專題01 實(shí)數(shù)【八大題型】（舉一反三）（解析版）

專題01實(shí)數(shù)【八大題型】

?題型梳理

【題型1無理數(shù)的識別】........................................................................................3

【題型2實(shí)數(shù)與數(shù)軸1.............................................................................................................5

【題型3無理數(shù)的估算】........................................................................................7

【題型4用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)】................................................................................8

【題型5實(shí)數(shù)的簡單運(yùn)算】....................................................................................10

【題型6數(shù)的簡便運(yùn)算】.......................................................................................II

【題型7實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】....................................................................................13

【題型8實(shí)數(shù)與數(shù)軸的綜合運(yùn)算】............................................................................15

，舉一反三

【知識點(diǎn)實(shí)數(shù)】

L實(shí)數(shù)的分類

分法一：

-王有理數(shù)I有限小數(shù)或

有理數(shù)10

j無限循環(huán)小數(shù)

?■負(fù)有理數(shù)

實(shí)數(shù)

「正無理數(shù)］

無理數(shù)＜卜無限不循環(huán)小數(shù)

I負(fù)無理數(shù)」

分法二：

.正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)?0

負(fù)實(shí)數(shù)

2.實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

（1）數(shù)軸

規(guī)定了座點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

（2）相反數(shù)

代數(shù)定義：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

幾何定義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，離開原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。

一般地，a和-a互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是0。

a=-a所表示的意義是：一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)相等。很顯然，a=0。

（3）絕對值

定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作間。

一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；。的絕對值是0。

即：如果a>0,那么|a|二a；

如果a=0,那么|a|二0；

如果a<(),那么|a|=-a。

a=|a|所表示的意義是：一個(gè)數(shù)和它的絕對值相等。很顯然，a>0o

(4)倒數(shù)

定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。即：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。

。二,所表示的意義是：一個(gè)數(shù)和它的倒數(shù)相等。很顯然，a=±l。

a

3.科學(xué)記數(shù)法

定義：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成axICT的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整數(shù))，這種記數(shù)

方法叫做科學(xué)記數(shù)法。小于-10的數(shù)也可以類似表示。

用科學(xué)記數(shù)法表示二個(gè)絕對值大于10的數(shù)時(shí)，n是原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1居到的正整數(shù)葭

用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)絕對值小于1的數(shù)(ax10")時(shí)，n是從小數(shù)點(diǎn)后開始到第一個(gè)不是0的數(shù)為止

的數(shù)的個(gè)數(shù)。

4.近似數(shù)和精確度

一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五人到哪一位，就說這個(gè)數(shù)近似到哪一位，也叫做精確到哪一位。精確到十

分位一精確到0.1：精確到百分位一精確到0.01；…。

5.實(shí)數(shù)的大小比較

(I)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的教大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

。一〃>。04>〃，

a—b=O<=>a=b，

a-h<()<^>a<b

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，->\^>a>b;-=\<^a=b'-<\<^>a<b;

hbb

(4)絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則同>網(wǎng)=。<〃。

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則/>/。。<力。

備注：遇到有理數(shù)和帶根號的無理數(shù)比較大小時(shí)，讓“數(shù)全部回到根號下“，再比較大小。

6.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)四則運(yùn)算法則

加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對

值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0:一個(gè)數(shù)同0相

加，仍得這個(gè)數(shù)。

減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即：a-b=a+(-b)o

乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘，都得0。

乘法運(yùn)算律：①交換律ab=ba；②結(jié)合律(ab)c=a(bc)：③分配律a(b+c戶ab+ac。

除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即：a+b=a?:

b

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。

(2)實(shí)數(shù)的運(yùn)算律

力口法交換律a+b=b+a

加法結(jié)合律(。+與+。=。+S+c)

乘法交換律ab=bci

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

乘法對加法的分配律a(b+c)=ab-\-ac

【題型1無理數(shù)的識別】

【例1】(2023.湖南婁底.統(tǒng)考中考真題)從手.3.1415926,33.4.店,一強(qiáng).我中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù).

此數(shù)是無理數(shù)的概率是()

234p.5

AA.-BD.-Cn.-D.-

7777

【答案】A

【分析】先判斷出遮，狗是無理數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：=2,—V8=-2,

???蘭,3.1415926,3.3,V5,圾,一強(qiáng)，沙中無理數(shù)有：V5,沙，

???從夕，3.1415926,3.3,V4,瓜一遮，遮中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無理數(shù)的概率是會

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，無理數(shù)的含義，利用概率公式求解簡單隨機(jī)事件

的概率，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.

【變式1?1】(2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題)下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是()

A.-2023B.A/2023C.0D.—

2023

【答案】B

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】解：0,-2023,二z為有理數(shù)，或例為無理數(shù).

.?-4=々是一個(gè)有理數(shù)，

abab

；與，一定是一對伙伴數(shù)，故①結(jié)論正確；

???兩個(gè)無理數(shù)a、6是一對伙伴數(shù)，

???Q匕是一，個(gè)有理數(shù)

，/爐=（帥）2是一個(gè)有理數(shù)，故②結(jié)論正確；

???兩個(gè)無理數(shù)Q、b是一對伙伴數(shù)，

二Q與/一定是無理數(shù)，但不一定是有理數(shù)，故③結(jié)論不正確；

???兩個(gè)無理數(shù)Q、b是一對伙伴數(shù)，

???a+1與b+1一定是無理數(shù)，

???（a+1）?（b+1）=ab+a+b+1,

當(dāng)a十。二。時(shí)，ab+a+b十1是有理數(shù)，故結(jié)論⑷正確，

其中正確結(jié)論的序號為①②④.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的概論和運(yùn)算的應(yīng)用，利用題目中給的新定義去推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【題型2實(shí)數(shù)與數(shù)軸】

【例2】（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）實(shí)數(shù)匕在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）.

ab

-3-2-I~0~I~23

A.a<-2B.b<2C.a>bD.-a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，判斷實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由圖可知，一2<aV0<2<匕V3,\a\=-a<2<b,

A、aV—2,錯(cuò)誤；

B、b<2,錯(cuò)誤；

C、a>b,錯(cuò)誤；

D、-a<by正確：

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.正確的識圖，掌握數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大，是解題

的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）實(shí)數(shù)a、b、c、d伍數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中絕

對值最小的是（）

$?>

-470123

A.aB.bC.cD.d

【答案】B

【分析】根據(jù)絕對值的意義即可判斷出絕對值最小的數(shù).

【詳解】解：由圖可知，⑷>3,0<|b|<1,0<|c|<1,2<\d\<3,

比較四個(gè)數(shù)的絕對值排除a和d,

根據(jù)絕對值的意義觀察圖形可?知，c離原點(diǎn)的距離大于匕離原點(diǎn)的距離，

W<\c\,

...這四個(gè)數(shù)中絕對值最小的是

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的意義，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握絕對值的意義，絕對值是指一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所

對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)越近說明絕對值越小.

【變式2-2］（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)位的點(diǎn)可能是（）

PQRS

-2-I0I2'34,5*

A.點(diǎn)PB.點(diǎn)QC.點(diǎn)RD.點(diǎn)S

【答案】B

【分析】根據(jù)先估算舊的大小，看它介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而得解.

【詳解】解：:4<7<9

:<炳,即2<夕<3,

???數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)夜的點(diǎn)可能是。，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的大小估算，推出夕介于哪兩個(gè)整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在數(shù)軸上，03=1,過。作直線L_L。8于點(diǎn)0,在直線［上

截取。4=2,且力在OC上方.連接48,以點(diǎn)8為圓心，A8為半徑作弧交直線。8于點(diǎn)C,則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為.

：L_1

uBC

【答案】1+V5/V5+1

【分析】根據(jù)勾股定理求得4B,根據(jù)題意可得BC=4B=而，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：V/1UB,OB=1,0A=2,

在Rt△40B中，AB=>JAO2+BG2=Vl2+22=V5,

:.BC=AB=炳,

：.0C=OB+BC=1+V5,

。為原點(diǎn)，0C為正方向，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+遙；

故答案為：1+V5.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【題型3無理數(shù)的估算】

【規(guī)律方法】無理數(shù)的估算既不是估計(jì)，也不是猜測，它是一種科學(xué)的計(jì)算方法，往往通過逐步逼近的方法

來確定一個(gè)數(shù)的大小或范圍。估算常用的方法偶平方（開方）法、作商法、作差法、倒數(shù)法等。

【例3】（2023?寧夏?統(tǒng)考中考真題）估計(jì)值的值應(yīng)在（）

A.3.5和4之間B.4和4.5之間

C.4.5和5之間D.5和5.5之間

【答案】C

【分析】先找到所求的無理數(shù)在哪兩個(gè)和它接近的有理數(shù)之間，然后判斷出所求的無理數(shù)的范圍.

【詳解】V16<23<25,

/.4<V23<5,排除A和D,

又?,?23更接近25,

???、奔更接近5,

???屈在4.5和5之間，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了無理數(shù)的大小估算，現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要估算，估算應(yīng)是我們具備的數(shù)學(xué)能力，”夾

逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.

【變式3-1]（2023?浙江臺州?統(tǒng)考中考真題）下列無理數(shù)中，大小在3與4之間的是（）.

A.V7B.2V2C.V13D.717

【答案】C

【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算可得答案，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：?；3=V9,4=V16,而2&=V8,9<13<16,

:.大小在3與4之間的是g,

故選：C.

【變式3-2】（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于花的點(diǎn)所表示的整數(shù)有.（寫出

一個(gè)即可）

【答案】2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系，得出所求數(shù)的絕對值小于遙，且為整數(shù)，再利用無理數(shù)的估算即可求

解.

【詳解】解：設(shè)所求數(shù)為小由丁在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于心，則|a|v遙，且為整數(shù)，

則-y<a<V5,

??、4v花<眄，即2<遍<3,

??a可以是±2或±1或0.

故答案為：2（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算，掌握數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的意義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）若為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且QV遮Vb,Ma+b=.

【答案】3

【分析】根據(jù)夾逼法求解即可.

【詳解】解：??FV3V22,即12<（6）2<22,

Al<V3<2,

/.a=l,b=2,

a4-b=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】題目主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵.

【題型4用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)】

【例4】（2023?四川甘孜?統(tǒng)考中考真題）“綠水青山就是金山銀山”，多年來，某濕地保護(hù)區(qū)針對過度放牧問

題，投入資金實(shí)施濕地生態(tài)效益補(bǔ)償，完成季節(jié)性限牧還濕29.47萬畝，使得濕地生態(tài)環(huán)境狀況持續(xù)向好.其

中數(shù)據(jù)29.47萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.2947x106B.2.947x104C.2.947x105D.29.47x104

【答案】C

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為GXIO，】的形式，其中1式|。|<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：29.477?=294700=2.947X105,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中1<團(tuán)<10,〃

為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定4的值以及〃的值.

【變式4-1]（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）芯片內(nèi)部有數(shù)以億計(jì)的晶體管，為追求更高質(zhì)量的芯片和更低

的電力功耗，需要設(shè)計(jì)4積更小的晶體管.目前，某品牌手機(jī)自主研發(fā)了最新型號芯片，其晶體管柵極的

寬度為0.000000014米，將數(shù)據(jù)0.000000014用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.4x10-8B.14x10-7c.0.14xIO-6D.1.4x10-9

【答案】A

【分析】科學(xué)計(jì)數(shù)法的記數(shù)形式為：Qx10\其中1<|a|<10,當(dāng)數(shù)值絕對值大于1時(shí)，〃是小數(shù)點(diǎn)向右移

動的位數(shù)；當(dāng)數(shù)值絕對值小于1時(shí)，九是小數(shù)點(diǎn)向左移動的位數(shù)的相反數(shù).

【詳解】解：0.000000014=1.4x10-8,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)計(jì)數(shù)法，掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法的記數(shù)形式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2】（2023?四川達(dá)州?中考真題）《孫子算經(jīng)》中記教：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆.”說

明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億=1萬xl萬，1兆=1萬xl萬xl億，那么2兆=.（用科學(xué)記數(shù)法表示）

【答案】2X1016

【分析】2兆=2x1萬xl萬xl億=2x1萬xl萬xl萬xl萬，根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則計(jì)算，結(jié)果表示成axion

的形式即可.

【詳解】解：2兆=2x1萬x|萬x|億=2x1萬x|萬xl萬x|萬=2xIO4xIO4xIO4x104=2x1016,

故答案為：2x1016.

【點(diǎn)睛】本題考杳科學(xué)記數(shù)法、同底數(shù)辱的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)幕的乘法法則，以及科學(xué)記數(shù)法

的表示方法.

【變式4-3]（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）我州今年參加中考的學(xué)生人數(shù)大約為5.08x104人，對于這個(gè)

用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，下列說法正確的是（）

A.精確到百分位，有3個(gè)有效數(shù)字

B.精確到百分位，有5個(gè)有效數(shù)字

C.精確到百位，有3個(gè)有效數(shù)字

D.精確到百位，有5個(gè)有效數(shù)字

【答案】C

【分析】將用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)還原，看8所在的位置，即可求解.

【詳解】解：5.08X1O4=50800,精確到了百位，有三個(gè)有效數(shù)字，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字，掌握求解的方法是關(guān)鍵.

【題型5實(shí)數(shù)的簡單運(yùn)算】

【例5】（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算|-5|+2。的結(jié)果是（）

A.-3B.7C.-4D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的絕對值，零指數(shù)幕進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：5|4-2°=5+1=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的絕對值，零指數(shù)鼎，熟練掌握求一個(gè)數(shù)的絕對值，零指數(shù)昂是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2023?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算（—7）—（—5）的結(jié)果是（）

A.-12B.12C.-2D.2

【答案】C

【分析】直接利用有理數(shù)的減法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（-7）-（-5）=（-7）+5=-2；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的減法，熟練掌握減一個(gè)負(fù)數(shù)等「加上它的相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2015?四川樂山?統(tǒng)考一模）計(jì)算（-3）X2,正確的結(jié)果是（）

A.6B.5C.-5D.-6

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：(-3)x2=-6,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2023?湖北?統(tǒng)考中考真題)計(jì)算：V4-1=_.

【答案】1

【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根，然后計(jì)算減法.

【詳解】解：原式=2-1=1.

故答案是：I.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于小即/二小那么這個(gè)正數(shù)

叫做。的算術(shù)平方根.

【題型6數(shù)的簡便運(yùn)算】

【例6】(2023?河北?中考真題)請你參考黑板中老師的講解，用運(yùn)算律簡便計(jì)算：

利用運(yùn)算律有時(shí)育繼行簡便計(jì)算c

例198x12=(100-2)X12=1200-24=1176

例2-16x233+17x233=(-16-17)'233=233

(1)9必(-15)；

(2)999x118^+999x(一：)-999x181.

【答案】⑴?14985；(2)99900.

【分析】(1)根據(jù)題目中所給的規(guī)律，運(yùn)用湊整法求解即可;

(2)根據(jù)題目中所給的規(guī)律，運(yùn)用提同數(shù)法解決即可.

【詳解】解：(1)999x(-15)

=(1000-1)X(-15)

=15-15(X)()

=-14985;

(2)999x118^+999x(-1)-999x1181

=999x(118^+(一，-18-]

555

=999x100

=99900.

【變式6-1](2023?山東?統(tǒng)考中考真題)嘉琪同學(xué)在計(jì)算4；-2；+；+3：時(shí)，運(yùn)算過程正確且比較簡便的

?JC/<5

是()

A.(片+3》-(2知)B.(4:2》+C+3*

C.(亭3》-(22)D.(4|-31)-(1-21)

【答案】C

【分析】原式利用加法交換律和結(jié)合律將分母相同的結(jié)合即可.

【詳解】解：嘉琪同學(xué)在計(jì)算4|一2：+：+3：時(shí)，運(yùn)算過程正確且比較簡便的是(4j+3g)-(2：-今.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熱練掌握加法交換津與加法結(jié)合律是解本題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2022.河北.二模)在簡便運(yùn)算時(shí)，把24x(-9%)變形成最合適的形式是()

A.24x(-100+總B.24x(-100一總C.24X(-99-D.24x

(-99+君

【答案】A

【分析】根據(jù)乘法分配律即可求解?.

【詳解】24x(—99*)=24x(—100+總計(jì)算起來最簡便，

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知乘法分配律的運(yùn)用.

【變式6-3](2023?山東臨沂?中考真題)讀一讀：式子“1+2+3+4+-+100”表示從1開始的100個(gè)連

續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為n,這里是求和

符號通過對以上材料的閱讀，計(jì)算品不=.

【答案】黑

【分析】先根據(jù)求和公式列出算式，再依據(jù)二一二工-上裂項(xiàng)求和即可.

n(n+l)nn+l

【詳解】解：???/；二三一士，

n(n+l)nn+l

『

?2012I1+++…+

,?乙n=ln(n+l)~2)

1

=1------

2013

2012

2013

故答案為：黑

【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的變化類問題，根據(jù)題意寫出分?jǐn)?shù)的和的形式，并熟練掌握就=是

解題的關(guān)鍵.

【題型7實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】

【例7】（2023?內(nèi)蒙占?統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式：

&=11+卷+蠢=1+52=小+3++=1+白，$3=小+3+*=1+*,???

請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：&十S2十…十$5。=.

【答案】50當(dāng)?shù)?/p>

OAOA

【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案.

［詳解］Si+$2+…+S50

111

=1+----+1+----+…+1+----—

1x22x350x51

11111

、223505/

=5嗜

故答案為：50小

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：@）一1一百匕1130。+（兀-2023）°+|-2|.

【答案】4

【分析】先化簡各式，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【詳解】解.：原式=2-V5X#+1+2

=2—1+1+2

=4.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行”?算，是解

題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2023?湖南婁底?統(tǒng)考中考真題）從〃個(gè)不同元素中雙出?。?/<九）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),

叫做從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的組合數(shù)，用符號4n表示，G『二n(n-l)(n-2)…(n-m+l)(n>m,〃、m

zn(m-l)-l

為正整數(shù)）；例如：底=黑，廢=穿，則以+琦=（）

/KJL

A.C&B.1C.盤0D.Cf0

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義分別進(jìn)行計(jì)算比較即可得解.

【詳解】解.：???（:丁=

m(m-l)…1

?+琦9x8x7x6+9x8x7x6x5=126+126=252,

：44X3X2X15x4x3x2xl

A選項(xiàng),=9x8x7x6x5x4=84,

6x5x4x3x2xl

B選項(xiàng)，Cf=10x9x8x7210,

04x3x2xl

c選項(xiàng)，cf=10x9x8x7x6252,

0Sx4x3x2xl

D選項(xiàng)，C^=10x9x8x7x6x5210,

o6x5x4x3x2xl

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了新定義運(yùn)算以及求實(shí)數(shù)混合運(yùn)算.正確理解新定義是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊(duì)進(jìn)行決賽階段的比賽.決

賽階段分為分組積分賽和復(fù)賽.32支球隊(duì)通過抽簽被分成8個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，進(jìn)行分組積分賽,

分組積分賽采取單循環(huán)比賽（同組內(nèi)每2支球隊(duì)之間都只進(jìn)行一場比賽），各個(gè)小組的前兩名共16支球隊(duì)

將獲得出線資格，進(jìn)入復(fù)賽；進(jìn)入復(fù)賽后均進(jìn)行單場淘汰賽，16支球隊(duì)按照既定的規(guī)則確定賽程，不再抽

簽，然后進(jìn)行會夬賽，:決賽，最后勝出的4支球隊(duì)進(jìn)行半決賽，半決賽勝出的2支球隊(duì)決出冠、亞軍，另外

2支球隊(duì)決出三、四名.

（1）本屆世界杯分在。組的4支球隊(duì)有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個(gè)。組分組積分賽對陣表

（不要求寫對陣時(shí)間）.

（2）請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊(duì)在決賽階段一共踢了多少場比賽？

（3）請簡要說明本屆世界杯32支球隊(duì)在決賽階段一共踢了多少場比賽？

【答案】（1）C組分組積分賽對陣表見解答過程；

⑵本屆世界杯冠軍阿根廷隊(duì)在決賽階段一共踢了7場比賽:

（3）本屆世界杯32支球隊(duì)在決賽階段一共踢了64場比賽.

【分析】（1）根據(jù)同組內(nèi)每2支球隊(duì)之間都只進(jìn)行一場比賽列表即可；

（2）冠軍阿根廷隊(duì)分組積分賽踢了3場，:決賽，:決賽，半決賽，決賽又踢了4場，即可得到答案；

o4

（3）分組積分賽48場，9決賽一共8場，:決賽一共4場，半決賽2場，冠、亞軍決賽和三、四名決賽各1

場，相加即可.

【詳解】（1）。組分組積分賽對陣表：

阿根廷沙特墨西哥波蘭

阿根廷阿根廷：沙特阿根廷：墨西哥阿根廷：波蘭

沙特沙特：阿根廷沙特：墨西哥沙特：波蘭

墨西哥墨西哥：阿根廷墨西哥：沙特墨西哥：波蘭

波蘭波蘭：阿根廷波蘭：沙特波蘭：墨西哥

（2）冠軍阿根廷隊(duì)分組積分賽踢了3場，:決賽，（決賽，半決賽，決賽又踢了4場，

?，?一共踢/3+4=7（場），

???本屆世界杯冠軍阿根廷隊(duì)在決賽階段一共踢了7場比賽；

（3）分組積分賽每個(gè)小組6場，8個(gè)小組一共8X6=48（場）；

營夬賽一共8場，［決賽一共4場，半決賽2場，冠、亞軍決賽和三、四名決賽各1場；

???一共踢了48+8+4+2+1+1=64（場）；

.?.本屆世界杯32支球隊(duì)在決賽階段一共踢了64場比賽.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解世界杯比賽的對陣規(guī)則.

【題型8實(shí)數(shù)與數(shù)軸的綜合運(yùn)算】

【例8】（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有六個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,E,F,相鄰兩點(diǎn)之

間的距離均為山（/〃為正整數(shù)），點(diǎn)B表示的數(shù)為-4,設(shè)這六個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)之和為〃.

ABCDEF

（I）點(diǎn)尸表示的數(shù)為（用含加的代數(shù)式表示）；

(2)已知點(diǎn)尸表示的數(shù)是8,求〃的值.

【答案】⑴-4+4m

(2)3

【分析】(1)根據(jù)相鄰兩點(diǎn)之間的距離均為〃？(機(jī)為正整數(shù))，點(diǎn)8表示的數(shù)為-4,即可得到答案；

(2)根據(jù)點(diǎn)B表示的數(shù)為一4,點(diǎn)”表示的數(shù)是8,求出機(jī)的值，分別得到點(diǎn)A,B,C,D,E尸分別對應(yīng)

的數(shù)，求和即可得到〃的值.

【詳解】(1)解：???相鄰兩點(diǎn)之間的距離均為〃？3〃為正整數(shù))，點(diǎn)B表示的數(shù)為-4,

工點(diǎn)尸表示的數(shù)為-4+4m,

故答案為：-4+4m

(2)尸=8-(-4)=12,

47n—12,

解得m=3；

，點(diǎn)A,B,C,D,E,尸分別對應(yīng)的數(shù)為：-7,-4,-1,2,5,8,

An=-7+(-4)+(-1)+2+5+8=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減法、數(shù)軸，根據(jù)8尸的長度求切的值是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1](2023?河北邯鄲?校考一模)如圖，直徑為2個(gè)單位長度的圓片上有一點(diǎn)A與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合.

7T

A

-5-4-3-2-1(0)123_45

(1)把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動1周，點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)C的位置，點(diǎn)。對應(yīng)的數(shù)是;

(2)亞圓片沿?cái)?shù)軸滾動2周，點(diǎn)4到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)。的位置，點(diǎn)。對應(yīng)的數(shù)是；

(3)圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，滾動5次的情況記錄

如下：+2,-1,+3,-4,-3.

①當(dāng)圓片結(jié)束滾動時(shí)，求點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是多少？

②在滾動過程中，共經(jīng)過次數(shù)軸上2表示的點(diǎn)；第次滾動后，點(diǎn)人距離原點(diǎn)最遠(yuǎn).

【答案】⑴-2

⑵±4或0

(3)①一6：②4,3

【分析】（1）利用圓的周長以及滾動周數(shù)，結(jié)合數(shù)軸，即可得出點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)；

（2）利用圓的周長以及滾動周數(shù)，結(jié)合數(shù)軸，即可得出點(diǎn)。對應(yīng)的數(shù)：

（3）①利用滾動的方向即周數(shù)，結(jié)合數(shù)軸，算出最后A點(diǎn)位置；②根據(jù)（1）得出圓片沿?cái)?shù)軸滾動1周，點(diǎn)

A在數(shù)軸上是2個(gè)單位，然后再根據(jù)I員I片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，I員I片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)

記為負(fù)數(shù)，滾動5次的情況記錄如下：+2,-1,+3,-4,-3,分別得出滾動過程，即可得出答案.

【詳解】（1）解；VTTX-=2,

n

???把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動I周，點(diǎn)八到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)C的位置，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是-2,

故答案為:—2；

（2）解：VTTX-X2=4,

n

①把圓片沿?cái)?shù)軸滾動2周，點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)。的位置，點(diǎn)。對應(yīng)的數(shù)是±4,

②把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動一周然后再向右滾動一周，或把圓片沿?cái)?shù)軸向右滾動一周然后再左右滾動一周，

點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)。的位置，點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)是0,

故答案為：±4或0；

（3）解：①+2-1+3—4-3=—3,即向左滾動了3周，

VTTX-X3=6,

n

???圓片結(jié)束滾動時(shí)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是-6：

②：第I次：從0滾動到了4,經(jīng)過數(shù)軸上2表示的點(diǎn)：

第2次：從4滾動到了2,經(jīng)過數(shù)軸上2表示的點(diǎn)；

第3次：從2滾動到了8,經(jīng)過數(shù)軸上2表示的點(diǎn)；

第4次：從8滾動到了0,經(jīng)過數(shù)軸上2表示的點(diǎn)；

第5次：從。滾動到了-6,不經(jīng)過數(shù)軸上2表示的點(diǎn)；

???共有4次經(jīng)過數(shù)軸上2表示的點(diǎn)，第3次滾動后，點(diǎn)A距離原點(diǎn)最遠(yuǎn).

故答案為：4,3.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、圓的周長公式、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)健是理解題意，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識解決問題.

【變式8-2］（2023?浙江?一模）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有三個(gè)點(diǎn)4SC,其中