專題44 相似三角形的判定與性質(zhì)（二）【九大題型】（舉一反三）（浙教版）（解析版）

專題4.4相似三角形的判定與性質(zhì)（二）【九大題型】

【浙教版】

?題型梳理

【甩型1尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】........................................................1

【題型2三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】.........................................................5

【題型3裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】..........................................................13

【題型4折疊與相似三角形綜合運(yùn)用】..........................................................21

【題型5判斷與相似有關(guān)結(jié)論的正誤】..........................................................29

【題型6用相似三角形的判定與性質(zhì)證明】......................................................37

【題型7用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段比值】................................................44

【題型8利用相似三角形的判定與性質(zhì)求最值】..................................................52

【題型9利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決幾何動(dòng)點(diǎn)問題】.......................................59

，舉一反三1

【題型1尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】

[ft1]（2023春?福建福州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知菱形A8C。中，E是8c邊上一點(diǎn).

⑴在BC的右側(cè)求作△%命,使得￡7」|且E尸二'0；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若""="/18C,求證：AE=>/2EF.

【答案】⑴見解析；

⑵見解析.

【分析】（1）連接AC交8。于。，在8c右側(cè)作（SCEFWCB。，再在射線EF截取￡F=O8,連接AE、AF,

即可得AAEF；

（2）延長E/交人。延長線于點(diǎn)G,先證明四邊形是平行四邊形，可得EG=BD=2EF,0G=QCTD,

【詳解】（1）解：如圖，連接人。交/切于。，在8c右側(cè)作團(tuán)。石四3。5。，再在射線石r截取E/=OB,連

接AE、AF,則aA"即為所要求作的三角形，再證?△EG4,可得笠=蕓,

AEEG

最后證得結(jié)果；

（2）證明：延長稗交A。延長線于點(diǎn)G,

回四邊形A8C。是菱形，

mAD//BC.

雙EF”BD,EF=^BD,

團(tuán)四邊形BEG。是平行四邊形，

0FG=BD=2EF,3G=0CBD,

又?在菱形A8CQ中，^CBD=^ABC,

--AABC,

AAEAF2

Z.EAF=Z.G,

又（344EF=4GE/，

￡71"?△EGA,

AEEG

AE2=EF-EG=EF?2EF=2EF2,

AE=V2EF；

【點(diǎn)睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖、相似三角形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

【變式1-1］（2023?陜西?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，國48c中，AB=AC,04=108°,請(qǐng)你利用尺規(guī)在3c

邊上求一點(diǎn)尸，使團(tuán)以施財(cái)8。（不寫畫法，保留作圖痕跡）

【答案】詳見解析

【分析】直接作出AB的垂直平分線，進(jìn)而得出P點(diǎn)位置，利用相似三角形的判定方法得出即可.

【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求，

團(tuán)AB=AC,0A=1O8\

團(tuán)團(tuán)B=13C=36°,

團(tuán)EP是AB的垂直平分線，

0PA=PB,

?=0PAB=36°,

【點(diǎn)睛】此題主要考查了尺規(guī)作圖和相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023?陜西西安?西安行知中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在△48C中，AMWBC.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,

在射線4M上求作一點(diǎn)。，使得△DC4?△ABC.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見詳解

【分析】作乙ACO=乙8,交AM于點(diǎn)點(diǎn)。即為所求.

【詳解】如圖所示，作乙/1C0=M，交AM于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為所求,

HzD/lC=Z.ACB,

^z.ACD=乙B,

[SADCA-△ABC.

【點(diǎn)睛】本題考杳了相似三角形的判定，作?個(gè)角等于已知角，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023春?河北保定?幾年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，乙4c8=90。，用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定

一點(diǎn)D,使△4C。?△48C,根據(jù)下列作圖痕跡判斷，正確的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)△4COSA/RC,可得zCZM==90。，即CD是4口的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷即可.

【詳解】解：當(dāng)。。是A5的垂線時(shí)，△/CD-a/lBC,

???CD1AB,

Z.CDA=Z.BCA=90°,

^/.CAD=“AB,

0AACDABC.

根據(jù)作圖痕跡可知，

A選項(xiàng)中，CO是N4C8的角平分線，不符合題意；

B選項(xiàng)中，乙乙4。WZ_&48,不符合題意；

C選項(xiàng)中，CO是48的垂線，符合題意；

D選項(xiàng)中，C。不與A8垂直，乙ADCH乙ACB,不符合題意.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【題型2三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】

【例2】（2023春?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）等邊3c邊長為6,P為上一點(diǎn)，含30。、60。的直角三角板

60。角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)戶上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

⑴如圖1,當(dāng)。為8c的三等分點(diǎn)，旦夕￡044時(shí)，判斷△放”的形狀；

⑵在（1）問的條件卜\FE、P/3的延長線交于點(diǎn)G,如圖2,求AEGB的面積;

⑶在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF=AE=2,（CFoBP）,如圖3,求PE的長.

【答案】（1）等邊三角形

⑵國

（3）4

【分析】（1）要證三角形EP戶是等邊三角形，已知了用石尸尸=63。，主要再證得PE=P尸即可，可通過證三

角形以明和PPC全等來得出結(jié)論，再證明全等過程中，可通過證明和來實(shí)現(xiàn)；

（2）由（1）不難得出團(tuán)CFG=9（T,那么在團(tuán)CFG中，有回C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長求出GC的長，從而

求出G8的長，下面的關(guān)鍵就是求G8邊上的高，過￡作EH08C,那么即就是所求的高，在直角回8￡「中，

有BP的長，有四18c的度數(shù)，可以求出BE、EP的長，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求HIE”的長，

這樣有了底和高就能求出團(tuán)GBE的面積；

（3）由相似三角形的判定定理得出團(tuán)BP￡03C”,設(shè)研=%,則CP=6-x,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可.

【詳解】（1）陰函48,05=60°,

因此直角三角形PE8中，BE=QP=：BC=PC,

團(tuán)圓BPE=30°,

00EPF=60°,

在后BEP和團(tuán)CP廠中，

(Z.B=Z.C

BE=PC，

【乙PEB=Z.FPC=90°

WBE^CPF,

0EP=PF,

酬EPF=60°,

I3I3￡P(guān)尸是等邊三角形.

(2)過上作于〃,

由(1)可知：FP^BC,FC=BP=^BC：4,BE=CP=^BC=2,

在三角形尸CP中，0PFC=9O°-EC=30°,

團(tuán)團(tuán)PF石=60°,

團(tuán)團(tuán)G尸C=90°,

直角三角形FGC中，團(tuán)C=60。，Cr=4,

0GC=2CF=8,

^GB=GC-BC=2,

直角三角形BEP中回/尸=60°,BP=4,

0P￡=2V3,BE=2,

⑦EH=BE*PE+BP=?

此GBE==^BG-EH=V3；

(3)國在BPE中,團(tuán)4=60°,

團(tuán)團(tuán)?！?+團(tuán)8戶￡=120°,

^EPF=60°,

0E1Z?PE+0FPC=12OO,

乂畫8=13C,

團(tuán)團(tuán)6P￡0團(tuán)CFP,

喘點(diǎn)

設(shè)BP=x,則CP=6?x.

聽占

解得：x=2或4.

當(dāng)上=2時(shí)，在西8EP中，團(tuán)8=60°,BE=4,BP=2,

過E作EM38C于〃，

W

BHPC

貝IJE〃=2A/5,BH=2,

0P/7=O,

即P與〃重合，與CFwBP矛盾,故工=2不合題意，舍去；

當(dāng)工=4時(shí)，在田2石戶中，（38=60。，BE=A,RP=A,

則加/P是等邊三角形，

0PE=4.

故PE=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意對(duì)全

等三角形和等邊三角形的應(yīng)用.

【變式2-1]（2023春?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形〃中，AB=點(diǎn),AD=1U,宜角三角板

的直角頂點(diǎn)P在A。上滑動(dòng)，（點(diǎn)尸與力，。不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C,另一直角邊與射線48交于點(diǎn)E.

(2)當(dāng)/CP。=30°時(shí),求PE的長；

⑶是否存在這樣的點(diǎn)P,使AOPC的周長等于△4EP周長的2倍？若存在，求出8E的長；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【答案】(1)詳見解析

(2)8

(3)5-尊

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出/〃=24=90。，再由直角三角形的性質(zhì)，得出4PCD+2OPC=90。,

又因4CPE=90。，推出NEP4+/OPC=90。，Z.PCD=^EPAf從而證明△CDP團(tuán)△/ME；

(2)根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論；

⑶假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P,設(shè)=貝|J0P=1O—由△CDP(3"/4E知器=2,解獻(xiàn)的值，從而

得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???四邊形力8co是矩形，

Z.D=z.A=90°,

???/PCD+乙DPC=90°,

又乙CPE=90°,

Z.EPA+Z.DPC=90。，

/.PCD=Z.EPA,

/1FP0ADPC；

(2)解：在RtAPCD中,乙DPC=30°,CD=AB=2遮,

ACP=2CD=4百，

22

APD=y/PC-CD=(46)2-(2㈣2=6,

VAD=10,

???AP=10-6=4,

vLCPE=90°,

/APE=60°,

Rt^APE^P，LAEP=30°,

PE=2AP=8；

（3）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P,

設(shè)?IP=x,則PD=10-x,

???△CDP0APAE,

根據(jù)△COP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2,

二且=絲，即2=*=2,

APAEXAE

解得％=V3,

Ar10-V3

???AE=-2--,

BE=AE-AB=-273=5--.

22

【點(diǎn)睛】此題是相似三角形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性

質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)△COP的周長等于△/ME周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023春?江蘇泰州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1,將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形

A4CO上，使直角頂點(diǎn)與。重合，三角板的一邊交43于點(diǎn)P,另一?邊交8c的延長線于點(diǎn)Q.則。P0Q（填

或"=〃）.

（2）將（1）中“正方形ABCQ〃改成“矩形48CD”,且AO=2,CO=4,其他條件不變.

①如圖2,若PQ=5,求4P長.

【答案】（1）=;（2）①1,②乎

【分析】(1)先證明0/1QPE0C。。，即可求解：

(2)①先證明團(tuán)4。陽團(tuán)CQQ,可得蕓=管=2=3設(shè)AP=x，則CQ=2x,

CQCD42

再由勾股定理，即可求解：

②過點(diǎn)8作B￡IM)P交。尸延長線于點(diǎn)E,MWQ于點(diǎn)F,根據(jù)射。廂3CDQ,可得財(cái)?。=%,蕓=穿=：=

p從而得到魴尸E=QQ,再由角平分線的性質(zhì)定理可得8代BF,進(jìn)而證得(3B“013BFQ,得至ljBP=8Q,從而

得到4P二|,再由勾股定理，即可求解.

【詳解】解團(tuán)(1)在正方形/WC7)中，

^A=^BCD=WCQ=^ADC=90°,AD=CD,

物PQQ=90°,

^PDQ^ADC=90°,

團(tuán)財(cái)OP+回產(chǎn)。。=團(tuán)。。。+酎。。=90°,

配L4OPWCQQ,

^ADP^CDQ,

回。P=Z)Q；

故答案為葬

(2)①團(tuán)四邊形ABC7)是矩形，

回財(cái)=酎。。=團(tuán)4c0=90°.

回斯。P+團(tuán)POC=(3COQ+國POC=90°,

團(tuán)財(cái)。P=12COQ.

又回。CQ=90°.

^ADP^CDQ,

c4PAD21

CQCD42

設(shè)AP=.i,則CQ=2x,

團(tuán)尸8=4-x,8Q=2+Zt.

由勾股定理得，在用加有。中，PB2+BG=PQ2,

代人得(4—x)2+(2+2A)2=52,

解得x=l,即4P=1.

財(cái)戶的長為1.

②如圖，過點(diǎn)4作四M）。交。。延長線于點(diǎn)￡,/"同。。于點(diǎn)尸,

由①得：^ADP^CDQ,

E5cC八APAD21

國3AP￡>=團(tuán)Q,——=——=-=一，

上CQCD42

回CQ=Z4P,

回財(cái)PD=（38P￡,

釀囹Q,

團(tuán)8￡>平：分團(tuán)尸。Q,BE^DE,B蜘DQ,

?BE=BF,

回回E=Z8FQ=90°,

團(tuán)團(tuán)BE用⑶8/。，

OBP=BQ,

設(shè)AP=/〃，則/?。=80=4-〃?，CQ=2m,

回2+2/〃=4-〃?，解得：m=

3

BPZP=-,

3

0DP=y/AD2+AP2=J22+Q）2=竽

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，

勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023春?廣東廣州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB

中點(diǎn)，E、〃分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC8C的交點(diǎn)，已知A石=2,CE=5,連接。七，M為

8c上一點(diǎn)，且滿足回CM￡>20AQE,EM=.

【分析】由。￡=5,AE=2,得AC=7,利用勾股定理，得到AQ的長度，過七作￡陵4）于N,求出硒和

QN的長度，由于回CM￡=2[MDE,延長MB至P,是可以證明^DNE-△PCE,MP=x,在Rt△MCE

中，利用勾股定理列出方程，即可求解.

【詳解】解：如圖，過E作EMM。于N,

???Z.END=LENA=90°,

：.4NEA=Z/4=45°,

田NE=NA,

-AE=yjNE2+NA2=>/2NA,

AE「

NE=NA=—=V2,

同理，40=保二苧，

DN=AD-NA=―,

延長至P,使MP=ME,連接戶￡,

自可設(shè)4MPE=乙MEP=x,

...Z.EMC=乙MPE+乙MEP=2x,

v/.EMC=2/-ADE,

LADE=Z-MPE=X,

又乙DNE=乙PCE=90°,

:心DNEPCE.

CENE_V2_2

''PE='DN=5??=5*

2

25

：?PC=

設(shè)MP=ME=%則CM=y

在法△MCE中，ME2=CM2+CE2,

.GT+25=*

29

???x=—,

4

29

ME—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，二倍角的輔助線的構(gòu)造，方程思想求線段，熟練掌握二倍角輔助線是解決

問題的關(guān)鍵.

【題型3裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】

【例3】（2023春?全國?九年級(jí)期中）如圖1所示，一個(gè)木板余科由一個(gè)邊長為6的正方形和一個(gè)邊長為2

的正方形組成，甲、乙兩人打算采用剪拼的辦法，把余料拼成一個(gè)與它等積的正方形木板.

甲：如圖2,沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得4M=2.

乙：如圖3,沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得

卜列說法正確的是（）

圖3

A.甲的分割方式不正確

B.甲的分割方式正確，AM的值求解不正確

C.乙的分割方式與所求AM的值都正確

D.乙的分割方式正確，AM的值求解不正確

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，再逐個(gè)驗(yàn)證拼圖是否符合題意，再利用全等二角形的性質(zhì)，正方形的

性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖所示，將團(tuán)行平移至將團(tuán)M8C平移至回/石M

由此可得AM=QC=2,FA=ND=6,NE=BC=2,

團(tuán)DE=ND-NE=4（符合題意），

回甲的分割方式正確，4M的值求解也正確，

故選項(xiàng)A、選項(xiàng)B的說法都是錯(cuò)誤的，不符合題意；

如下圖所示，將MEG平移至團(tuán)VB，，連接G”，交AB于點(diǎn)M,將HGAM平移至團(tuán)EDP,將團(tuán)尸C8平移至團(tuán)

由此可得G4=E￡>=6-2=4,AM=DP,MN=PC,NB=EF,

回OP+PC+EF=2+6=8=A8,

（3當(dāng)尸G=M7=8C=2時(shí)，G4=ED=4（符合題意），

田砌=（3〃NM=90°,SAMGFNMH,

^AMG^NMH,

廷=絲

MNNH

啜瀉，

解得：4M=/

回乙的分割方式正確，AM的值求解不正確，

故選項(xiàng)C的說法是錯(cuò)誤的，不符合題意，選項(xiàng)D的說法是正確的，符介題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，

熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）如圖為三角形紙片A8C,其中。點(diǎn)和E點(diǎn)將4B三筆分，尸點(diǎn)為

DE中點(diǎn).若小慕從A8上的一點(diǎn)P,沿著與直線8c平行的方向?qū)⒓埰糸_后，剪下的小三角形紙片面積為

△4BC的點(diǎn)則下列關(guān)于。點(diǎn)位置的敘述正確的是（）

B

A.在此上，但不與廠點(diǎn)也不與E點(diǎn)重合B.在。尸上，但不與。點(diǎn)也不與尸點(diǎn)重合

C.與￡點(diǎn)重合D.與。點(diǎn)重合

【答案】A

【分析】根據(jù)題意確定出剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為%得到相似比苧，逐一判斷各選項(xiàng)

即可.

【詳解】解：由題意得，剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為成

故相似比為

y33

即竺=烏

AB3

選項(xiàng)A：\AB<AP<\AB,則：<笠<；，符合題意；

232A83

詵項(xiàng)B：之AB<AP<-AB,則;<啜<不符合題意：

選項(xiàng)C：AP,則嵋=j不符合題意；

\3AB=AR3

選項(xiàng)D：以8=4P,則喘=；,不符合題意；

3AB3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)?于操作類題目，要對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，解題的關(guān)鍵

是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方.

【變式3-2］（2023?福建泉州?中考真題）（1）如圖1是某個(gè)多面體的表面展開圖.

①請(qǐng)你寫出這個(gè)多面體的名稱，并指出圖中哪三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn)：

②如果沿BC、G”將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個(gè)矩形，那么138MC應(yīng)滿足什么條件？（不必說理）

（2）如果將一個(gè)三棱柱的表面展開圖剪成四塊，恰好拼成一個(gè)三角形，如圖2,那么該三棱柱的側(cè)面積與

表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中所有接縫均忽略不計(jì)）

【答案】（1）①直三棱柱，點(diǎn)A、M、D三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn).②團(tuán)8WC應(yīng)滿足的條件是:a、勖MC=90。，

且BM=DH,或CM=DH；b、0MBC=9O°,且/3M=Q〃，或BC=DH：。、團(tuán)4cM=90°,且8C=Q〃，或CM=?！保?/p>

⑵-2

【分析】（1）①根據(jù)多面體的側(cè)面展開圖可以判斷，且A、M、。是一點(diǎn)；②要使最后的圖形為矩形，必

須使團(tuán)BMC是百角三角形，且團(tuán)BMCB3//GM

（2）連接AA、BC、CA,可知矩形ACKL、H1JC、AGUN為棱柱的三個(gè)側(cè)面，且四邊）脛/X7AL、EIBH.卜KCJ

須拼成與底面財(cái)BC全等的另一個(gè)底面的三角形，然后根據(jù)三角形相似的判定和相似比可確定結(jié)果.

【詳解】解：（1）①根據(jù)這個(gè)多面體的表面展開圖，可得這個(gè)多面體是直三棱柱，

點(diǎn)A、M、。三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn).

②同8MC應(yīng)滿足的條件是：

〃、團(tuán)3MC=90°,且8M=。"，或CM=DH；

b、0MBC=9O°,且8M=。"，或BC=DH；

c、回BCM=90°,且8C=OH,或CA/=?！?；

（2）如圖2,連接AB、BC、C4,

團(tuán)皿犯〃是由一個(gè)三棱柱表面展開圖剪拼而成，

但矩形ACKL、BUC.AG48為棱柱的三個(gè)側(cè)面，

且四邊形ZXML、EIBH、/KCZ須拼成與底面財(cái)BC全等的另一個(gè)底面的三角形,

（MC=LK,且AOOL+FK,

那一，

DF2

同理，可得

AB^_B￡_A￡_1

DE~EF~DF~2f

SADEF4

即S3EF=4SAABC，

_S4DEF-2S&ABC_2sMBC_1

-1—.............——,

S&DEF4SAABC2

即該三棱柱的側(cè)面積與表面積的匕值是也

【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合

方法的應(yīng)用，要熟練掌握.此題還考杳了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.同時(shí)此題還考杳

了直三棱柱的表面展開圖的特征和應(yīng)用，要熟練掌握.

【變式3-3](2023?吉林長春?一模)綜合與實(shí)踐

折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之「通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著

豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).

折一折：把邊長為2的正方形紙?jiān)翧BCD對(duì)折，使邊4B與CD重合，展開后得到折痕E只如圖①；點(diǎn)M為CF上

一點(diǎn)，將正方形紙片ABC。沿直線DM折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)N處，展開后連接DN,MN,AN,如圖②.

圖②

；線段NF=

(2)圖②中，試判斷△AND的形狀，并給出證明.

剪一剪.、折一折：將圖②中的AHND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，分別得到圖③、圖

⑷.

⑶圖③中，陰影部分的周長為.

（4）圖③中，若41'GN=80。，則Z/'HO=。.

⑸圖③中，相似三角形（包括全等三角形）共有對(duì).

⑹如圖④，點(diǎn)力'落在邊ND上,若A'N=2A'D,則煞=

【答案】（1）75°,2-V3；

（2）44ND是等邊三角形，理由見解析；

（3）6；

（4）40；

⑸4對(duì);

4

【分析】（1）由折疊知DE==貝吐EON=60。，ACDM=Z.NDM=15°,EN=%N=G可

得答案；

（2）由折疊知EF是AO的垂直平分線，得AN=DN,由（1）得4EDN=60。，從而得出答案；

（3）由折疊知AG=AG,ArH=AH,則圖③中陰影部分的周長=AADN的周長=3x2=6；

（4）由折疊知乙4GH=50。,則4）HG=2知”G=70。,再利用平角的定義可得答案;

（5）根據(jù)兩組角相等可說明ANMG?AAMP?AOHP,由折疊知，A/1GH三A4ZH,從而得出答案；

（6）設(shè)HN=2x,ArD=x,說明ANGN?AAM'。，則半=”=竽，設(shè)4G=4G=m,AH=AH=n,

AHDHAD

則GN=2—m,DH=2—n,得出解得：rn.=得出竺=—==2+2^3=

n2-nxx+2AHnx+22+3--34

【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)得，四邊形CDEF是矩形，??.EF=CD,4EOF=90。，DE=AE=^AD,

???將正方形紙片4BCD沿直線DM折疊，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處，

：.DN=CD=2DE,MN=CM,

:.乙EDN=60°,

Z.CDM=乙NDM=15°,EN=—DN=V3,

2

???LCMD=75°,NF=EF-EN=2-y[3,

故答案為：75°；2-V3：

（2）解：AADN是等邊三角形，理由如下：

由第?次折疊知，￡尸是4。的垂直平分線,

AN=DN,

vZ.EDN=60°,

???A/WN是等邊三角形；

（3）解：???將圖②中的A/1NO剪下來，將其沿直線G，折置，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處,

AG=AG,ArH=AH,

，醫(yī)③中陰影部分的周長=A4DN的周長=3x2=6,

故答案為：6；

（4）解：將圖②中的A/INO剪下來，將其沿直線G”折疊，使點(diǎn)4落在點(diǎn)4,處，

Z.AGH=,Z.AHG=Z.AHG,

???NAGN=80,

:./.AGH=50°,

乙AUG=^A/HG=70°,

:.ZA'HG=180°-70°-70°=40°,

故答案為：40；

（5）解：如圖③，???ZNMG=Z/TMP,4A'PM=4DPH,

A

由折疊知，A/1GH三A/rGH,

???圖③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4對(duì),

故答案為：4對(duì)；

（6）解：???AN=271'D,設(shè)力'N=2x,A'D=x,

vND=NA'+A'D,

2=2x+%=3x?

2

X="

vz/V=Z.D=Zi4=ZTT=60°,

4NA'G+乙A'GN=乙NAG+￡DA'H=120°,

：.WGN=Z.DA'H,

???MGN?△，"，

?_K_G=A,'N—_G_N

,，H~DH-AfDr

設(shè)A'G=AG=m,A'H=AH=n?

:.GN=2—m,HD=2—n,

m2x2-m

:.—=----=------,

n2-nx

故答案為:

4

【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的

性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的周長比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵.

【題型4折疊與相似三角形綜合運(yùn)用】

【例4】（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考一模）如圖,在矩形4BC。中，點(diǎn)￡是BC邊上一點(diǎn),連接將AOCE沿DE所

在直線翻折得到仆DC'E,C'E與AD交于F,點(diǎn)N為OE中點(diǎn)，射線AN交CO邊于點(diǎn)G,連接4E,若4凡4E=乙FEC,

AB=V15,BC=6,則DG長為

6危

【答案】

7

【分析】過點(diǎn)E作EH1AD,延長AG交BC延長線于7,由垂直證明四邊形為矩形，設(shè)BE=4H=%,

由角相等推出E4=EF,因?yàn)锳H=HF=x,即可表示出DF=6-2x,用HL證明△ABEwa

DCF,FC1=x,由勾股定理求出第=1,再由N為DE中點(diǎn)，可由AAS證明△ZMN三△ETN,可求得CT=1,

再利用角相等證明△DAG八CTG,相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得0G的長度.

（詳解］解：過點(diǎn)E作EH1AD,延長4G交BC延長線于T,

???NB=LBAF=Z.AHE=90°,

??.四邊形力BE"為矩形，

:.BE=AH,

設(shè)BE=4H=x,

v/ID||FC,

:.Z.FEC=Z.AFE,

vZ.FAE=Z.FEC,

:.Z.AFE=LFAE,

EA=EF,

?:EH1AF,

???AH=HF=x,

:.AF=2x,

:.DF=6—2x,

vAD\\BC,

Z.ADE=乙DEC,

由折疊可知：乙FED=LDEC,

:.Z.ADE=乙FED,

???EF=FD,

EA=FD,

vAB=CD=V15,

vZ.ABE=乙DC'E=90°,

.?.△ABE三△OC'尸(HL),

FC=BE=x,

在Rt△C'F。中由勾股定理可得:

z,2,2

FD=FC+CDf

2

(6-2x)2=r2+(>/15).

解得：x=1或x=7（舍去），

:.BE=1,

???/V為。￡中點(diǎn),

：.DN=NE,

-ADWBC,

???Z.DAN=Z.T,

又??4ADE=iDEC,

.??△n4N三△ETN(AAS),

:.AD=ET=6,

vAD=BC=6,

:.BE=CT=1,

VAD\\BC,

AZ.ADG=Z-GCT=90°,

???Z.DAG=乙T,

**?△DAG?△CTG,

ADDGDG6

crCG反一DG1

解得：DG=巫.

7

故答案為：半

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的知識(shí)，相似三角形判定和性質(zhì)，正確做出輔助線是解答本題的關(guān)

鍵.

【變式4-112023?上海?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，48=3,點(diǎn)E在邊AB上，AE=2,連接

DE,將△力DE沿著DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,連接EP、DP,分別交邊BC于點(diǎn)F、G,如果=

4

那么CG的長是

【答案】警

【分析】延長EP交。C于點(diǎn)Q,根據(jù)已知得出皆=/證明凡求得CQ=3,根據(jù)折疊的性質(zhì)以

及平行線的性質(zhì)得出QE=QD,在Rt△PDQ中，PD=y/DQ2-PQ2=V62-42=2通,進(jìn)而得出8c=AD=

P0=26，證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長EP交0。于點(diǎn)Q，

理“，

FC3

回四邊形力BCD是矩形，

團(tuán)4BIICD,AB=CD=3,AD=BC

0AEBF?XQCFt

EBBF1

%=員=正=7

回BE=1,

團(tuán)CQ=3BE=3,

WQ=DC+CQ=6,

團(tuán)折疊,

(L4D=PD,Z.AED=乙QED,AE=EP,

則8c=PD,

又a4B||CD,

^LAED=乙EDQ

^Z-DEQ=乙EDQ,

(3QE=QD=6

(ME=EP=2,

^PQ=EQ-EP=6-2=4,

在Rtz\POQ中，PD=^DQ2-PQ2=A/62-42=2A/5,

(BBC=AD=PD=2而，

0BF="BC=—,

42

0ZFFF=90°-乙BFE,乙BFE=Z-PFG=90°-乙PGF,Z.PGF=Z.DGC=90°-乙GDC

團(tuán)/BEF=乙DGC,

又用乙B=zC=90°,

團(tuán)4EBF?&GCD?

挹BF

%=茄，

、后

即上=工，

CG3

^CG

D

故答案為：”.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及相似三角形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023?安徽?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，將矩形A8CD沿A廣折疊，使點(diǎn)。落在8c邊的點(diǎn)E處,

過點(diǎn)E作EG0CO交于點(diǎn)G,連接。G.

(1)求證：四邊形EFQG是菱形;

(2)求證EG2=Zb?AF：

2

（3）若AG=3,EG=V5,求BE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）8￡=竽.

【分析1（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明［3OGFR］。尸G,從而得到GQ=OF,接下來依據(jù)翻折的

性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；

（2）連接OE,交力產(chǎn)于點(diǎn)0.由菱形的性質(zhì)可知GR3OE,OG^OF^GF,接下來，證明團(tuán)。0g財(cái)。凡由

相似三角形的性質(zhì)可證明。F2=F0?AF,于是可得到GE、AF,只7的數(shù)量關(guān)系；

（3）過點(diǎn)G作GZ/aOC,垂足為H.利用（2）的結(jié)論可求得〃G=4,然后再助/）產(chǎn)中依據(jù)勾股定理可求得

人。的長，然后再證明團(tuán)PGM亞mW,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)4E=/1Q-G〃求解即

可.

【詳解】（1）證明：團(tuán)G旗。凡

00￡GF=0DFG.

因由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE,DF=EF,WGF^EGF,

00DGF=0DFG.

0GD=DF.

6DG=GE=DF=EF.

國四邊形KF/）G為菱形.

（2）證明：如圖1所示：連接交AF于點(diǎn)。

回四邊形EFDG為菱形，

0G=OF=-GF

0GM3DE,2f

00DOF=0ADF=9O°,HOF￡>=0DM,

^DOF^ADF.

爬=絲，即。產(chǎn)=P0?4P.

AFDF

^FO=^GF,DF=EG,

^EG2=-GF-AFt

2

（3）如圖2所示：過點(diǎn)6作6版。C,垂足為，.

^EG2=^GF-AF,AG=3,EG=V5,

團(tuán)5=^FG（FG+3）,整理得：FG2+3FG-1O=O.

解得：FG=2,FG=-5（舍去）.

WF=GE=yf5,AF=5

團(tuán)4D=>/AF2-DF2=2V5

0G/70DC,AD^DC,

0GMMD.

00FGH03MD.

啜，即豺，

團(tuán)G"=容.

團(tuán)BE=-G”=2代-竽=誓.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和

性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)得到。尸=尸。1尸是解題答問題

（2）的關(guān)鍵，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得G”的長是解答問題（3）的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023?安徽?模擬預(yù)測）如圖，將矩形A8CO折疊，使點(diǎn)。落在上點(diǎn)。處，折痕為AE;再

次折疊，使點(diǎn)C落在EO上點(diǎn)。處，連接FC并延長交AE于點(diǎn)G.若A8=8,AD=5,則FG長為（）

A.5V2B.V29C.yD.4

【答案】C

【分析】過點(diǎn)G作GEW,GMEiy,垂足分別為/、H,由折疊的性質(zhì)可得C￡>5-4=1,在KaEFC中,設(shè)

FC=x,則EF=3-x,由勾股定理得：12+(3-x)2=f,解得：戶工再證明△4CQ國CGH,設(shè)CH=3m,則GH=4m,

3

CG=5rn,則“Q'=G/=A/=4-3〃?，ZD'=5-(4-3/M)=l+3m=GH=4m,可得到CG=5〃?=5,從而解決問題.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得，040^=0^=90°,AO=A。'，

又觀D4B=90°,

團(tuán)四邊形AOE。是矩形，

^AD=AD',

國四邊形AOEQ'是正方形，

過點(diǎn)G作GGH^ED',垂足分別為/、H,

a4D=DE=ED'=AD'=5,BC=BC=5,(3C=0?CF=9OO,FC=FC,

田。足￡08-5:3,

在QQC4。'中，CD"

0C￡=5-4=1,

在R/0ER7中，設(shè)R7=x,則Er=3-X,由勾股定理得:

12+(3-x)2=f,

解得：V

團(tuán)團(tuán)8CZT+團(tuán)GC77=90°,回GC77+SCG”=90°,

^BCD'^CGH,

又（33G”C'=[3BQ'C=90°,

昵8c77瞠C'G”，

0CW：GH：CG=BD'：CD'：BC=3：4：5,

設(shè)CH=3m,則GH=4m,C'G=5m,

a/7D'=G7M/=4-3/n,Z/7=5-（4-3"）=l+3m=GH=4m,

解得：*1,

團(tuán)CG=5〃?=5,

囹尸G號(hào);

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.

【題型5判斷與相似有關(guān)結(jié)論的正誤】

【例5】（2023春?湖北襄陽?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，邊長為4的正方形.ABCD.中，對(duì)角線，BD交

于點(diǎn)。，E在線段OD上，連接CE,作EF_LCE交4B于點(diǎn)F,連接CF交8。于點(diǎn)，，則下列結(jié)論：?EF=EC；

②C產(chǎn)=CG-C4③BE?DH=16；④若=1,則DE=卜2,正確的是（）

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】①由"SAS〃可證△/WE=ACDF,可得4E=EC,乙DAE=△DCE,由四邊形的內(nèi)角和定理可證

Z-AFE=Z.BCE=LEAF,可得=EF=EC；

②通過證明△/CG?AACF,WWCF2=CG-CA；

③通過證明?△CDH,可得生=”，通過證明△ECH八EBC,可得生=絲，可得結(jié)論;

ECCDECBE

④通過證明△AFC八DEC,可得攜=今,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AE,

???四邊形力BCD是正方形，

:.AD=CD,Z.ADB=乙CDB=^3AC=4。AC=45°,

又?.DE=DE,

???△ADE三△CDE(SAS),

:.AE=EC,Z.DAE=乙DCE,

???Z.EAF=Z-BCE,

vZ.ABC+Z-FEC+Z-EFB+4BCE=360°,

:.乙BCE+乙EFB=180°,

X*.LAFE+乙BFE=180°,

???Z.AFE=乙BCE=LEAF,

???AE=EF,

：.EF=EC,故①正確；

???EF=EC,Z.FEC=90°,

Z.EFC=Z-ECF=45°,

Z.FAC=Z.EFC=45°,

又?.Z.ACF=ZFCG,

FCGsxACF,

.CF_CA

,?CG~CF'

CF2=CG-CA,故②正確;

.V(ECH=乙CDB.,Z.EHC=乙DHC,

:AECHS&CDH,

.CH_EC

“而一CD,

.CH_DH

'''EC_CD*

VZ.ECH=Z.DBC,乙BEC=LCEH,

???△ECH?AEBC,

CHEC

BCBE

CUBC

:.—=一,

ECBE

DHBC

:.BC-CD=DH-BE=16,故③正確：

BF=1,AB=4,

A/4F=3,AC=4V2,

?:乙ECF=^LACD=45°,

:.Z.ACF=Z-DCE,

XvZ.FAC=乙CDE=45°,

AFCs4DEC,

.?.竺=”，

DECD

—=\/2?

DE

.?.DE=芋，故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考杳了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長為5的菱形48C0沿著直線DE折疊，使

點(diǎn)C與48延長線上的點(diǎn)Q重合.DE交BC于點(diǎn)、F,交48延長線于點(diǎn)七.DQ交BC『點(diǎn)P,0M_L/8丁點(diǎn)M,

AM=4,則下列結(jié)論，?DQ=EQ,@BQ=3,③3P=”，@BD||FQ.正確的是（）

8

C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；根據(jù)

等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MQ=AM=4,再求出8Q即可判斷②正確：由^CDPBQP得啜=^=

BPBQ

3求出BP即可判斷③正確；根據(jù)黑工器即可判斷④錯(cuò)誤.

3DeDC

【詳解】由折疊性質(zhì)可知：乙CDF=￡QDF,CD=DQ=S,

^CDWAB,

團(tuán)乙。。尸=乙QEF.

0Z(?DF=乙QEF.

WQ=EQ=5.

故①正確;

回OQ=CD=AD=5,DM1AB,

團(tuán)MQ=/1M=4.

回MB=/IB-/1M=5-4=1,

回BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正確;

^CDWAB,

0ACDPBQP.

QCD5

0CP+BP=BC=S,

助P*BC吟

故③正確;

^CDWAB,

0ACDFBEF.

DF_CD_CD__5__5

EF~BE~BQ+QE~3+5~~8*

近8

%=7?

嗡，

^DE'BE，

I?IAEFQ與A七NN不相彳以.

國乙EQF工Z.EBD.

回8D與5Q不平行.

故④錯(cuò)誤；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱

形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023?山東泰安?統(tǒng)考二模)如圖，正的邊長為2,沿的邊4C翻折得ZMDC,連接

BD交AC于點(diǎn)、O,點(diǎn)M為BC上一動(dòng)點(diǎn),連接力M,射線4M繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交8c于點(diǎn)N,連接MN、OM.以

下四個(gè)結(jié)論：①△4MN是等邊三角形：②MN的最小值是V5：③當(dāng)MN最小時(shí)S.MN=：S菱形.CD；④當(dāng)

OM1BC時(shí)，0爐=ON-48.正確的是()

CND

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】先證明△打力”三△G4N(A5A),可得4M=AN,結(jié)合4AM/V=60。，可判斷△力M/V是等邊三角形，

故①正確；因?yàn)镸N=/M,即MN的最小值為力M的最小值，所以當(dāng)4M1.8C時(shí)，4M最小，求出此時(shí)71M的

長即可判斷②正確；可證明此時(shí)乂村為48C0的中位線，再得△CMNC8D,相似比為1:2,S"MN：S△謝=

1:4,即SACMN=3SAC8。，結(jié)合=[s菱形A8CD，可證明SACMN=菱形A8CD，故③正確；證明△BOC?

△0MC,由相彳以的性質(zhì)得好=—,即。。2=BC?MC,結(jié)合。力=OC,BC=AB,MC=DN,即可證明。力2=

DNAB,故④正確.

【詳解】解：團(tuán)正△48C的邊長為2,沿△ABC的邊4C翻折得△耳八,

團(tuán)48=AC=AD=CD=BC,Z-ABC=Z.BAC=Z.ACB=Z.ACD=60°,

回4BAC=乙MAN=