七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)「篇一」

1.不等式：用符號(hào)〃，，〃>〃，〃w〃，〃力〃表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。

2.不等式分類：不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。

一般地，用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)〃>〃，〃〈〃連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用

不小于號(hào)(大于或等于號(hào))、不大于號(hào)(小于或等于號(hào))〃2〃，〃W〃連接的不等式稱為

非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。

3.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

4.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解.，組成這個(gè)不等式的解

集。

5.不等式解集的表示方法：

(1)用不等式表示：一般的，一個(gè)含未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，其解集是一

個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡單的不等式表達(dá)出來，例如：xTW2的解集是xW3

(2)用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地說明不

等式有無限多個(gè)解，用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點(diǎn)：一是定邊界線;二是定

方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理

⑴不等式F(x)<G(x)與不等式G(x)>F(x)同解。

⑵如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含，那么不等

式F(x)<G(x)與不等式H(x)+F(x)

(3)如果不等式F(x)<G(x)的定義域被解析式H(x)的‘定義域所包含，并且

H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)與不等式H(x)F(x)O,那么不等式F(x)<G(x)與

不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。

7.不等式的性質(zhì)：

⑴如果x>y,那么yy;(對稱性)

(2)如果x>y,y>z;那么x>z;(傳遞性)

(3)如果x>y,而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x+z>y+z;意口法則)

(4)如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz

⑸如果x>y,z>0,那么x+z>y+z;如果x>y,z<0,那么x+z

(6)如果x>y,m>n,那么x+m>y+n(充分不必要條件)

(7)如果如果0,m>n>0,那么xm>yn

(8)如果x>y>0,那么x的n次基>y的n次事(n為正數(shù))

8.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個(gè)未知數(shù)，并且未

知數(shù)的次數(shù)是1,像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

9.解一元一次不等式的一般順序：

⑴去分母(運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)

(2)去括號(hào)

(3)移項(xiàng)(運(yùn)用不等式性質(zhì)1)

(4)合并同類項(xiàng)

(5)將未知數(shù)的系數(shù)化為1(運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)

(6)有些時(shí)候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集

10.一元一次不等式與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用：

一般先求出函數(shù)表達(dá)式，再化簡不等式求解。

11.一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在

一起，就組成

了一個(gè)一元一次不等式組。

12.解一元一次不等式組的步驟：

(1)求出每個(gè)不等式的解集；

(2)求出每個(gè)不等式的解集的公共部分；(一般利用數(shù)軸)

(3)用代數(shù)符號(hào)語言來表示公共部分。(也可以說成是下結(jié)論)

13.解不等式的訣竅

(1)大于大于取大的(大大大)；

例如:X>-1,X>2,不等式組的解集是X〉2

(2)小于小于取小的(小小小)；

例如：X<-4,X<-6,不等式組的解集是X<-6

⑶大于小于交叉取中間；

⑷無公共部分分開無解了；

14.解不等式組的口訣

(1)同大取大

例如，x>2,x>3,不等式組的解集是X>3

⑵同小取小

例如，x<2,x<3,不等式組的解集是X<2

(3)大小小大中間找

例如，x<2,x>l,不等式組的解集是1

⑷大大小小不用找

例如，x<2,x>3,不等式組無解

15.應(yīng)用不等式組解決實(shí)際問題的步驟

⑴審清題意

⑵設(shè)未知數(shù)，根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出不等式組

⑶解不等式組

⑷由不等式組的解確立實(shí)際問題的解

(5)作答

16.用不等式組解決實(shí)際問題：其公共解不一定就為實(shí)際問題的解，所以需結(jié)

合生活實(shí)際具體分析，最后確定結(jié)果。

學(xué)好數(shù)學(xué)的方法和技巧

狠抓“雙基”訓(xùn)練

,?雙基”即基礎(chǔ)知激與基本技能?；A(chǔ)知識(shí)是指數(shù)學(xué)概念、定埋、法則、公式

以及各種知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系;基本技能是一種較穩(wěn)定的心理因素，是一種已經(jīng)程

式化了的動(dòng)作，初中數(shù)學(xué)基本技能包括運(yùn)算技能、畫圖技能、運(yùn)用數(shù)字語言的技

能、推理論證的技能等。只有扎實(shí)地掌握“雙基”，才能靈活應(yīng)用、深入探索，不

斷創(chuàng)新。

解決疑難

這是指對獨(dú)立完成作業(yè)過程中暴露出來對知識(shí)理解的錯(cuò)誤，或由于思維受阻遺

漏解答，通過點(diǎn)撥使思路暢通，補(bǔ)遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精

神，做錯(cuò)的作業(yè)再做一遍。對錯(cuò)誤的地方?jīng)]弄清楚要反復(fù)思考，實(shí)在解決不了的要

請教老師和同學(xué)，并經(jīng)常把容易錯(cuò)的地方拿來復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把

從老師、同學(xué)處獲得的東西消化變成自己的知識(shí)，長期堅(jiān)持使對所學(xué)知識(shí)由“熟”

到“活”。

數(shù)學(xué)有理數(shù)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)

乘法:

①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對值相乘。

②任何數(shù)與0相乘得0。

③乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：

①除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

②0不能作除數(shù)。

乘方：求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫幕，A叫底數(shù)，

N叫次數(shù)。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里的。

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)「篇二」

第六章實(shí)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)一】實(shí)數(shù)的分類

1、按定義分類：

2、按性質(zhì)符號(hào)分類：

注；0既不是正數(shù)乜不是負(fù)數(shù)。

【知識(shí)點(diǎn)二】實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

1、相反數(shù)

(1)代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反

數(shù)。。的相反數(shù)是0。

(2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)

數(shù)互為相反數(shù)，或數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。

（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0。a、b互為相反數(shù)a+b=0。

2、絕對值|a|20。

3、倒數(shù)（1）0沒有倒數(shù)（2）乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。a、b互為倒數(shù)。

4、平方根

（1）如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)

平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。a

（a^O）的平方根記作。

（2）一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根。a（a20）的算術(shù)平方

根記作。

5、立方根

如果x3:a,那么x叫做a的立方根。一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)

有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

【知識(shí)點(diǎn)三】實(shí)數(shù)與數(shù)軸

數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺

一不可。

【知識(shí)點(diǎn)四】實(shí)數(shù)大小的比較

1、對于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大。

2、正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,兩個(gè)正數(shù)，絕對值較大的那個(gè)正數(shù)大；兩個(gè)

負(fù)數(shù)；絕對值大的反而小。

3、無理數(shù)的比較大小：

【知識(shí)點(diǎn)五】實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加法

同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號(hào)兩數(shù)相

加，取絕對值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反

數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0;一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

2、減法：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法

幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積

為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)。幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0。

4、除法

除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并

把絕對值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0。

5、乘方與開方

（1）an所表示的意義是n個(gè)a相乘，正數(shù)的任何次格是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次事

是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冬是負(fù)數(shù)。

（2）正數(shù)和0可以開平方，負(fù)數(shù)不能開平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和。都可以開立

方。

（3）零指數(shù)與負(fù)指數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)六】有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1、有效數(shù)字：

一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)

字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。

2、科學(xué)記數(shù)法：

把一個(gè)數(shù)用(1^<10,n為整數(shù))的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法。

第七章平面直角坐標(biāo)系

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

二、知識(shí)要點(diǎn)

1、有序數(shù)對：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對叫做有序數(shù)對，記做(a,

b)o

2、平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面

直角坐標(biāo)系。

3、橫軸、縱軸、原點(diǎn)：水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸；豎直的數(shù)軸稱為y軸或

縱軸；兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

4、坐標(biāo)：對于平面內(nèi)任一點(diǎn)P,過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x

軸，y軸上，對應(yīng)的數(shù)a,b分別叫點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，記作P(a,b)。

5、象限：兩條坐標(biāo)軸把平面分成四個(gè)部分，右上部分叫第一象限，按逆時(shí)針

方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不在任何一個(gè)象限內(nèi)。

6、各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)①第一象限的點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0；②第二象限的

點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0；③第三象限的點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0；④第四象限的

點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0。

7、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)①x軸正半軸上的點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0；②x軸

負(fù)半軸上的點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0；③y軸正半軸上的點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0；

④y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)：橫坐

標(biāo)0,縱坐標(biāo)0；⑤坐標(biāo)原點(diǎn)：橫坐標(biāo)0,縱坐標(biāo)0。(填“>”、"心或“二”)

8、點(diǎn)P(a,b)到x軸的距離是|b|,到y(tǒng)軸的距離是|a|。

9、對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)①關(guān)于x軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相

反數(shù)；②關(guān)于y軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；③關(guān)于原點(diǎn)對

稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)。

10、點(diǎn)P(2,3)到x軸的距離是；到y(tǒng)軸的距離是；點(diǎn)P(2,3)關(guān)于x軸對稱

的點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；點(diǎn)P(2,3)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為(，)0

11、如果兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，則過這兩點(diǎn)的直線與y軸平行、與x軸垂直；

如果兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，則過這兩點(diǎn)的直線與x軸平行、與y軸垂直。如果點(diǎn)

P(2,3)、Q(2,6),這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同,則PQ〃y軸,PQJ_x軸;如果點(diǎn)P(-l,

2)、Q(4,2),這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,則PQ〃x軸，PQ_Ly軸。

12、平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐

標(biāo)相同；在一、三象限角平分線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同；在二、四象限角平

分線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。如果點(diǎn)P(a,b)在一、三象限角平分線

上，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，即4=13：如果點(diǎn)P(a,b)在二、四象限角平

分線上，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即@=-bO

13、表示一個(gè)點(diǎn)（或物體）的位置的方法：一是準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)

系；二是正確寫出物體或某地所在的點(diǎn)的坐標(biāo)。選擇的坐標(biāo)原點(diǎn)不同，建立的平面

直角坐標(biāo)系也不同，得到的同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)也不同。

14、圖形的平移可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的平移。坐標(biāo)平移規(guī)律：①左右平移時(shí)，橫坐標(biāo)

進(jìn)行加減，縱坐標(biāo)不變；②上下平移時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)進(jìn)行加減；③坐標(biāo)進(jìn)

行加減時(shí)，按“左減右力口、上加下減”的規(guī)律進(jìn)行。如將點(diǎn)P（2,3）向左平移2個(gè)

單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；將點(diǎn)P（2,3）向右平移2個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)

為（，）:將點(diǎn)P（2,3）向上平移2個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）：將點(diǎn)P（2,3）

向下平移2個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；將點(diǎn)P（2,3）先向左平移3個(gè)單位后

再向上平移5個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；將點(diǎn)P（2,3）先向左平移3個(gè)單位

后再向下平移5個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；將點(diǎn)P（2,3）先向右平移3個(gè)單

位后再向上平移5個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；將點(diǎn)P（2,3）先向右平移3個(gè)

單位后再向下平移5個(gè)單位后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）o

第八章二元一次方程組

1、含有未知數(shù)的等式叫方程，使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程

的解。

2、方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,這樣的方程叫

二元一次方程，二元一次方程的一般形式為（為常數(shù)，并且）。使二元一次方程的左

右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫二元一次方程的解，一個(gè)二元一次方程一般有無數(shù)

組解。

3、方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,這樣的方程

組叫二元一次方程組。使二元一次方程組每個(gè)方程的左右兩邊的值相等的未知數(shù)的

值叫二元一次方程組的解，一個(gè)二元一次方程組一般有一個(gè)解。

4、用代入法解二元一次方程組的一般步驟：觀察方程組中，是否有用含一個(gè)

未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)，如果有，則將它直接代入另一個(gè)方程中；如果沒

有，則將其中一個(gè)方程變形，用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)；再將表示

出的未知數(shù)代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，將

求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個(gè)方程，求出另外一個(gè)未知數(shù)的值。

5、用加減法解二元一次方程組的一般步驟：（1）方程組的兩個(gè)方程中，如果同

一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等乂不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使同

一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)：（2）把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消

去一個(gè)未知數(shù)：（3）解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；（4）將求出的未知

數(shù)的值代入原方程組中的任何一個(gè)方程，求出另外一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到原方

程組的解。

6、解三元一次方程組的一般步驟：①觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，確定

先消去哪個(gè)未知數(shù)；②利用代入法或加減法，把方程組中的一個(gè)方程，與另外兩個(gè)

方程分別組成兩組，消去同一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次

方程組；③解這個(gè)二元一次方程組，求得兩個(gè)未知數(shù)的值；④將這兩個(gè)未知數(shù)的值

代入原方程組中較簡單的一個(gè)方程中，求出第三個(gè)未知數(shù)的值，從而得到原三元一

次方程組的解。

第九章不等式與不等式組

1、用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫不等式，不等號(hào)主要包括：＞、＜、

2、在含有未知數(shù)的不等式中，使不等式成立的未知數(shù)的值叫不等式的解，

個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解組成的集合，叫這個(gè)不等式的解集。不等式的解

集可以在數(shù)軸上表示出來。求不等式的解集的過程叫解不等式。含有一個(gè)未知數(shù)，

并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,這樣的不等式叫一元一次不等式。

3、不等式的性質(zhì)：

①性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向

不變。

用字母表示為：如果，那么；如果，那么；

如果，那么；如果，那么。

②性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

用字母表示為：如果，那么（或）；如果，那么（或）；

如果，那么（或）；如果,那么（或）；

③性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

用字母表示為：如果，那么（或）；如果，那么（或）；

如果,那么（或）；如果，那么（或）；

4、解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同

類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1。這與解一元一次方程類似，在解時(shí)要根據(jù)一元一次不等式

的具體情況靈活選擇步驟。

5、不等式組中含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,這樣的

不等式組叫一元一次不等式組。使不等式組中的每個(gè)不等式都成立的未知數(shù)的值叫

不等式組的解，一個(gè)不等式組的所有的解組成的集合，叫這個(gè)不等式組的解集解

（簡稱不等式組的解）。不等式組的解集可以在數(shù)軸上表示出來。求不等式組的解集

的過程叫解不等式組。

6、解一元一次不等式組的一般步驟：①求出這個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解

集；②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，得到這個(gè)不等式組的解集。如

果這些不等式的解集的沒有公共部分，則這個(gè)不等式組無解（此時(shí)也稱這個(gè)不等式

組的解集為空集）。

7、求出各個(gè)不等式的解集后，確定不等式組的解的口訣：大大取大，小小取

小，大小小大取中間，大大小小無處找。

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

知識(shí)要點(diǎn)

1、對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的一般過程：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析得出

結(jié)論。

2、數(shù)據(jù)收集過程中，調(diào)查的方法通常有兩種：全面調(diào)查和抽樣調(diào)查。

3、除了文字?jǐn)⑹?、列表、劃記法外，還可以用條形圖、折線圖、扇形圖、百

方圖來描述數(shù)據(jù)飛

4、抽樣調(diào)查簡稱抽查，它只抽取一部分對象進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)推斷全

體對象的情況。要考察的全體對象叫總體，組成總體的每一個(gè)考察對象叫個(gè)體，被

抽取的那部分個(gè)體組成總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫這個(gè)樣本的容量。

5、畫頻數(shù)白方圖的步麻：①計(jì)算數(shù)差（值與最小值的差）；②確定組距和組

數(shù)；③列頻數(shù)分布表；④畫頻數(shù)直方圖。

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)「篇三」

一.整式

1.單項(xiàng)式

①由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

②單項(xiàng)式的系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)，作為單項(xiàng)式的系數(shù),必須連同數(shù)字前

面的性質(zhì)符號(hào),如果一個(gè)單項(xiàng)式只是字母的積,并非沒有系數(shù)。

③一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

2.多項(xiàng)式

①幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。其

中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式

的次數(shù)。

②單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都有次數(shù)，含有字母的單項(xiàng)式有系數(shù)，多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)。多項(xiàng)

式的每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式，一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)的單項(xiàng)式的個(gè)

數(shù)。多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有它們各自的次數(shù)，但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個(gè)多

項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)只有一個(gè),它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高的那一項(xiàng)次

數(shù)。

3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

二.整式的加減

1.整式的加減實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)后，合并同類項(xiàng),運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或是單

項(xiàng)式。

2.括號(hào)前面是“-”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí)，

這個(gè)數(shù)與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要相乘。

三.同底數(shù)幕的乘法

同底數(shù)室的乘法法則：（叫n都是正數(shù)）是事的運(yùn)算中最基本的法則,在應(yīng)用法則

運(yùn)算時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：

①法則使用的前提條件是：幕的底數(shù)相同而且是相乘時(shí),底數(shù)a可以是一個(gè)具

體的數(shù)字式字母,也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式；

②指數(shù)是1時(shí),不要誤以為沒有指數(shù)；

③不要將同底數(shù)嘉的乘法與整式的加法相混淆,對乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可

以相加;而對于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加；

④當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)累相乘時(shí),法則可推廣為（其中小n、p均為正數(shù)）;

⑤公式還可以逆用：（m、n均為正整數(shù)）

四.幕的乘方與積的乘方

1.幕的乘方法則：tm,n都是正數(shù)）是‘幕的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的,但兩者

不能混淆。

2.略

3.底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí),運(yùn)算時(shí)要注意，底數(shù)是a與（-a）時(shí)不是同底，但可以利用乘方

法則化成向底。

如將Ga）3化成-a3

4.底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同。

5.要注意區(qū)別（ab）n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a+b）n=an+bn（a、b

均不為零）。

6.積的乘方法則：積的乘方,等于把積每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的箱相乘,

即（n為正整數(shù)）。

7.幕的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。

五.同底數(shù)第的除法

1.同底數(shù)基的除法法則：同底數(shù)席相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（a#O,m、n都

是正數(shù),且m>n）o

2.在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：

①法則使用的前提條件是“同底數(shù)基相除”而且0不能做除數(shù)，所以法則中

aWO。

②任何不等于0的數(shù)的0次幕等于1,即，如，（-2.50=1）,則00無意義。

③任何不等于0的數(shù)的-P次轅（P是正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)的p的次轅的倒數(shù)，即

（aWO,P是正整數(shù)），而0-1,0-3都是無意義的;當(dāng)a>0時(shí),a-p的值一定是正的；

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)「篇四」

目錄

第七章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）1

第八章某的運(yùn)算2

第九章整式的乘法與因式分解3

第十章二元一次方程組4

第十一章一元一次不等式4

第十二章證明9

第七章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）

一、知識(shí)點(diǎn)：

1、“三線八角”

①如何由線找角：一看線，二看型。

同位角是“F”型；

內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型;

同旁內(nèi)角是“U”型。

②如何由角找線：組成角的三條線中的公共直線就是截線。

2、平行公理：

如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。

簡述：平行于同一條直線的兩條直線平行。

補(bǔ)充定理：

如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線也平行。

簡述：垂直于同一條直線的兩條直線平行。

3、平行線的判定和性質(zhì)：

判定定理性質(zhì)定理

條件結(jié)論條件結(jié)論

同位角相等兩直線平行兩直線平行同位角相等

內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等

同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)

4、圖形平移的性質(zhì)：

圖形經(jīng)過平移，連接各組對應(yīng)點(diǎn)所得的線段互相平行（或在同一直線上）并且相

等。

5、三角形三邊之間的關(guān)系：

三角形的任意兩邊之和大于第三邊；

三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

若三角形的三邊分別為a、b、co

則XXXXo

6、三角形中的主要線段：

三角形的高、角平分線、中線。

注意：①三角形的高、角平分線、中線都是線段。

②高、角平分線、中線的應(yīng)用。

7、三角形的內(nèi)角和：

三角形的3個(gè)內(nèi)角的和等于180°;

直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角。

8、多邊形的內(nèi)角和：

n邊形的內(nèi)角和等亍等-2）180°;

任意多邊形的外角和等于360。。

第八章幕的運(yùn)算

幕（power）指乘方運(yùn)算的結(jié)果。an指將a自乘n次（n個(gè)a相乘）。把a(bǔ)n看作乘

方的結(jié)果，叫做a的n次幕。

對于任意底數(shù)a,b,當(dāng)m,n為正整數(shù)時(shí)，有

aman=am+n（同底數(shù)幫相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加）

am^-an=am-n（同底數(shù)幕相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減）

（am）n=amn（幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘）

（ab）n=anan（積的乘方,把積的每一個(gè)因式乘方,再把所得的幕相乘）

a0=l（a^O）（任何不等于0的數(shù)的0次幕等于1）

a-n=l/an(aWO)：任何不等于0的數(shù)的f次事等于這個(gè)數(shù)的n次塞的倒數(shù))

科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)絕對值大于10(或者小于1)的整數(shù)記為aXIOn的形式(其

中l(wèi)W|a|<10),這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：

1.乘方的概念

求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做嘉。在中，a叫做

底數(shù)，n叫做指數(shù)。

2.乘方的性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次累都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次箱都是Oo

第九章整式的乘法與因式分解

一、整式乘除法

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù),相同字母分別相乘,對于只在一個(gè)單項(xiàng)式

里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

ac5bc2=(ab)(c5c2)=abc5+2=abc7注：運(yùn)算順序先乘方，后乘除，最后加減

單項(xiàng)式相除,把系數(shù)與同底數(shù)幕分別相除作為商的因式，只在被除式里含有的字

母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相

加,m(a+b+c)=ma+mb+mc注：不重不漏，按照順序，注意常數(shù)項(xiàng)、負(fù)號(hào)。木質(zhì)是乘

法分配律。

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相

加。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把

所得的積相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

乘法公式：平方差公式:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方

差。(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式:兩數(shù)和［或差］的平方,等于它們的平方和,力口［或減］它們積的2

倍。(a±b)2=a2±2ab+b2

因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因

式。

因式分解方法：

1、提公因式法。關(guān)鍵:找出公因式

公因式三部分：①系數(shù)(數(shù)字)一各項(xiàng)系數(shù)最大公約數(shù);②字母一各項(xiàng)含有的相

同字母:③指數(shù)一相同字母的最低次數(shù)；步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取

公因式并確定另一因式。需注意，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式

的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)。

注意：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)

式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正

的。

2、公式法：①a2-b2=(a+b)(a-b)兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)

數(shù)的差的積a、b可以是數(shù)也可是式子②a2±2ab+b2=(a土b)2完全平方兩個(gè)數(shù)平方

和加上或減去這兩個(gè)數(shù)的積的2倍,等于這兩個(gè)數(shù)的和［或差］的平方。

③x3-y3=(x-y)(x2-xy+y2)立方差公式

3、十字相乘(x+p)：x+q)=x2+(p+q)x+pq

因式分解三要素：11)分解對象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的

因式必須是整式(2)因式分解必須是恒等變形；(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都

不能分解為止。

弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系：互逆變形，因式分解是把和差化為積

的形式，而整式乘法是把積化為和差

添括號(hào)法則：如括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)，如括號(hào)前是負(fù)

號(hào)各項(xiàng)都得改符號(hào)。用去括號(hào)法則驗(yàn)證

第十章二元一次方程組

1、含有兩個(gè)未知數(shù)，并日所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次

方程(linearequationsoftwounknowns)。

2、含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組。

3、二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。

4、代入消元法：把二元一次方程中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)

的式子表示出來，再帶入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的

解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

5、加減消元法：當(dāng)方程中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)

時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊相加或相減來消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為

一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱

加減法。

6、二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、歹h解、答”五

步，即：

(1)審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用

字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；

(2)找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；

(3)列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；

(4)解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；

(5)答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案。

第十一章一元一次不等式

一元一次不等式

重點(diǎn)：不等式的性質(zhì)和一元一次不等式的解法。

難點(diǎn)：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解決在現(xiàn)實(shí)情景下的實(shí)際問

題。

知識(shí)點(diǎn)一：不等式的概念

1.不等式:

用(或"W”：，“>”(或“2”)等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不

等式。用“W”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。

要點(diǎn)詮釋：

(1)不等號(hào)的類型：

①讀作“不等于"，它說明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不等的，但不能明確

兩個(gè)量誰大誰??；

(2)要正確用不等式表示兩個(gè)量的不等關(guān)系，就要正確理解“非負(fù)數(shù)”、“非

正數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語的含義。

2.不等式的解：

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

要點(diǎn)詮釋：

由不等式的解的定義可以知道，當(dāng)對不等式中的未知數(shù)取一個(gè)數(shù)，若該數(shù)使不

等式成立，則這個(gè)數(shù)就是不等式的一個(gè)解，我們可以和方程的解進(jìn)行對比理解，一

般地，要判斷一個(gè)數(shù)是否為不等式的解，E將此數(shù)代入不等式的左邊和右邊利用不

等式的概念進(jìn)行判斷。

3.不等式的解集：

一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等

式的解集的過程叫做解不等式。如：不等式x-4〈1的解集是x<5。不等式的解集與

不等式的解的區(qū)別:解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，

而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值.二者的關(guān)系是:解集包括解,所有的解

組成了解集。

要點(diǎn)詮釋：

不等式的解集必須符合兩個(gè)條件：

(1)解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立；

(2)能夠使不等式成立的所有的數(shù)值都在解集中。

知識(shí)點(diǎn)二：不等式的基本性質(zhì)

基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

符號(hào)語言表示為：如果，那么。

基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

符號(hào)語言表示為：如果，并且，那么(或)。

基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

符號(hào)語言表示為：如果，并且，那么(或)

要點(diǎn)詮釋：

(1)不等式的'基本性質(zhì)1的學(xué)習(xí)與等式的性質(zhì)的學(xué)習(xí)類似，可對比等式的性質(zhì)

掌握；

(2)要理解不等式的基本性質(zhì)1中的“同一個(gè)整式”的含義不僅包括相同的

數(shù)，還有相同的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；

(3)“不等號(hào)的方向不變”，指的是如果原來是“>"，那么變化后仍是“>”；

如果原來是“W”，那么變化后仍是；“不等號(hào)的方向改變”指的是如果原

來是“>"，那么變化后將成為“<”；如果原來是“<"，那么變化后將成為

（4）運(yùn)用不等式的性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)3,在乘（除）同

一個(gè)數(shù)時(shí)?，必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，要記住不等號(hào)的方向

一定要改變。

知識(shí)點(diǎn)三：一元一次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不

為0。這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

要點(diǎn)詮釋：

（1）一元一次不等式的概念可以從以下幾方面理解：

①左右兩邊都是整式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）；②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)為lo

（2）一元一次不等式和一元一次方程可以對比理解。

相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)都是1,左右兩邊都

是整式;不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系（用“>"、“<”、“2"、“W”

連接），一元一次方程表示相等關(guān)系（用“二”連接）。

知識(shí)點(diǎn)四：一元一次不等式的解法

1.解不等式：

求不等式解的過程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，解一元一次不等式

的一般步驟為：（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng);（5）系數(shù)化為1。

要點(diǎn)詮釋：

（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈

活運(yùn)用

（2）解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常

數(shù)項(xiàng);②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào);③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào),括號(hào)里的每一項(xiàng)都

要變號(hào);④在不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。

3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：

在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限多

個(gè)解，它對以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助。

要點(diǎn)詮釋：

在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：

（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小

向左

規(guī)律方法指導(dǎo)（包括對本部分主要題型、思想、方法的總結(jié)）

1、不等式的基本性質(zhì)是解不等式的主要依據(jù)。（性質(zhì)2、3要倍加小心）

2、檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)值是不是已知不等式的解，只要把這個(gè)數(shù)代入不等式，然后判

斷不等式是否成立，若成立，就是不等式的解;若不成立，則就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一個(gè)有目的、有根據(jù)、有步驟的不等式變形，最終目

的是將原不等式變?yōu)榛虻男问?，其一般步驟是：（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移

項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）化未知數(shù)的系數(shù)為1。這五個(gè)步驟根據(jù)具體題目，適當(dāng)選

用，合理安排順序。但要注意，去分母或化未知數(shù)的系數(shù)為1時(shí)，在不等式兩邊同

乘以（或除以）同一個(gè)非零數(shù)時(shí)，如果是個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，如果是個(gè)負(fù)數(shù)，

不等號(hào)方向改變。

解一元一次不等式的一般步驟及注意事項(xiàng)

變形名稱具體做法注意事項(xiàng)

去分母在不等式兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)（1）不含分母的項(xiàng)不能漏乘

（2）注意分?jǐn)?shù)線有括號(hào)作用，去掉分母后，如分了是多項(xiàng)式，要加括號(hào)

（3）不等式兩邊同乘以的數(shù)是個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。

去括號(hào)根據(jù)題意，由內(nèi)而外或由外而內(nèi)去括號(hào)均可

（1）運(yùn)用分配律去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)

（2）如果括號(hào)前是“一”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要變號(hào)

移項(xiàng)把含未知數(shù)的項(xiàng)都移到不等式的一邊（通常是左邊），不含未知數(shù)的項(xiàng)移

到不等式的另一邊移項(xiàng)（過橋）變號(hào)

合并同類項(xiàng)把不等式兩邊的同類項(xiàng)分別合并，把不等式化為或的形式

合并同類項(xiàng)只是將同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變。

系數(shù)化1在不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，若且，則不等式的解集為；

若且，則不等式的解集為；若且，則不等式的解集為；若且，則不等式的解

集為；

(1)分子、分母不能顛倒

(2)不等號(hào)改不改變由系數(shù)的正負(fù)性決定。

(3)計(jì)算順序：先算數(shù)值后定符號(hào)

4、將一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的重

要體現(xiàn)，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí)。

5、用一元一次不等式解答實(shí)際問題，關(guān)鍵在于尋找問題中的不等關(guān)系，從而

列出不等式并求出不等式的解集，最后解決實(shí)際問題。

6、常見不等式的基本語言的意義：

(1),則x是正數(shù)：(2),則x是負(fù)數(shù)；

(3),則x是非正數(shù)；(4),則x是非負(fù)數(shù)；

(5),則x大于y;(6),則x小于y;

(7),則x不小于y;(8),則x不大于y;

(9)或，則x,y同號(hào)；(10)或，則x,y異號(hào)；

(ll)x,y都是正數(shù)，若，則；若，則；

(12)x,y都是負(fù)數(shù)，若，則；若，則

第十二章證明

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握定義、命題、定理、逆命題、互逆命題等概念，知道一個(gè)命題是真命

題，它的逆命題不一定是真命題。

2.基本事實(shí)是其真實(shí)性不加證明的真命題，弄清真命題與定理的區(qū)別。

3.會(huì)用舉反例說明一個(gè)命題是假命題；掌握三角形內(nèi)角和定埋的證明。

重點(diǎn)：定義、命題、定理、逆命題、互逆命題等概念的理解與運(yùn)用

難點(diǎn)：會(huì)用舉反例說明一個(gè)命題是假命題；掌握三角形內(nèi)角和定理的證明。

內(nèi)容：

1.以基本事實(shí)：”同位角相等，兩直線平行”證明：(1)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直

線平行”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”、“平行于同一條直線的兩條直線平

行”

2.基本事實(shí)：“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”

“兩直線平行，同位角相等”

證明：

(1)兩只相平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

(2)兩只相平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

(3)三角形內(nèi)角和定理”

(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余

（5）有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形

（6）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)外角的和

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)「篇五」

相交線與平行線

1、兩條直線相交所成的四個(gè)角中，相鄰的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角，特點(diǎn)是兩個(gè)角

共用一條邊，另一條邊互為反向延長線，性質(zhì)是鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；相對的兩個(gè)角叫做對

頂角，特點(diǎn)是它們的兩條邊互為反向延長線。性質(zhì)是對頂角相等。

2、三線八角:對頂角（相等）,鄰補(bǔ)角（互補(bǔ)），同位角，內(nèi)錯(cuò)角,同旁內(nèi)角。

3、兩條直線被第三條直線所截：

同位角F（在兩條直線的同一旁，第三條直線的同一側(cè)）

內(nèi)錯(cuò)角Z（在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線兩側(cè)）

同旁內(nèi)角U（在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線同側(cè)）

4、兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角為90度，則稱這兩條直線互

相垂直。其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，他們的交點(diǎn)稱為垂足。

5、垂直三要素：垂直關(guān)系，垂直記號(hào)，垂足

6、垂直公理：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

7、垂線段最短。

8、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度。

9、平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。如果

b//a,c//a,那么b//c

10、平行線的判定：

①同位角相等，兩直線平行。

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

11、推論：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直

線平行。

12、平行線的性質(zhì)：

①兩直線平行，同位先相等；

②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

13、平面上不相重合的兩條直線之間的位置關(guān)系為或

14、平移：

①平移前后的兩個(gè)圖形形狀大小不變，位置改變。

②對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。

平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫

做平移平移變換，簡稱平移。

對應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到

的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)。

15、命題：判斷一件事情的語句叫命題。

命題分為題設(shè)和結(jié)論兩部分；題設(shè)是如果后面的，結(jié)論是那么后面的。

命題分為真命題和假命題兩種；定理是經(jīng)過推理證實(shí)的真命題。

實(shí)數(shù)

一、實(shí)數(shù)的概念及分類

1、實(shí)數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)有理數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。

正整數(shù)又叫自然數(shù)。

正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

2、無理數(shù)

在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來有四類：

(1)開方開不盡的數(shù)，如7,2等；

“(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有n的數(shù)，如+8等；

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001等；

二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相

反數(shù)是零)，從數(shù)釉上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果a

與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=一b,反之亦成立。

2、絕對值

一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，瓜|20。零的絕對值時(shí)它

本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|二a,則a20；若|a|二-a,則aWO。正數(shù)大于

零，負(fù)數(shù)小于

零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和一

lo零沒有倒數(shù)。

4、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：

每一個(gè)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來。

數(shù)軸上的點(diǎn)有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)。

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來

表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都是表示一個(gè)實(shí)數(shù)。

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、平方根

(1)平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)X的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)X就叫做a的平

方根。

(2)開平方的定義：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。開平方運(yùn)算的被

開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)才有意義。

3的平方等于9,9的平方根是？

(3)平方與開平方互為逆運(yùn)算：

(4)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算有兩個(gè)結(jié)果；

一個(gè)負(fù)數(shù)沒有平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算

(5)符號(hào)：正數(shù)a的正的平方根可用表示，也是a的算術(shù)平方根；

學(xué)習(xí)方法

注重預(yù)習(xí)培養(yǎng)自學(xué)能力

在預(yù)習(xí)的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)把定理、定律、公式、常數(shù)、特定符號(hào)這些內(nèi)容單獨(dú)匯集

在一起，每抄錄一遍，則加深一次印象。上課的時(shí)候，老師講到這些地方時(shí)，應(yīng)把

自己預(yù)習(xí)時(shí)的理解和老師講的相對照，看自己有沒有理解錯(cuò)的地方。預(yù)習(xí)可以用

“一劃、二批、三試、四分”的預(yù)習(xí)方法。

一劃：就是圈劃知‘只要點(diǎn)，基本概念。

二批：就是把預(yù)習(xí)時(shí)的體會(huì)、見解以及自己暫時(shí)不能理解的內(nèi)容，批注在書的

空白地方。

三試：就是嘗試性地做一些簡單的練習(xí)，檢驗(yàn)自己預(yù)習(xí)的效果。

四分：就是把自己預(yù)習(xí)的這節(jié)知識(shí)要點(diǎn)列出來，分出哪些是通過預(yù)習(xí)已掌握了

的，哪些知識(shí)是自己預(yù)習(xí)不能理解掌握了的，需要在課堂學(xué)習(xí)中進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)概念

正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵一一對象的

“質(zhì)”的特征，及其外延一一對象的“量”的范圍。一般來說，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定

義的形式來揭露其本質(zhì)特征的。但在這之前，有一個(gè)通過實(shí)例、練習(xí)及口頭描述來

理解的階段。

比如，兒童對自然數(shù)，對運(yùn)算結(jié)果一一和、差、積、商的理解，就是如此。到

小學(xué)高年級(jí)，開始出現(xiàn)以文字表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)概念，即定義的方式，如分?jǐn)?shù)、比例

等。有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過長期的醞釀，最后才以定義的形式表達(dá)，如函數(shù)、極限

等。定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式。

許多數(shù)學(xué)概念需要用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示。如dy表示函數(shù)丫的微分。數(shù)學(xué)符號(hào)是

表達(dá)數(shù)學(xué)概念的?種獨(dú)特方式，對學(xué)生理解和形成數(shù)學(xué)概念起著極大的作用，它把

學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的思維過程簡約化、明確化了。許多數(shù)學(xué)概念的定義就是用數(shù)學(xué)

符號(hào)來表達(dá)，從而增強(qiáng)了科學(xué)性。

許多數(shù)學(xué)概念還需要用圖形來表示。有些數(shù)學(xué)概念本身就是圖形，如平行四邊

形、棱錐、雙曲線等。有些數(shù)學(xué)概念可以用圖像來表示，比如函數(shù)y=x+l的圖像。

有些數(shù)學(xué)概念具有幾何意義，如函數(shù)的微分。數(shù)形結(jié)合是表達(dá)數(shù)學(xué)概念的又一獨(dú)特

方式，它把數(shù)學(xué)概念形象化、數(shù)量化了。

總之，數(shù)學(xué)概念是在人類歷史發(fā)展過程中，逐步形成和發(fā)展的。

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)「篇六」

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊《四式分解》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第三章因式分解

1、因式分解

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。即：

多項(xiàng)式幾個(gè)整式的積例：axbx

13131

x(ab)3

因式分解是對多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。20因式分

解的方法：

(1)提公因式法：

①定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可?以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多

項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。

公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母，

也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

系數(shù)一一取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)

字母一一取各項(xiàng)都含有的字母

指數(shù)一一取相同字母的最低次幕

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、6,

它們的最大公約數(shù)為2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc,

故多項(xiàng)式的公因式是2abc。

②提公因式的步驟第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因

式，所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式。

注意：提取公因式后，對另一個(gè)因式要注意整理并化簡，務(wù)必使因式最簡。多

項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號(hào)的，要先提取符號(hào)。

例1：把12abi8ab24把分解因式。

解析：本題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6,相同字母的坡低次事是ab,故公因

式為6ab,>

解：12abi8ab24ab

6ab(2a3b4a2b2)

例2：把多項(xiàng)式3(x4)x(4x)分解因式

解析：由于4x(x4),多項(xiàng)式3(x4)x(4x)可以變形為3(x4)x(x4),

我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)

式各項(xiàng)都含有公因式(x4),所以我們可以提取公因式(x4)后，再將多項(xiàng)式

寫成積的形式。解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)

例3：把多項(xiàng)式x22x分解因式

解：x22x=(x22x)x(x2)(2)運(yùn)用公式法

定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因

式的方法叫做運(yùn)用公式法。

a。逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab)

bo逆用完全平方公式：a22abb2(ab)2

Co逆用立方和公式：ab(ab)(aabb(拓展))

do逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2(拓展))

注意：①公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。

②選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公

式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

解：al4a49=(a7)2

例2：因式分解a2a(be)(be)解：a2a(be)(be)=(abc)(3)分組

分解法(拓展)

①將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解；例：把多項(xiàng)式ababl分解因式

解：ababl二(aba)(bl)=a(bl)(bl)(al)(bl)②將多項(xiàng)式分組后能

運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解。

例：將多項(xiàng)式a2ablb因式分解

解：a2ablb

=(a2abb)1(ab)1(abl)(abl)

2x(4)十字相乘法(形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多項(xiàng)式，可以考慮

運(yùn)用此種方法)

方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)p和q,這兩數(shù)的和pq為一次項(xiàng)系數(shù)

x2(pq)xpq

x2(pq)xpq(xp)(xq)

例：分解因式x2x30分解因式x252xl00補(bǔ)充點(diǎn)詳解補(bǔ)充點(diǎn)詳解

我們可以將一30分解成pXq的'形式，我們可以將100分解成pXq的形

式，使p+q=-1,pXq二一30,我們就有p=—6,使p+q=52,pXq=100,我們

就有p=2,q=5或展一6,p二5。q=50或q=2,p=50。

所以將多項(xiàng)式x2(pq)xpq可以分所以將多項(xiàng)式x2(pq)xpq可以分解為

(xp)(xq)解為(xp)(xq)

x5

x2

—6

x50

x2x30(x6)(x5)

3、因式分解的一般步驟：

x252x100(x50)(x2)

如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；

若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因

式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，否則就是不完全

的因式分解，若題目沒有明

確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解

因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積的形式。

一、例題解析

提公因式法

提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，?般要將公因式提到括號(hào)外面。

確定公因式的方法:

系數(shù)一一取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

字母(或多項(xiàng)式因式)一一取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次

幕。【例1】分解因式：

(l)15aab

2nl

lOabba(n為正整數(shù))

2n

(2)4a2nlb6an2bl(、n為大于1的自然數(shù))

【鞏固】分解因式：(x)2nl(xz)(x)2n2(x)2n(z),n為正整數(shù)。

［例2］先化簡再求值，xxxx2,其中x2,2

求代數(shù)式的值：(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x),其中

Xo

3

1.2

22221

【例3】已知：bca2,求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值。

33333

公式法

平方差公式：a2b2(ab)(ab)

①公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號(hào)相反；②每一項(xiàng)都可以化成

某個(gè)數(shù)或式的平方形式；

③右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積。完

全平方公式：a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2①左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式；

②左邊首末兩項(xiàng)符號(hào)相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式；

分解因式：x3(xz)(za)x2z(zx)x2(zx)(xza)。

③左邊中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)或式的積的2倍，符號(hào)可正可負(fù)；

④右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項(xiàng)的

符號(hào)決定。一些需要了解的公式：

a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)

3a33a2b3ab2b3

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)「篇七」

有一個(gè)公共的'頂點(diǎn)，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩

個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角。兩條直線相交有4對鄰補(bǔ)角。

有公共的頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對頂角。兩條直

線相交，有2對對頂角。對頂角相等。

5.1.2

兩條直線相交，所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直。

其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

注意：⑴垂線是一條直線。

⑵具有垂直關(guān)系的兩條直線所成的4個(gè)角都是90。⑶垂直是相交的特殊情

況。⑷垂直的記法:alb,ABXCDo

畫已知直線的垂線有無數(shù)條。

過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

連接直線外一點(diǎn)與直線.上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段

最短。直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點(diǎn)，則這兩條直線