初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題25圖形面積的計算（解析版）

專題25圖形面積的計算

閱讀與思考

計算圖形的面積是平面幾何中常見的基本問題之一，它包括兩種主要類型：

1.常見圖形面積的計算

由于一些常見圖形有計算面積的公式，所以，常見圖形面積一般用公式來解.

2.非常規(guī)圖形面積的計算

非常規(guī)圖形面積的計算通常轉(zhuǎn)化為常見圖形面積的計算，解題的關(guān)鍵是將非常規(guī)圖形面積用常規(guī)

圖形面積的和或差來表示.

計算圖形的面積還常常用到以下知識：

（1）等底等高的兩個三角形面積相等.

（2）等底的兩個三角形面積的比等于對應(yīng)高的比.

（3）等高的兩個三角形面積的比等于對應(yīng)底的比.

（4）等腰三角形底邊上的高平分這個三角形的面積.

（5）三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積.

（6）平行四邊形的對角線平分它的面積.

熟悉如下基本圖形：

例題與求解

【例1】如圖，在直角△ABC的兩直角邊AC，BC上分別作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，

連接GW，若AC=14，BC=28，則S△AGW=______________．

(2013年“希望杯”全國數(shù)學邀請賽試題)

解題思路：△AGW的面積可以看做△AGF和△GWF的面積之差.

【例2】如圖，已知△ABC中的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且

BC=4CF.四邊形BDCE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為()

A．3B．4C．5D．6

（2013年全國初中數(shù)學競賽廣東試題）

解題思路：設(shè)△ABC底邊BC上的高為h.本例關(guān)鍵是通過適當變形找出h和DE之間的關(guān)系．

【例3】如圖，平行四邊形ABCD的面積為30cm2，E為AD邊延長線上的一點，EB與DC交于F

點，已知三角形FBC的面積比三角形DEF的面積大9cm2，AD=5cm，求DE長.

（北京市“迎春杯”競賽試題）

解題思路：由面積求相關(guān)線段，是一個逆向思維的過程，解題的關(guān)鍵是把條件中圖形面積用DE及

其它線段表示．

【例4】如圖，四邊形ABCD被AC與DB分成甲、乙、丙、丁4個三角形，已知BE=80cm，CE=60

cm，DE=40cm，AE=30cm，問：丙、丁兩個三角形面積之和是甲、乙兩個三角形面積之和的多少倍？

（“華羅庚杯”競賽決賽試題）

解題思路：甲、乙、丙、丁四個三角形面積可通過線段的比而建立聯(lián)系，找出這種聯(lián)系是解本例的

突破口.

【例5】如圖，△ABC的面積為1，D，E為BC的三等分點，F(xiàn)，G為CA的三等分點，求四邊形

PECF的面積.

解題思路：連CP，設(shè)S△PFC=x，S△PEC=y，建立x，y的二元一次方程組.

【例6】如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點，DE與AF交于點P，點Q在線段

DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面積與平行四邊形ABCD的面積的比值．

（2013年”希望杯“數(shù)學邀請賽試題）

解題思路：連接EF，DF，AC，PB，設(shè)S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面積.

能力訓(xùn)練

A級

1.如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線相交于點O.過點O的直線分別交AD，BC于E，F(xiàn)，

則陰影部分面積是______.

（海南省競賽試題）

2.如圖，在長方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是CE的中點，若△BDF的面積為6平方厘米，

則長方形ABCD的面積是_____________平方厘米.

（“希望杯”邀請賽試題）

3.如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以AB，BC，CD，DA分別為直徑畫半圓，則這四個半圓弧

所圍成的陰影部分的面積是____________.

（安徽省中考試題）

4.如圖，已知AB，CD分別為梯形ABCD的上底、下底，陰影部分總面積為5平方厘米，△AOB

的面積是0.625平方厘米，則梯形ABCD的面積是_________平方厘米.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

1

5.如圖，長方形ABCD中，E是AB的中點，F(xiàn)是BC上的一點，且CF=BC，則長方形ABCD

3

的面積是陰影部分面積的()倍.

A.2B.3C.4D.5

6.如圖，是一個長為a，寬為b的長方形，兩個陰影圖形都是一對長為c的底邊在長方形對邊上的

平行四邊形，則長方形中未涂陰影部分的面積為().

A.ab(ab)cB.ab(ab)cC.(ac)(bc)D.(ac)(bc)

7．如圖，線段AB=CD=10cm，BC和DA是弧長與半徑都相等的圓弧，曲邊三角形BCD的面積是

1

以D為圓心、DC為半徑的圓面積的，則陰影部分的面積是()．

4

A．25πB.100C.50πD.200

（“五羊杯”競賽試題）

8．如圖，一個大長方形被兩條線段AB、CD中分成四個小長方形，如果其中圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面

積分別為8，6，5，那么陰影部分的面積為()．

971015

A.B.C.D．

2238

9．如圖，長方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的任一點，△ABG，△DCH的面積分別為

15和20，求陰影部分的面積.

（五城市聯(lián)賽試題）

10.如圖，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點G在線段DK上，已

知正方形BEFG的邊長為4，求△DEK的面積．

（廣西壯族自治區(qū)省南寧市中考試題）

B級

1.如果圖中4個圓的半徑都為a，那么陰影部分的面積為_____________.

（江蘇省競賽試題）

2.如圖，在長方形ABCD中，E是BC上的一點，F(xiàn)是CD上的一點，若三角形ABE的面積是長方

12

形ABCD面積的，三角形ADF的面積是長方形ABCD面積的，三角形CEF的面積為4cm2，那么

35

長方形ABCD的面積是_________cm2.

（北京市“迎春杯”邀請賽試題）

3.如圖，邊長為3厘米與5厘米的兩個正方形并排放在一起，在大正方形中畫一段以它的一個頂點

為圓心，邊長為半徑的圓弧，則陰影部分的面積為___________________.

（“希望杯”邀請賽試題）

4.如圖，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7，4，6，則陰影部分的面積是_____.

(“五羊杯”競賽試題）

1

5.如圖，把等邊三角形每邊三等分，使其向外長出一個邊長為原來的的小等邊三角形，稱為一次

3

“生長”，在得到的多邊上類似“生長”，一共“生長”三次后，得到的多邊形的邊數(shù)=________，面積

是原三角形面積的______倍.

(“五羊杯”競賽試題）

11

6.如圖，在長方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一條直線上，則陰影部分

23

的面積等于().

A.8B.12C.16D．20

7.如圖，邊長分別為8cm和6cm的兩個正方形，ABCD與BEFG并排放在一起，連接EG并延長交

AC于K，則△AKE的面積是().

A.48cm2B.49cm2C.50cm2D．51cm2

（2013年“希望杯”邀請賽試題）

8.在一個由8×8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個半徑為4的圓，若把圓經(jīng)過的所有

S1

小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S1，把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓外部分的面積之和記為S2，則的

S2

整數(shù)部分是().

A.0B.1C.2D．3

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

9.如圖，△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在三邊上，E是AC的中點，AD，BE，CF交于一點G，BD=2DC，

S△GEC=3，S△GDC=4，則△ABC的面積是().

A.25B.30C.35D．40

10.已知O（0，0），A（2，2），B（1，a），求a為何值時，S△ABO=5？

11.如圖，已知正方形ABCD的面積為1，M為AB的中點，求圖中陰影部分的面積.

（湖北省武漢市競賽試題）

DCEAFB1△GHI的面積

12.如圖，△ABC中，.求的值.

DBECFA2△ABC的面積

（“華羅庚金杯”邀請賽試題）

專題25圖形面積的計算

例1196提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.

111

?△???=?△?????△???=222

例2D提示：設(shè)ABC底邊上的高為h，則×BC×h=24故h====.設(shè)ABC底邊DE上的高

148481212

△2??4??????△

為，BDE底邊DE上的高為，則h=.∴=+=（+）

111

?1△?2?1+?2?△???+?△???2?????12?????22?????1?2

===6.

1112

2?????2??????

例提示：設(shè)的邊上的高為，長為，則，解得

32cm.ABEAEhcmDExcm1DE=2.

5??2?5+?=9

△

5S丙CES丙BES丁DE1S丁AE1

例4提示：2,2,,5?=30.

4S甲EAS乙EDS甲BE2S乙EC2

1111

例5SS，SS.設(shè)S=x，S=y則S=3x，S=3y

AEC3ABC3BGF3ABC3PECPFCPBCPCA

1

x3y

32

于是①+②，得（4xy），

13

3xy

3

11

∴xy，即S=.

6PECF6

a

例6設(shè)S=a，因為E,F分別是AB,BC的中點，所以SS.

ABCDADEABF4

a

aaEP81

∴SS四邊形.如圖，連接EF,DF，則S=，S=.所以=.

APDBEPFAEF8ADF2PDa4

2

aaaa

設(shè)Sx，則S=4x.由SS四邊形得x=4x.∴x=.∴S4=.

AEPADPAPDBEPF420APD205

aaa3

連接AC，又∵AQ∥PC，SS，∴SS.∴S=a.連接PB，則

APQACQACQADQ5CDQ2510

a1aaa3aa

SS=.由SS=a，得SSS.∴

EBPAEP20ABPCDP2CPQ2ABPCDQ2101010

a

PQSCPQ1PQ11aaa3a

10=，從而=，SS=.于是S=SS=.∴

3aAPQAPD梯形APCQAPQCPQ

DQSCDQ3PD4420201020

10

S梯形APCQ3

=.

SABCD20

A級

11

1.提示：SS,S陰影S正方形.

4POCAOE4ABCD

2.48.

2a2

3.

2

4.15.625.

5.B.

6.C.

7.B.

8.C.

提示連接，

9.35:EFSEGFSABG,SEFHSDHC.

10.解法一：將DEK的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積之和或差.如圖,延長AE交PK的延長線于點H.設(shè)正

方形ABCD，正方形PKPF的邊長分別a，b.則

△

SDEKS正方形ABCDS正方形BEFGS矩形EHPFSADESCDGSPKGSFHK

1111

=a2424baa4aa-4bb4b4-b

2222

1111

=a2164ba22aa22ab22b2b+b2

2222

=16.

解法二：運用等積變形轉(zhuǎn)化問題，連接則∠∠∴∥得，

DB,GE,FK.DBA=GEB=45°,DBGE,SGEDSGEB

同理∥，得

GEFKSGEKSGEF.

∴

SDEKSGEDSGEKSGEBSGEFS正方形BEFG16.

B級

1.12a23a2（或2.58a2）.

11

2.120提示：設(shè)AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.則BE=b-c-，DF=a-d，c=b，d=a，cd=8.

25

3.18.75（≈3）.

4.8.5提示：連HD.

124142

5.48提示：“生長”n次后得到34n邊形，面積為原面積的倍.

8193n1

6.B.

7.B提示：過點K作KH⊥AB.∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴

111

KH=AE=7.SAEKH14749.

2AKE22

1

8.B提示：根據(jù)正方形的對稱性，只需考慮它的部分即可.

4

9.B.

⑴當＞時，即在上方時，如圖，∴

10.a1BOA.SAOBSCBOS梯形BCDASAOD

111

51aa22122，解得a=6.

222

111

⑵當0≦a＜1時，即B在OA于x軸之間時，依題意，有221a-a21=5，解得a=-4

222

（不合題意，舍去）.

111

⑶當a＜0時，即B在x軸下方時，有122a221a=5，解得a=-4.

222

綜上所述，當或時，

a=-4a=6SABO5.

1

11.SS.∵S為公共部分,∴SS.又因為AMG與AMD的高的高相等

AMDAMC4AMGAGDCMG

△△