖所示（分數(shù)取正整數(shù)，

滿分100分）.請觀察圖形，并回答下列問題：

（1）該班有________名學生.

（2）69.5~79.5這一組的頻數(shù)是_________，頻率是_________.

（3）請估算該班這次測驗的平均成績.

（黃岡市中考試題）

解題思路：從頻率直方圖中捕捉相關(guān)信息.

【例2】某學生通過先求x與y的平均值，再求得數(shù)與z的平均值來計算x，y，z三個數(shù)的平均數(shù).

當xyz時，這個學生的最后得數(shù)是（）

A.正確的B.總小于AC.總大于A

D.有時小于A，有時等于AE.有時大于A，有時等于A

（第二屆美國中學生邀請賽試題）

解題思路：按不同方法計算平均值，作差比較它們的大小.

【例3】某校九年級學生共有900人，為了解這個年級學生的體能，從中隨機抽取部分學生進行1min

的跳繩測試，并指定甲、乙、丙、丁四名同學對這次測試結(jié)果的數(shù)據(jù)作出整理，下圖是這四名同學提供

的部分信息：

甲：將全體測試數(shù)據(jù)分成6組繪成直方圖（如圖）；

乙：跳繩次數(shù)不少于105次的同學占96%；

丙：第①、②兩組頻率之和為0.12，且第②組與第⑥組頻數(shù)都是12；

?。旱冖?、③、④組的頻數(shù)之比為4：17：15．

根據(jù)這四名同學提供的材料，請解答如下問題：

（1）這次跳繩測試共抽取多少名學生？各組有多少人？

（2）如果跳繩次數(shù)不少于135次為優(yōu)秀，根據(jù)這次抽查的結(jié)果，估計全年級達到跳繩優(yōu)秀的人數(shù)為多

少.

（3）以每組的組中值（每組的中點對應的數(shù)據(jù)）作為這組跳繩次數(shù)的代表，估計這批學生1min跳繩次

數(shù)的平均值．

（安徽省中考試題）

解題思路：本題考查了頻率、頻數(shù)的概念和對頻數(shù)直方圖的認識，要理解各組頻率之和為1，各組頻數(shù)

之和等于總數(shù)，掌握好這些知識點，自然可以解決問題.

【例4】編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中，15號彈珠在籃子A中，把這個彈

1

珠從籃子A移至籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，籃子B中彈珠號

4

1

碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加．問原來在籃子A中有多少個彈珠？

4

（第十六屆江蘇競賽試題）

解題思路：用字母分別表示籃子A，B中的彈珠數(shù)及相應的平均數(shù)，運用方程（組）來求解.

【例5】某次數(shù)學競賽共有15道題，下表是對于做對n（n=0，1，2，…，15）道題的人數(shù)的一個統(tǒng)

計，如果又知其中做對4道題和4道以上的學生每人平均做對6道題，做對10道題和10道題以下的學

生每人平均做對4道題，問這個表至少統(tǒng)計了多少人？

問這個表至少統(tǒng)計了多少人？

n0123…12131415

做對n道題的人數(shù)781021…15631

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

解題思路：從統(tǒng)計表中可知做對0~3道題、12~15道題的相應總?cè)藬?shù)和總題數(shù)，結(jié)合已知條件，運用方

程（組）、不等式（組）等知識方法求解.

【例6】一次中考模擬考試中，兩班學生數(shù)學成績統(tǒng)計如下：

分數(shù)5060708090100

三（3）251013146

人數(shù)

三（4）441621212

請你根據(jù)學過的統(tǒng)計學知識，判斷這兩個班在這次模擬考試中的數(shù)學成績誰優(yōu)誰次？并說明理由.

解題思路：這是一道開放性試題，看考慮問題是從哪一個側(cè)面入手.本題因未說明從何種角度來考慮，

故我們應多想幾套方案.

能力訓練

A級

1.大連是一個嚴重缺水的城市，為鼓勵市民珍惜每一滴水，某居委會表彰了100個節(jié)約用水模范戶，5

月份這100戶節(jié)約用水的情況如下表：

每戶節(jié)水量（單位：噸）11.21.5

節(jié)水戶數(shù)523018

那么，5月份這100戶平均節(jié)約用水的噸數(shù)為（精確到0.01噸）_________噸.

（大連市中考試題）

2.某班全體學生進行了一次籃球投籃練習，每人投球10個，每投進一球得1分．得分的部分情況如下

表所示：

得分012…8910

人數(shù)754…341

已知該班學生中，至少得3分的人的平均得分為6分，得分不到8分的人的平均得分為3分，那么該班

學生有___________人．

（江蘇競賽試題）

3.甲、乙兩名學生在相同的條件下各射靶10次，命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78686591074

乙：9578768677

所以應確定_______去參加射擊比賽.

4.在綜合實踐課上，六名同學做的作品的數(shù)量（單位：件）分別是：5，7，3，x，6，4，若這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________件.

（包頭市中考試題）

.如果一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是，則另一組數(shù)據(jù)，，，，

5x1x2x3x4x5xx1x21x32x43x54

的平均數(shù)是（）

5

A.xB.x2C.xD.x10

2

（天津市中考試題）

6.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．設這些零

件數(shù)的平均數(shù)為a，眾數(shù)為b，中位數(shù)為c，那么（）

A.abcB.bcaC.acbD.bac

（寧夏中考試題）

7.為了了解某區(qū)九年級7000名學生，從中抽查了500名學生的體重.就這個問題而言，下列說法正確的

是（）

A．7000名學生是總體B．每個學生是個體

C．500名學生是樣本D．樣本容量為500

5

8.已知1~99中有49個偶數(shù)，從這49個偶數(shù)中取出48個數(shù)，其平均數(shù)為49，則未取的數(shù)字是（）

12

A．20B．28C．72D．78

（臺灣省中考試題）

9.甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示：

（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓練成績作出評價.

（安徽省中考試題）

10.某校要從九年級（1）班和（2）班中各選取10名女同學組成禮儀隊，選取的女生身高如下：（單位：

厘米）

（1）班：168167170165168166171168167170

（2）班：165167169170165168170171168167

（1）補充完成下面的統(tǒng)計分析表

班級平均數(shù)方差中位數(shù)極差

（1）班1681686

（2）班1683.8

（2）請選一個合適的統(tǒng)計量作為選擇標準，說明哪一個班能被選取.

（2013寧夏回族自治區(qū)中考試題）

11.為估計一次性木質(zhì)筷子的用量，2011年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本.這些

飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：

0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.

（1）通過對樣本的計算，估計該縣1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350個營業(yè)日計算）；

（2）2013年又對該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個樣本飯店

每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2012年、2013年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每

年增長的百分率（2012年該縣飯店數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)均與2011年相同）；

（3）在（2）的條件下，若生產(chǎn)一套中小學生桌椅需木材0.07m3，求該縣2013年使用一次性筷子的木

材可以生產(chǎn)多少套學生桌椅?

計算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為0.5×103kg/m3；

（4）假如讓你統(tǒng)計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計知識去做，簡要地用

文字表述出來．

12.由9位裁判給參加健美比賽的12名運動員評分.每位裁判對他認為的第1名運動員給1分，第2名

運動員給2分，…，第12名運動員給12分，最后評分結(jié)果顯示：每個運動員所得的9個分數(shù)中高、低

之差都不大于.設各運動員的得分總和分別為，，…，，且，求的最大值.

3c1c2c12c1c2c12c1

(第十九屆江蘇省競賽試題)

B級

1.為制定本市初中七、八、九年級學生校服的生產(chǎn)計劃，有關(guān)部門準備對180名初中男生的身高作調(diào)查，

現(xiàn)有三種調(diào)查方案：

A、測量少體校中180名男子籃球、排球隊員的身高；

B、查閱有關(guān)外地180名男生身高的統(tǒng)計資料；

C、在本市的市區(qū)和郊縣各任選一所完全中學、兩所初級中學，在這六所學校有關(guān)年級的（1）班中，用

抽簽的方法分別選出10名男生，然后測量他們的身高．問：

（1）為了達到估計本市初中這三個年級男生身高分布的目的，你認為采用上述哪一種調(diào)查方案比較合

理，為什么？

答：選________；理由：______________________________________________________________

（2）下表中的數(shù)據(jù)是使用了某種調(diào)查方法獲得的：

初中男生身高情況抽樣調(diào)查表

人數(shù)年級總計

七年級八年級九年級

身高(cm)（頻數(shù)）

143~1531230

153~1631896

163~173243339

173~18361512

183~193003

（注：每組可含最低值，不含最高值）

①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填寫表中的空格；

②根據(jù)填寫的數(shù)據(jù)繪制頻數(shù)分布直方圖．

（上海市中考試題）

2.為了檢查一批產(chǎn)品的合格率，從中檢查了100個產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：

數(shù)據(jù)a1a2a3a4a5a6a7a8

個數(shù)51015202015105

其中，，，…，是從小到大排列的兩位數(shù)，且每個兩位數(shù)與它的反序數(shù)（的反序數(shù)是）

a1a2a3a81221

之和都為完全平方數(shù)，樣本的方差是________.

（遼寧錦州市競賽試題）

3.五名學生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為

abcd

b米，前兩名的平均身高為c，后三名的平均身高為d，則與比較（）

22

abcd

A.大B.大C.兩者相等D.無法確定

22

（“五羊杯”邀請賽試題）

.已知數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，

4x1x2x3ay1y2y3b2x13y12x23y2

的平均數(shù)為（）

2x33y3

2

A.2a3bB.abC.6a9bD.2ab

3

（全國初中數(shù)學競賽試題）

5.小林擬將1，2，…，n這n個數(shù)輸入電腦，求平均數(shù).當他認為輸入完畢時，電腦顯示只輸入(n1)個

5

數(shù)，平均數(shù)為35，假設這(n1)個數(shù)輸入無誤，則漏輸入的一個數(shù)是（）

7

A.10B.53C.56D.67

（江蘇省競賽試題）

6.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一個矩形零件，

使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．設該矩形的長QM=ymm，寬MN=xmm．

3

（1）求證：y120x；

2

（2）當矩形PQMN的面積最大時，它的長和寬是關(guān)于t的一元二次方程t210pt200q0的兩個根，

而p、q的值又恰好分別是a，10，12，13，b這5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求a與b的值．

（廣西壯族自治區(qū)中考試題）

7.某班參加一次智力競賽，共a，b，c三道題，每題或者得滿分或者得0分．其中題a滿分20分，b、

c題滿分都為25分，競賽結(jié)果：每個學生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的

有15人，答對題a的人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29；答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25；

答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20，問這個班的平均成績是多少.

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

8.元旦聯(lián)歡會某班布置教室，同學們利用彩紙條粘成一環(huán)套一環(huán)的彩紙鏈，小敏測量了部分彩紙鏈的長

度，她得到的數(shù)據(jù)如下表：

紙環(huán)數(shù)x（個）1234…

彩紙鏈長度y(cm)19365370…

（1）把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在如圖所示的平面直角坐標系中描出相應的點，猜

想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；

（2）教室天花板對角線長10m，現(xiàn)需沿天花板對角線各拉一根彩紙鏈，則每根彩紙鏈至少要用