數(shù)學(xué)（全國甲卷）（文科）（全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解絕對值不等式求出集合，然后求其補集，再根據(jù)交集定義進(jìn)行計算.【詳解】因為或}，所以，又所以.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)滿足,是的共軛復(fù)數(shù),則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡等式得到,計算得到共軛復(fù)數(shù),即可得到的值.【詳解】由題意得,∴,∴.故選:A.3．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷求最值時所過的點，即可得范圍.【詳解】由題設(shè)可行域如下圖示，目標(biāo)式表示在在平移過程中，與可行域有交點情況下在x軸上的截距，由圖知：目標(biāo)函數(shù)過和的交點時有最小值，過和交點時有最大值，所以，故取值范圍為.故選：C．4．直線與圓相交于A，B兩點，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．充分必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】由直線與圓相交，應(yīng)用點線距離、相交弦長的幾何求法列方程求參數(shù)，再根據(jù)充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.【詳解】由題設(shè)，圓心到直線的距離，且圓的半徑為1，若，則，即，可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C5．塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達(dá)200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合發(fā)布《關(guān)于扎實推進(jìn)污染物治理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（

）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A．20 B．16 C．12 D．7【答案】B【分析】由，解方程即可.【詳解】依題意有時，，則，當(dāng)時，有，，.故選：B6．已知是函數(shù)的一個極值點，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題知，可得，由二倍角公式可算得，進(jìn)而有，所以.【詳解】，∴，∴，∴故選：D7．已知，，，，若存在非零實數(shù)使得，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得，再結(jié)合基本不等式中的巧用“1”即可求解.【詳解】若存在非零實數(shù)使得，即，又，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：B8．在三棱錐中，，，，平面平面，若三棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的半徑為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)三棱錐中線面關(guān)系可先確定球心點在上，再利用勾股定理求解即可.【詳解】

取的中點為，連接，因為，，所以，,所以．又因為平面平面，平面平面，所以平面，又，則球心在直線上，連接，設(shè)球的半徑為，則，即有，得,故選：B9．知實數(shù)a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，而，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較的大小，再求出，則可得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷.【詳解】由，得，所以，又函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，即，所以由，得，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)和在上單調(diào)遞減，故，，所以A錯誤；，．又，所以，，所以C錯誤；由，得．因為，所以，故，所以B錯誤；因為在上單調(diào)遞增，且，所以．因為在上單調(diào)遞減，且，所以，故．故選：D．10．的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下說法正確的是（

）

A．若圓的半徑為，則；B．函數(shù)在上單調(diào)遞減；C．函數(shù)的圖象向左平移個單位后關(guān)于對稱；D．函數(shù)的最小正周期是.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得的最小正周期，可判定D錯誤；利用五點作圖法，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定B錯誤；利用三角函數(shù)的圖形變換得到平移后的函數(shù)解析式為，進(jìn)而判定C錯誤；利用，求得的值，可判定A正確.【詳解】由函數(shù)圖象，可得點的橫坐標(biāo)為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以D不正確；又由，且，即，根據(jù)五點作圖法且，可得，解得，因為，可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在是先減后增的函數(shù)，所以B錯誤；將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到，可得對稱軸的方程為，即，所以不是函數(shù)的對稱軸，所以C錯誤；當(dāng)時，可得，即,若圓的半徑為，則滿足，即，解得，所以的解析式為，所以A正確.故選：A.11．已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點，，點為它們在第一象限的交點，動點在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義可得，結(jié)合離心率可得，在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點時，取到最大值，分析求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，又因為，可得，由直線與軸的交點的坐標(biāo)為可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點時，取到最大值，此時，且，則，所以，即.故選：A.

.【點睛】本題解決的關(guān)鍵在于找到的兩種表達(dá)方式，構(gòu)造了關(guān)于的方程，從而得解.12.已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求導(dǎo)得（），由于函數(shù)有兩個不同的極值點，，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)，通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數(shù)有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．在中，角A，，所對的分別為，，．若角A為銳角，，，則的周長可能為．（寫出一個符合題意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個值均可）【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，進(jìn)而可得周長的取值范圍.【詳解】由余弦定理可得，因為角A為銳角，則，可得，所以的周長.故答案為：9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個值均可）.14．某校高三（4）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖，且將全班25人的成績記為由右邊的程序運行后，輸出.據(jù)此解答如下問題：注：圖中表示“是”，表示“否”利用頻率分布直方圖估計該班的數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)是分.【答案】73.5.【分析】由莖葉圖及頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在之間，之間，之間的頻數(shù)，再根據(jù)程序框圖可得分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，從而可得分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，從而可得分?jǐn)?shù)在各個區(qū)間的頻率，再根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得中位數(shù).【詳解】解：由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，故分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為，由莖葉圖可知，分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為2，分?jǐn)?shù)之間的頻數(shù)為7，由程序框圖及輸出可知，分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為10，所以分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為，所以分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，分?jǐn)?shù)在之間的頻率為，因為，，所以中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以中位數(shù)為73.5分.故答案為：73.5.15．已知點在拋物線上，為拋物線的焦點，圓與直線相交于兩點，與線段相交于點，且．若是線段上靠近的四等分點，則拋物線的方程為．【答案】【分析】設(shè)，表示出，利用拋物線定義、點在拋物線上以及圓的弦長的幾何性質(zhì)列出關(guān)于的方程，即可求得p，即得答案.【詳解】由可知，設(shè)，則，則，故，即①；又點在拋物線上，故②，且，即③，②聯(lián)立得，得或，由于，故，結(jié)合③，解得，故拋物線方程為，故答案為：【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于要結(jié)合拋物線的定義以及圓的弦長的幾何性質(zhì)，找出參數(shù)間的等量關(guān)系，從而列出方程組，即可求解.16．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）①當(dāng)時，的周長為定值；②當(dāng)時，三棱錐的體積為定值；③當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得；④當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得平面【答案】②④【分析】①結(jié)合得到P在線段上，結(jié)合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點到平面距離不變，故體積為定值；③結(jié)合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結(jié)合圖形得到有唯一的點P，使得線面垂直.【解析】由題意得：，，，所以P為正方形內(nèi)一點，①，當(dāng)時，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當(dāng)點P在處時，，故①錯誤；②，如圖2，當(dāng)時，即，即，，所以P在上，，因為∥BC，平面，平面，所以點P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當(dāng)時，即，如圖3，M為中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當(dāng)時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因為平面，則，當(dāng)時，點P與點M重合時，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當(dāng)時，即，如圖4所示，D為的中點，E為的中點，則P為DE上一動點，易知，若平面，只需即可，取的中點F，連接，又因為平面，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當(dāng)且僅當(dāng)點P與點E重合時，故只有一個點P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點，特殊值進(jìn)行排除選項，或者用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化等思路進(jìn)行解決.三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）近年來我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，下表是某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：年份銷量（萬臺）某機構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：購置傳統(tǒng)燃油車購置新能源車總計男性車主女性車主總計(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份的線性相關(guān)系數(shù)，并判斷與之間的線性相關(guān)關(guān)系的強弱；（若，相關(guān)性較強；若，相關(guān)性一般；若，相關(guān)性較弱）(2)請將上述列聯(lián)表補充完整，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析購車車主購置新能源乘用車與性別是否有關(guān)系？①參考公式：相關(guān)系數(shù)；②參考數(shù)據(jù)：；③卡方臨界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中，.【答案】(1)0.96，y與x之間的線性相關(guān)性較強(2)表格見解析，認(rèn)為購車車主購置新能源乘用車與性別是有關(guān)，此推斷犯錯誤概率不大于0.05.【分析】（1）根據(jù)公式計算相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而判斷相關(guān)性強弱；（2）完成聯(lián)表，根據(jù)公式計算，結(jié)合臨界值表判斷是否有關(guān).【詳解】（1）由表格知：，，（1分）所以，，，（4分）由上，有，所以與之間的線性相關(guān)性較強；（7分）（2）依題意，完善表格如下：購置傳統(tǒng)燃油車購置新能源車總計男性車主女性車主總計（9分）則的觀測值，（11分）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們認(rèn)為購車車主購置新能源乘用車與性別是有關(guān)，此推斷犯錯誤概率不大于.（12分）18．（12分）在數(shù)列中，，，.設(shè).(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項和，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）把變形為，即，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由累加法求得，代入得，利用裂項相消法求和，再利用證明即可.【詳解】（1）因為，所以，（2分）又，所以，又，（4分）所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.（5分）（2）由（1）可得，當(dāng)時，，（7分）當(dāng)時也成立，所以.（8分）所以，（9分）所以，（11分）又，所以.（12分）19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．(1)求證：B，D，E，四點共面；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題設(shè)，，進(jìn)而有，易得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合，即可證結(jié)論；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直，最后根據(jù)體積公式計算即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，，（1分）因為，，即，，所以，（3分）則四邊形為平行四邊形，則．（4分）又因為，所以，故B，D，E，四點共面．（5分）（2）連接，取AC的中點O，連接，BO，如圖所示．（6分）在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，，則，（7分）又，所以為等邊三角形．又O為AC的中點，所以．（8分）又平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC．（9分）又，O為AC的中點，所以．因為，，所以，，．（10分）又因為，，（11分）所以四棱錐的體積為．（12分）20．（12分）已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實數(shù)a和b的值；(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點P．且點P在橢圓上，試探究梯形的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)，(2)是定值，該定值為．【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，即可求得答案；（2）設(shè)，，，表示出坐標(biāo)，利用點差法推出直線CD的方程，進(jìn)而聯(lián)立橢圓方程，求得弦長，結(jié)合點到直線的距離求得的面積，進(jìn)而可求得梯形的面積為定值.【詳解】（1）由題意知，，且，（2分）解得，．（3分）（2）梯形的面積是定值，該定值為．（4分）理由如下：由（1）知：，：,

設(shè)，，，則，因為，，所以A，B分別為PD，PC的中點，則，，則，（6分）作差可得，．因為，即，所以．同理可得，，所以C，D都在直線上，即直線CD的方程為．（8分）聯(lián)立，可得，，則，即．（10分）又因為點P到直線CD的距離，所以的面積為．又因為∽，，所以，（11分）所以梯形ABCD的面積為．（12分）【點睛】本題是關(guān)于求解橢圓中的參數(shù)以及定值問題，綜合性強；難點在于求解定值時，要有明確的解題思路，即方程思想，利用聯(lián)立方程，結(jié)合點的坐標(biāo)求解弦長以及面積等，并且計算過程較為復(fù)雜，計算量大，要十分細(xì)心.21．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，若曲線在處的切線方程為，證明：；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構(gòu)造函數(shù)并求出最值作答.（2）由給定不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點存在性定理分類討論求解不等式恒成立的a的范圍作答.【詳解】（1）當(dāng)時，，依題意，曲線在處的切點為，而，有，（2分）即曲線在處的切線方程為，記，（3分）求導(dǎo)得，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，因此，所以成立.（5分）（2）記，依題意，恒成立，求導(dǎo)得，令，（6分）則在上單調(diào)遞增，又，則，使得，即成立，則當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增，，由，得，于是得，當(dāng)時，令，有在上單調(diào)遞減，（8分）而在上單調(diào)遞增，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)且時，由（1）中知，有，從而，（10分）由知，因此滿足，又在上單調(diào)遞增，則有，而，所以實數(shù)的取值范圍是.（12分