專題62角【十二大題型】（舉一反三）（蘇科版）（原卷版）

專題6.2角【十二大題型】

【蘇科版】

【逑型I角的概念及角的度星】.................................................................2

【題型2角的單位及其換算】....................................................................2

【題型3角的計數(shù)問題】........................................................................3

【題型4鐘面上角的特征】......................................................................4

【題型5方向角】..............................................................................5

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運算】............................................................7

【題型7與角n等分線相關(guān)的隹的運算】.........................................................8

【題型8在三角板中的角的運算】..............................................................11

【題型9余角和補角的計算】...................................................................13

【題型10同（等）角的余角和補角相等的運用】..................................................14

【題型11對頂角的識別及其性質(zhì)】...............................................................15

【題型12平行、垂直】.........................................................................16

2*浮三

【知識點1角的概念】

定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點、是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.

定義二：一條射線繞著它的端點就轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.

【知識點2角的表示方法】

表示方法圖例記法適用范圍

用三個大寫字母ZAOB任何情況下都適應(yīng).表示端點的字

y

表示或/BOA母必須寫在中間.

R

用一個大寫字母

ZA以這個點為頂點的角只有一個.

表示

用數(shù)字表示Z1任何情況下都適用.但必須在靠近

頂點處加上弧線表示角的范圍，

用希臘字母表示Za并注上數(shù)字或希臘字母.

【題型1角的概念及角的度量】

［例I］（2022?甘肅蘭州?七年級期末）下列說法中正確的是（）

A.由兩條射線組成的圖形叫做角

B.角的大小與角的兩邊長度有關(guān)

C.角的兩邊是兩條射線

D.用放大鏡看一個角，角的度數(shù)變大了

【變式（2022?山東淄博?期中）乙4cB的兩邊分別是（）

A.射線AC、BCB.射線CA,CBC.線段AC,BCD.直線C4,CB

【變式1-2］（2022?全國?七年級專題練習）如圖，用量角器度量MO&可以讀出財08的度數(shù)為

【變式1-3］（2022?全國?七年級專題練習）如圖，下列說法錯誤的是（）

A.“0B也可用，。來表示

B.4與N80C是同一個角

C.圖中共有三個角：^AOB,Z.A0C,乙B0C

D.與N/OB是同一個角

【題型2角的單位及其換算】

【例2】（2022?山東煙臺?期中）若Nl=25°15',42=25。13'30〃，々3=25.35。，則（）

A.z.3>z.1>z.2B.z.2>zl>z.3C.z.1>z.3>z.2D.z.1>Z.2>43

【變式2-1］（2022?全國?七年級單元測試）下面等式成立的是：）

A.83.5°=R3°50/R.90°-E7°2"27"=?2匕7'33

C.15°48'36〃+37'27'59“=52°16’35'D.41.25°=41°15

【變式2?2】（2022?江蘇?江陰市敵山灣實驗學校七年級階段練習）計算:

(1)45°10,-21035/20//；

(2)48。39'+67。31‘-21017,；

(3)42°16'+18°23'x2.

【變式2-3]（2022?天津南開?七生級期末）如圖1是一個:的圓（團AOB=90。），芳芳第一次在圖1中畫了一

4

條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分成4份，第三次由加了四條線，將圖1等分

成8份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16份，如圖2所示，則第n（n>l）次可將圖1等分成

份，當"5時，圖1中的每份的角度是（用度，分，秒表示）

【例3】（2022?福建龍巖?七年級期末）在銳角0AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條

不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角.照此規(guī)律，畫19條不同的

射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）

【變式3-1]（2022?山東?泰安市泰山區(qū)樹人外國語學校期中）如圖所示，41。8=90。，則圖中銳角有（）

【題型5方向角】

【例5】（2022?山東煙臺?期末）如圖，某海域中有A,B兩個小島，其中4在A的北偏東40。方向，那么小

島A相對于小島8的方向是（）

A.南偏東40。B.北偏東50。C.南偏西40°D.北偏西50。

【變式5-1］（2022?全國?七年級課時練習）如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70。方向走到點B,乙從點A出發(fā)

向南偏西15。方向走到點C,則回BAC的度數(shù)是（）

C.125°D.160°

【變式5-2］（2022?全國?八年級課時練習）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向

這兩個數(shù)據(jù)來確定.問：

⑴漁船B相對小島的位置應(yīng)怎樣表述？

（2）小島的北偏東30。方向，距禽小島30km處是哪艘漁船？

【變式5-3］（2022?重慶黎江?七年級期中）某部隊在大西北戈壁灘上進行軍事演習，部隊司令部把部隊分

為“藍軍"、”紅軍〃兩方.藍軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地8地，A地在8地的正西邊（如圖）.部隊

司令部在C地.。在A的北偏東60。方向上、在3的北偏東30。方向上.

⑴的c=。；

(2)演習前，司令部要藍軍、紅軍派人到。地匯報各自的準備情況.紅軍一輛吉普車從B地出發(fā)、藍軍一部越

野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時到達C地.已知吉普車行駛了18分鐘.4到C的距離是

B到C的距離的1.7倍.越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米.求越野車、吉普車的速度及8地到C

地的距離(速度單位用：千米/時).

【知識點5角的比較與運算】

角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，

方法1;度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2:疊合比較法.把其中的一個角移到另一個角上作比較.

如比較NAOB和NA94T的大?。喝缦聢D，由困(1)可得NAOBVNA91T;由圖(2)可得NAOB=N

A%rB，；由圖(3)可得NAOB>NA9，iy.

【知識點6角的和、差關(guān)系】

如田所示，NAOB是N1與N2的和，記作：NAOB=N1+N2;N1是NAOB與N2的差，記作：Nl=

ZAOB-Z2.

【知識點7角平分線】

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，0C是NAOB

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

【題型6與角平分線相關(guān)的角的運算】

【例6】（2022?江西省遂川縣教育局教學研究室七年級期末）如圖，匕808=90。，4BOC=a（0）VaV180。）,

00,0E分別是乙力03,乙B0C的平分線.

圖1備用圖

⑴如圖1,當OC在。8左側(cè),且a=80°時,乙DOE的度數(shù)是._________*.

⑵當OC的位置不確定時，請利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究￡。。￡的大小與a的數(shù)量關(guān)系：

⑶當乙。。Z?的度數(shù)為36。時，請直接寫出。的度數(shù).

【變式6-1］（2022?山東煙臺?期末）有公共頂點的兩個角,N40B=NC0D,且0E為/BOC的角平分線.

/

圖1圖2

（1）如圖1,請?zhí)剿鱖40E和ND0E的大小關(guān)系,并說明理由;

（2）如圖2,和NDOE是否仍然滿足（1）中關(guān)系？請說明理由;

(3)若=90°,Z-AOC=64°,求出48?！甑亩葦?shù).

【變式6-2］（2022?山東濟南?七年級期末）如圖1,已知財08=60。，OM平分0AO/L

BOB

圖2備用圖

⑴勖0M=；

⑵若在圖1中畫射線OC,使得團80c=20。，ON平分回8OC,求助/ON的大??；

（3）如圖2,若線段OA與08分別為同一鐘表上某一時刻的時針與分針,0408=60°,在時針與分針轉(zhuǎn)動過

程中，OM始終平分姐08,則經(jīng)過多少分鐘后，回80M的度數(shù)第一次等于50。.

【變式6-3］（2022?內(nèi)蒙古?察哈爾右翼前旗教學研究室七年級期末）已知NAOB內(nèi)部有三條射線，其中，0E

平分/BOC,。9平分N/OC.

（1）如圖1,若乙40B=90。，Z-AOC=30°,求乙EOF的度數(shù)；

（2）如圖2,若乙4。8=a,求4EOF的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（3）若將題中的"平分"條件改為"3"。8=ZCOB,3"。r=2"。力〃，且2力。8=a,用含a的式子表示

△EOF的度數(shù)為.

【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運算】

【例7】（2022?貴州畢節(jié)?七年級階段練習）如圖，點4、。、8三點在一直線上，從點C引射線CQ、CE、

CF，^DCE-^ECA.團FCE一爭ECB.

⑴求團。C尸的大小，并說明理由；

（2）當（3OCE=粕EC4,用時，直接寫出團。C尸的大?。ㄓ煤ǖ拇鷶?shù)式表示）.

【變式7?1】（2022?湖南長沙?七年級期末）如圖，在財式B的內(nèi)部有3條射線。C、OD、OE,若財OC=70。,

皿"如魴。"神。從則血心--------。.（用含〃的代數(shù)式表示）

A

O

D

B

【變式7-2]（2022?全國?七年級西元測試）已知2OB和〃。。是直角.

（1）如圖，當射線。8在乙C。。內(nèi)部時，請?zhí)骄?1。。和之間的關(guān)系;

（2）如圖2,當射線04射線OB都在aOD外部時，過點0作射線由射線。巴滿足乙B0E=1乙BOC,乙DOF=

;乙AO。，求乙EOF的度數(shù).

（3）如圖3,在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線0G,使得乙G0B乙GOE=2:3,若不存在，請說明

理由，若存在，求出4G。尸的度數(shù).

A

D

【變式7-3]（2022?江蘇淮安?七年級期末）

圖3備用圖

【閱讀理解】

射線OC是刻03內(nèi)部的?條射線,若刻OC=扣5OC,則稱射線0C是射線OA在財03內(nèi)的?條"友好線〃.如

圖1,若0408=75。，財0。=25。，則財。C=粕BOC,所以射線OC是射線0A在財08內(nèi)的一?條“友好線".

【解決問題】

（1）在圖1中，若作加OC'的平分線OD,則射線OD（填“是"或"不是"）射線。笈在內(nèi)的一條“友

好線"；

⑵如圖2,（MO4的度數(shù)為小射線OM是射線03在財04內(nèi)的一條"友好線"，ON平分財08,則E1MON的

度數(shù)為（用含”的代數(shù)式表示）；

⑶如圖3,射線08先從與射線0A重合的位置出發(fā)，繞點。以每秒V的速度逆時針旋轉(zhuǎn)：10秒后射線OC

也從與射線04重合的位置出發(fā)，繞點。以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當射線0C與射線0A的延長線重合

時，運動停止.問：當射線。。運動時間為多少秒時，射線OA,OB,0C中恰好有一條射線是余下兩條射

線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？

【題型8在三角板中的角的運算】

【例8】（2022?陜西?西安市雁塔區(qū)第二中學七年級階段練習）將一副三角板如圖1搜放.乙4。8=60。/。。。=

45°,OM平分，A。。，ON平分“08.

（1）乙M0N=；

（2）將圖1中的三角板。CD繞點。旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，求ZM0N；

⑶將圖1中的三角板OCD繞點。旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求ZM0N.

【變式8-1］（2022?山東棗莊?七年級期中）如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究.

⑴如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好是財C8的平分線，請你猜想此時C8

是不是的平分線，并簡述理由;

（2）如圖②，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若始終在團。。石的內(nèi)部，請猜想剛CE與田。

是否相等，并簡述理由.

【變式8-2］（2022?福建福州?七年級期末）在一次數(shù)學活動課上，李磊同學將一副宜角三角板ABC、按

如圖1放置,點A、C、。在同一直線上，（4E4D=30。、乙847=45。），并將三角板力3c繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)?定角度，且始終保持0。VZC4D工30。.

BB

圖4

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2,當點4、C、E在同一直線上時，則；

⑵在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3,當/B4E=30。時.請說明力。平分

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4.當=4NC/D時，求此時/C4E的度數(shù).

【變式8-3］（2022?安徽?宿城第一初級中學七年級期中）以直線48上一點。為端點作射線0C,使ZBOC=30°,

將一個直角三角板的直角頂點放在。處，即=90。.

⑴如圖1,若直角三角板DOE的一邊?！攴旁谏渚€。力上，則4。。。=

⑵如圖2,將直角三角板。0E繞點。順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，

①若0E恰好平分乙AOC,則4COD=；

②若。。在乙80C內(nèi)部，請直接寫與"0E的數(shù)量關(guān)系為：

（3）將直角三角板OOE繞點。順時針轉(zhuǎn)動（。0與0B重合時為停止）的過程中，恰好有2。。。=）/10E,求此

時/80。的度數(shù).

【知識點8余角和補角】

（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90。（直角），就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的

余角.

類似地，如果兩個角的和等于18。，（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角.

（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等.（2）同角（等角）的補角相等.

【題型9余角和補角的計算】

【例9】（2022?河南平頂山?七年級期中）如圖，點O在直線A6上，COLAB,Z1=28°,OE是〃。。的

平分線，。尸10E.

⑴求41?！?的度數(shù).

（2）找出圖中與48。F互補的角，并求出,8。尸補角的度數(shù).

【變式9-1］（2022?河南?鄭州外國語學校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習）一個角的余角比它的補角的:還少2。，

則這個角的度數(shù)是.

【變式9-2］（2022?新疆?烏魯木齊市第136中學七年級期末）如圖，O是直線4B上一點，OC為任意一條

射線，平分團BOC,OF平分0Aoe

（1）圖中財0。的補角是和；團BOD的余角是和

⑵已知NCOD=40°,求［3COE的度數(shù).

【變式9-3］（2022?全國?七年級）己知：如圖所示，。。平分回40C,OE平分0AOC.若1380070°,0AOC=5OO.

（1）求出同4。8及其補角的度數(shù)；

（2）求出團。。。和M0E的度數(shù)，并判斷團。0E與胡。8是否互補，并說明理由;

（3）若138OC=a,財。。=或，則皿）0E與M08是否互補，并說明理由.

【題型10同（等）角的余角和補角相等的運用】

【例10】（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在同一平面內(nèi)，LAOB=^COD=90°,乙AOF=4。0凡點

E為。尸反向延長線上一點（圖中所有角均指小于180。的角）.下列結(jié)論:

①“0E=乙BOE；

②乙AOD+乙BOC=180°；

③乙BOC-Z.AOD=90°；

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式10-1】（2022?全國?七年級專題練習）如圖，40E是一條直線，。8JL/E,。。J.。。，圖中互補的角有

A.4對B.5對C.6對D.7對

【變式10-2]（2022?河北秦皇島?七年級期中）如圖，已知直線AB、CD、EF、MN相交于點O,CD0AB,OC

平分回EOM,圖中團EOC的余角的個數(shù)是（）

【變式10-3】（2022?福建?廈門市松柏中學七年級期末）如圖，LAOB=90°,直線力經(jīng)過點。.在下面的五

個式子中：①180。一乙2；②乙3；③2匕1+42；④243一2乙1一次2；⑤180。一乙1,等于42的補角的式

子的個數(shù)是（）

【題型11對頂角的識別及其性質(zhì)】

【例11】（2022?內(nèi)蒙古呼倫貝爾七年級期中）下列各圖中，（31與團2是對頂角的是（）

【變式（2022?廣東?揭西縣陽夏華僑中學七年級期末）已知：如圖，直線A3、。。相交于點O,OE

平分財OC,

s

⑴圖中的對頂角有對，它