初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題02數(shù)的整除性（解析版）

專題02數(shù)的整除性

閱讀與思考

設(shè)a，b是整數(shù)，b≠0，如果一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，那么稱a能被b整除，或稱b整

除a，記作b|a，又稱b為a的約數(shù)，而a稱為b的倍數(shù)．解與整數(shù)的整除相關(guān)問題常用到以下知識：

1．?dāng)?shù)的整除性常見特征：

①若整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，則2|a；

②若整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是0或5，則5|a；

③若整數(shù)a的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù)，則3|a(或9|a)；

④若整數(shù)a的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)，則4|a(或25|a)；

⑤若整數(shù)a的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)，則8|a(或125|a)；

⑥若整數(shù)a的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)，則11|a．

2．整除的基本性質(zhì)

設(shè)a，b，c都是整數(shù)，有：

①若a|b，b|c，則a|c；

②若c|a，c|b，則c|(a±b)；

③若b|a，c|a，則[b，c]|a；

④若b|a，c|a，且b與c互質(zhì)，則bc|a；

⑤若a|bc，且a與c互質(zhì)，則a|b．特別地，若質(zhì)數(shù)p|bc，則必有p|b或p|c．

例題與求解

【例1】在1，2，3，…，2000這2000個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)自然數(shù)能同時(shí)被2和3整除，而

且不能被5整除．

(“五羊杯”競賽試題)

解題思想：自然數(shù)n能同時(shí)被2和3整除，則n能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求．

【例2】已知a，b是正整數(shù)(a＞b)，對于以下兩個(gè)結(jié)論：

①在a＋b，ab，a－b這三個(gè)數(shù)中必有2的倍數(shù)；

②在a＋b，ab，a－b這三個(gè)數(shù)中必有3的倍數(shù)．其中()

A．只有①正確B．只有②正確

C．①，②都正確D．①，②都不正確

(江蘇省競賽試題)

解題思想：舉例驗(yàn)證，或按剩余類深入討論證明．

【例3】已知整數(shù)13ab456能被198整除，求a，b的值．

(江蘇省競賽試題)

解題思想：198=2×9×11，整數(shù)13ab456能被9，11整除，運(yùn)用整除的相關(guān)特性建立a，b的等式，

求出a，b的值．

【例4】已知a，b，c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7a＋2b＋3c的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5a＋

7b－22c的值是否一定能被13整除，為什么？

(“華羅庚金杯”邀請賽試題)

解題思想：先把5a＋7b－22c構(gòu)造成均能被13整除的兩個(gè)代數(shù)式的和，再進(jìn)行判斷．

【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)

數(shù)”(例如：把86放在415左側(cè)，得到86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù))，求正整數(shù)n的

最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，，…，，滿足對任意一個(gè)正整數(shù)，在，，…，

a1a2anma1a2an

中都至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”．

(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

解題思想：不妨設(shè)，，，…，；，，，，，，至少有一個(gè)為的

ai7kit(i=123nt=0123456)m

“魔術(shù)數(shù)”．根據(jù)題中條件，利用k是的位數(shù)被除所得余數(shù)，分析的取值．

ai10m(km)7i

【例】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點(diǎn)，跳動一次后到達(dá)，已知，滿足－，

6akak1akak1|ak1ak|=1

我們把青蛙從開始，經(jīng)－次跳動的位置依次記作：，，，…，．

a1n1Ana1a2a3an

⑴寫出一個(gè)，使其，且＋＋＋＋；

A5a1a50a1a2a3a4a5>0

⑵若，，求的值；

a1=13a2000=2012a1000

⑶對于整數(shù)≥，如果存在一個(gè)能同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：①；②＋＋＋…

n(n2)Ana1=0a1a2a3

＋．求整數(shù)≥被除的余數(shù)，并說理理由．

an=0n(n2)4

(2013年“創(chuàng)新杯”邀請賽試題)

解題思想：⑴．即從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過次跳動后回到原點(diǎn)，這就只能兩次向右，兩次向

a1a504

左．為保證＋＋＋＋．只需將“向右”安排在前即可．

a1a2a3a4a5>0

⑵若，，從經(jīng)過步到．不妨設(shè)向右跳了步，向左跳了步，則

a1=13a2000=2012a11999a2000xy

xy1999x1999

，解得可見，它一直向右跳，沒有向左跳．

13xy2012y0

⑶設(shè)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①；②＋＋＋…＋．由于，故從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)

Ana1=0a1a2a3an=0a1=0

過－步到達(dá)，假定這－步中，向右跳了步，向左跳了步，于是－，＋

(k1)ak(k1)xkykak=xkykxkyk=k

－，則＋＋＋…＋＋＋＋…＋＋…＋－

1a1a2a3an=0(x2y2)(x3y3)(xnyn)=2(x1x2xn)[(x2y2)

nn1

＋(xy)＋…＋(xy)]=2(x＋x＋…＋x)－．由于a＋a＋a＋…＋a=0，所以

33nn23n2123n

－＋＋…＋．即－．

n(n1)=4(x2x3xn)4|n(n1)

能力訓(xùn)練

A級

111

1．某班學(xué)生不到50人，在一次測驗(yàn)中，有的學(xué)生得優(yōu)，的學(xué)生得良，的學(xué)生得及格，則

732

有________人不及格．

2．從1到10000這1萬個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)數(shù)能被5或能被7整除．

(上海市競賽試題)

3．一個(gè)五位數(shù)3ab98能被11與9整除，這個(gè)五位數(shù)是________．

4．在小于1997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A．532B．665C．133D．798

5．能整除任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是()

A．1B．2C．3D．6

(江蘇省競賽試題)

6．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有()

A．12個(gè)B．18個(gè)C．20個(gè)D．30個(gè)

(“希望杯”邀請賽試題)

7．五位數(shù)abcde是9的倍數(shù)，其中abcd是4的倍數(shù)，那么abcde的最小值為多少？

(黃岡市競賽試題)

8．1，2，3，4，5，6每個(gè)使用一次組成一個(gè)六位數(shù)字abcdef，使得三位數(shù)abc，bcd，cde，def

能依次被4，5，3，11整除，求這個(gè)六位數(shù)．

(上海市競賽試題)

9．173□是個(gè)四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，

依次可被9，11，6整除．”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的這3個(gè)數(shù)字的和是多少？

(“華羅庚金杯”邀請賽試題)

B級

1．若一個(gè)正整數(shù)a被2，3，…，9這八個(gè)自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1，則a的最小值為_________，

a的一般表達(dá)式為____________．

(“希望杯”邀請賽試題)

2．已知m，n都是正整數(shù)，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，則滿足條件的數(shù)對(m，n)

共有___________個(gè)．

(天津市競賽試題)

3．一個(gè)六位數(shù)x1989y能被33整除，這樣的六位數(shù)中最大是__________．

1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,1999

4．有以下兩個(gè)數(shù)串1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)

數(shù)共有()個(gè)．

A．333B．334C．335D．336

5．一個(gè)六位數(shù)a1991b能被12整除，這樣的六位數(shù)共有()個(gè)．

A．4B．6C．8D．12

6．若1059，1417，2312分別被自然數(shù)n除時(shí)，所得的余數(shù)都是m，則n－m的值為()．

A．15B．1C．164D．174

7．有一種室內(nèi)游戲，魔術(shù)師要求某參賽者相好一個(gè)三位數(shù)abc，然后，魔術(shù)師再要求他記下五個(gè)

數(shù)：acb，bac，bca，cab，cba，并把這五個(gè)數(shù)加起來求出和N．只要講出N的大小，魔術(shù)師就

能說出原數(shù)abc是什么．如果N=3194，請你確定abc．

(美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)

8．一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一

個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱N為“拷貝數(shù)”，試求所有的三位“拷貝

數(shù)”．

(武漢市競賽試題)

9．一個(gè)六位數(shù)，如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置，則所得的新六位數(shù)恰為原數(shù)的6

倍，求這個(gè)三位數(shù)．

(“五羊杯”競賽試題)

10．一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和為1999，求這個(gè)四位數(shù)，并說明理由．

(重慶市競賽試題)

11．從1，2，…，9中任取n個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)(至少一個(gè)，也可以是全部)，它們

的和能被10整除，求n的最小值．

(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

專題02數(shù)的整除性

例1267提示：333－66＝267．

例2C提示：關(guān)于②的證明：對于a，b若至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，則ab是3的倍數(shù)．若a，b

都不是3的倍數(shù)，則有：(1)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋1時(shí)，a－b＝3(m－n)；(2)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋2時(shí)，

a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋1時(shí)，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋2時(shí)，

a－b＝3(m－n).

例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4設(shè)x，y，z，t是整數(shù)，并且假設(shè)5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c

7x13y5

的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有2x13z7，取x＝－3，可以得到y(tǒng)＝2，z＝1，t＝－1，

3x13t22

則有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，

則5a＋7b－22c就能被13整除．

例5考慮到“魔術(shù)數(shù)”均為7的倍數(shù)，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設(shè)a1＜a2＜…＜an，余數(shù)必

為1，2，3，4，5，6，0，設(shè)ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個(gè)為m

k

的“魔術(shù)數(shù)”，因?yàn)閍i·10＋m(k是m的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當(dāng)i≤b時(shí)，而ai·t除以7的余數(shù)都是0，

k

1，2，3，4，5，6中的6個(gè)；當(dāng)i＝7時(shí)，而ai·10除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)

kk

字循環(huán)出現(xiàn)，當(dāng)i＝7時(shí)，依抽屜原理，ai·10與m二者余數(shù)的和至少有一個(gè)是7，此時(shí)ai·10＋m被7

整除，即n＝7．

例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余數(shù)

為0或1．

A級

1．12．31433．397984．A5．C6．B

—————

7．五位數(shù)abcde＝10×abcd＋e.又∵abcd為4的倍數(shù)．故最值為1000，又因?yàn)閍bcde為9的倍數(shù)．故1

—

＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此abcde最小值為10008.

8．324561提示：d＋f－e是11的倍數(shù)，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d

＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，

9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個(gè)數(shù)為8，4．

B級

1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)

2．57

3．719895提示：這個(gè)數(shù)能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數(shù)字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能

被3整除，故x＋y能被3整除．

4．B

5．B

6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．

———————

7．由題意得acb＋bac＋bca＋cab＋cba＝3194，兩邊加上abc．得222(a＋b＋c)＝3194＋abc

——

∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋abc．則abc＋86是222的倍數(shù)．

——————

且a＋b＋c＞14．設(shè)abc＋86＝222n考慮到abc是三位數(shù)，依次取n＝1，2，3，4.分別得出abc的可能

——

值為136，358，580，802，又因?yàn)閍＋b＋c＞14．故abc＝358．

8．設(shè)N為所求的三位“拷貝數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數(shù)碼重新排列

————————

后，設(shè)其中最大數(shù)為abc，則最小數(shù)為cba．故N＝abc－cba＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)

＝99(a－c)．

可知N為99的倍數(shù)．這樣的三位數(shù)可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而

這9個(gè)數(shù)中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù)”．

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9．設(shè)原六位數(shù)為abcdef，則6×abcdef＝defabc，即6×(1000×abc＋def)＝1000×def＋abc，所