專題82 期中期末專項復(fù)習(xí)之實數(shù)二十六大（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題8.2實數(shù)二十六大考點

【北師大版】

【考點1求算術(shù)平方根、平方根、立方根】.......................................................1

【考點2利用算術(shù)平方根的非負性求值】.........................................................3

【考點3估算算術(shù)平方根的取值范圍】............................................................5

【考點4求算術(shù)平方根的整數(shù)部分或小數(shù)部分1..........................................................................7

【考點5與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究】.........................................................9

【考點6己知平方根、算術(shù)平方根或立方根，求該數(shù)】............................................11

【考點7利用平方根、立方根解方程】...........................................................13

【考點8已知平方根、算術(shù)平方根、立方根求參數(shù)】..............................................16

【考點9平方根、算術(shù)平方根、立方根的實際應(yīng)用】..............................................18

【考點9實數(shù)、無理數(shù)的概念】................................................................20

【考點10實數(shù)的大小比較】.....................................................................23

【考點11實數(shù)與數(shù)軸】.........................................................................24

【考點12程序框圖中的實數(shù)運算】..............................................................26

【考點13新定義中的實數(shù)運算】................................................................29

【考點14實數(shù)的運算】.........................................................................32

【考點15實數(shù)運算的規(guī)律探究】................................................................35

【考點16實數(shù)運算的應(yīng)用】.....................................................................37

【考點17二次根式的概念】.....................................................................40

【考點18二次根式杓意義的條件】..............................................................41

【考點19利用二次根式的性質(zhì)化簡】............................................................43

【考點20同類二次根式的概念】................................................................45

【考點21二次根式的混合運算】................................................................47

【考點22二次根式的化簡求值】................................................................50

【考點23二次根式的應(yīng)用】.....................................................................52

【考點24二次根式中的新定義府題】............................................................56

【考點25利用分母有理化求值】................................................................60

【考點26二次根式中的閱讀理解類問題】........................................................66

》會涪一共三

【考點1求算術(shù)平方根、平方根、立方根】

【例I】（2022?海南省直轄縣級單位?七年級期中）0.16的算術(shù)平方根是,儂的平方根是.

【答案】0.4±V5

【分析】根據(jù)求一個數(shù)的算術(shù)平方根與平方根進行計算即可求解.

【詳解】0.16的算術(shù)平方根是0.4,V25=5,則任的平方根是士通

故答案為：0.4,土通

【點睛】本題考查了求?個數(shù)的算術(shù)平方根與平方根，理解平方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.平

方根：如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫。的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根.立

方根：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做Q的立方根.

【變式1?1】（2022?云南?景洪市第三中學(xué)七年級期中）計算正確的是（）

A.Vl=±lB.-VO^l=0.9C.V9=±3D.V（-3）2=3

【答案】D

【分析】直接利用立方根以及算術(shù)平方根的定義分別分析得出答案

【詳解】解：

A、V1=1,故本選項不符合題意；

B、-x/O.81=-0.9,故本選項不符合題意；

C、g=3,故本選項不符合題意；

D、J（-3）2=3,故本選項符合題意

故選:D

【點睛】此題主要考查了立方根及算術(shù)平方根，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式1-2]（2022?全國?八年級專題練習(xí)）若〃?是169的正的平方根，〃是121的負的平方根，求：

⑴〃1十〃的值；

（2）（m+n）之的平方根.

【答案】（1）2

（2）12

【分析】（1）根據(jù)平方根的定義求出"人〃的值，然后代入計算即可求解;

（2）先求出（m+九）*的值，然后再根據(jù)平方根的定義進行求解.

（1）

回（±13）2=169,加是169的正的平方根,

回〃2=13,

2

0（±11）=121,〃是121的負的平方根，

團〃=-11,

M+〃=13+(-11)=2：

(2)

0/7?+/?=2

2,2

0(m4-n)=4=(±2),

0(m+n)’的平方根是±2.

【點睛】本題考查了平方根的定義，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有

平方根，熟記一些常用的平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2022?湖南?八年級跑元測試)一27的立方根與9的平方根之和為()

A.0B.6C.0或一6D.0或6

【答案】C

【分析】依據(jù)平方根和立方根求得這兩個數(shù)，然后利用加法法則計算即可.

【詳解】解：-27的立方根是-3,9的平方根是±3,

-3+3=0,-3+(-3)=-6.

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是立方根和平方根，熟練掌握立方根和平方根的意義是解題的關(guān)鍵.

【考點2利用算術(shù)平方根的非負性求值】

【例2】(2022?全國?八年級專題練習(xí))已知實數(shù)a,b,。滿足(a?2產(chǎn)+|2加6|+用底=0.

⑴求實數(shù)。，乩c的值；

(2)求\a-3h+c的平方根.

【答案】(1)。=2,b=-3,c=5

(2)Va-3b+c的平方根為±2

【分析】(1)根據(jù)非負性可知，(。-2戶=0,|2H6|=0,V5^?=0,求出a,b,。的值；

(2)由(1)得〃=2,b=-3,c=5,將小h,c代入求解即可.

(1)

解：□(a-2)2+|2Z?+6|+V5-c=0,

0(?-2)2=0,12Z?+61=0,y/5—c=0,

故選:D.

【點睛】本題主要考查了平方根的求解，結(jié)合絕對值、二次根式的非負性計算是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2022?廣東湛江?八年級期末）已知|2020?—2021=，〃,求m-202。2的值.

【答案】〃？?20202=2021

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性確定a的范圍，進而化簡絕無?值，再根據(jù)平方根的定義求得代數(shù)式的值.

【詳解】解：0m-2021>0,

0/?>2021?

02C2O-m40,

團原方程可化為：〃??2020+Vm-2021=〃?,

0Vni-2O21=2O2O,

即?-2021=20202,

囹〃l20207=2021.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，化簡絕對值，平方根的定義，根據(jù)算術(shù)平方根的非負性確定。

的范圍化簡絕對值是解題的關(guān)鍵.

【考點3估算算術(shù)平方根的取值范圍】

【例3】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形,

則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)算術(shù)平:方根的概念結(jié)合正方形的性質(zhì)得出其邊長，進而得出答案.

【詳解】解：團用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，

回大正方形的面積為：9+9=18,

則大正方形的邊長為：718,

團>幅<V18<

04<V18<4.5,

回大正方形的邊長最接近的整數(shù)是4.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根的定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）數(shù)軸上表示下列各數(shù)的點，能落在A,8兩個點之間的是（）

A.-V3B.V7

C.VT1D.V13

【答案】B

【分析】首先確定A,B對應(yīng)的數(shù)，再分別估算四個選項的數(shù)值進行判斷即可.

【詳解】解：由數(shù)軸得，A點對應(yīng)的數(shù)是1,B點對應(yīng)的數(shù)是3,

A.-2<-'/3<-l,不符合題意；

B.2<V7<3,符合題意；

C、3<V11<4,不符合題意；

D.3<V13<4,不符合題意；

故選：B

【點睛】本題主要考查了對無理數(shù)的估算.

【變式3-2］（2022?天津?九年級期末）估計6-2的值在（）

A.0到1之間B.1到2之間C.2到3之間D.3至4之間

【答案】A

【分析】先判斷舊的取值范圍，從而得出近-2的取值范圍.

【詳解】022<（V7）2<32

P12<V7<3?

00<V7-2<1,

即a一2在。到1之間，

故選A.

【點睛】本題考查二次根式的估算，常見方法有2種：平方法去根號比較、將整數(shù)轉(zhuǎn)化到根號內(nèi)比較.

【變式3-3］（2022?重慶?八年級期中）估計更|出的值在（）

A.1到2之間B.2至IJ3之間C.3至Ij4之間D.4至U5之間

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式值的估算辦法，可得結(jié)果.

【詳解】解：03<V13<4,

04</13+1<5,

團2<華”，

22

故手的值在2到3之間，選B.

【點睛】本題考查了實數(shù)的估計大小，掌握放縮法估計實數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.

【考點4求算術(shù)平方根的整數(shù)部分或小數(shù)部分】

【例4】（2022?上海徐匯?七年級階段練習(xí)）JIT的整數(shù)部分是.小數(shù)部分是.

【答案】3VTT-3

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進行求解即可.

【詳解】解：09<11<16,

（33<ar<4,

團ar的整數(shù)部分為3,

回ar的小數(shù)部分為“I-3：

故答案為3,V11-3.

【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?浙江?七年級階段練習(xí)）6-近！的小數(shù)部分為a,7+VTT的小數(shù)部分為4則

（a+6）2。18=.

【答案】1

【分析】先分析m介于哪兩個整數(shù)之間，再分別求出6-ar和7+ar介于哪兩個整數(shù)之間，即可求出6-

ar和7+ai的整數(shù)部分，然后用它們分別減去它們的整數(shù)部分得到a砌），代入即可.

【詳解】解：1?13<VTT<4

（2110<7+A/11<11,-3>-Vn>-4

團3>6-vn>2

團7+41的整數(shù)部分為10,6-vli的整數(shù)部分為2,

0?=6-VT1-2=4->/11

/?=7+VTI-io=V1T-3

代人得：

2018

（Q+6）2018=（4-V1I+711-3）

=1?018

=1

【點睛】此題考查的是實數(shù)（帶根號）的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法.

【變式4-2］（2022?重慶市力盛經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)漆州中學(xué)七年級期中）已知面=1=3,3“-計1的平方?根

是±4,c是的整數(shù)部分，求o+H2c的平方根.

【答案】±5

【分析】分別根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的意義，無理數(shù)的估算求出。、b、。的值，即可求出2c的值，

根據(jù)平方根的意義即可求解.

【詳解】解：0V2a-1=3,

02c-1=9,

解得：。=5,

036-b+1的平方根是±4,

（315-岳1=16,

解得:b=0,

aVioo<V113<7121,

010<VT13<ll,

配=10,

0?+Z?+2c=5+0+2x10=25,

2c的平方根為±癡=±5.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根的意義，無理數(shù)的估算，熟知算術(shù)平方根、平方根的意義是解題

關(guān)鍵.

【變式4?3】（2022?江蘇?八年級）設(shè)2+連的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y,試求x、y的值與x-1的算術(shù)

平方根.

【答案】V3.

【詳解】試題分析：先找到幾介于哪兩個整數(shù)之間，從而找到整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，

然后代入求值即可.

試題解析；因為4VGV9,所以2<y3V3,

即后的整數(shù)部分是2,

所以2+后的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是2+76-4=76-2,

即x=4,y=V6-2?所以Vx—1=V4—1=V3.

考點：1.估算無理數(shù)的大??；2.算術(shù)平方根.

【考點5與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探究】

【例5】(2022?山東莉澤?八年級期中)將一組數(shù)V5,瓜3,康5/15........."按下面的方法進行排

列：

V3V63V12V15

V18V21V24x^27V30

若的位置記為(1,4),舊的位置記為(2,3),則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為()

A.(14,4)B.(14,5)C.(15,5)D.(16,1)

【答案】C

【分析】依據(jù)每組數(shù)的排列規(guī)律，設(shè)“=廝，這列數(shù)中最大的有理數(shù)為這=735^75,從而得出九=75,

根據(jù)每行5個數(shù)進一步求解即可.

【詳解】解：設(shè)=癡，

an

回該列數(shù)中，最大的有理數(shù)為回，

團3M=225,即九=75,

回每行5個數(shù)，

團加云在第15行第5列，

團這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為：(15,5),

故選：C.

【點睛】本題主要考查了數(shù)字的規(guī)律探索，正確找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式5-1](2022?全國?八年級專題練習(xí))閱該下列材料：

(1)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

70.000004=0.002,70.0004=0.02,V0?04=0.2,四=2,7400=20,

根據(jù)以上材料填空：V40000=_.V4000000=_.

(2)已知&=1.414,直接寫出：45而=______,7200=_____,720000=.

【答案】20020000.141414.14141.4

【分析】（1）觀察被開方數(shù)和算術(shù)平方根小數(shù)點的位置，即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，從被開方數(shù)和算術(shù)平方根小數(shù)點的移動位置考慮，即可求解：

【詳解】解：（1）由所提供的各數(shù)算術(shù)平方根的變化規(guī)律可知，當被開方數(shù)獷大（縮小）100倍，10000

倍，1000000倍......則其結(jié)果就擴大（縮?。?0倍，100倍，1000倍……

所以，40000=200,74000000=2000,

故答案為：200,2000；

（2）由（1）的規(guī)律可得，

\/^02=0.1xV2=0.1414,7200=1072=14.14,720000=100^141.4,

故答案為:0.1414,14.14,141.4.

【點睛】本題考杳了算術(shù)平方根的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是從小數(shù)點移動的位數(shù)來考慮.

【變式5-2］（2022?黑龍江?齊齊哈爾市第二十八中學(xué)七年級期中）觀察下列各式：

用字母〃表示出一般規(guī)律是.（〃為不小于2的整數(shù)）

【答案】步U=n.住;（〃為不小于2的整數(shù)）

【分析】分析被開方數(shù)的變換規(guī)程即可求得

【詳解】解：1、觀察4個等式左邊根號內(nèi)分數(shù)的特點：

①整數(shù)部分與分數(shù)部分的分子相等，即2=2,3=3,4=4,5=5,

②整數(shù)部分與分數(shù)部分的分母有下列關(guān)系：7=23-1,26=33-1,63=43-1,124=53-1,

2、觀察四個等式右邊的立方根前的倍數(shù)正好是等式左邊被開方數(shù)的整數(shù)部分，立方根里的分數(shù)正好是左邊

被開方數(shù)的分數(shù)部分，所以其中的規(guī)律可以表示為步與二八3壬（〃為不小于2的整數(shù)）

故答案為：心目=n-缶鼻（〃為不小于2的整數(shù)）.

【點睛】本題考查了立方根的規(guī)律探究，分析被開方數(shù)的變換規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式5-3］（2022?北京市十一學(xué)校二模）由IO?=100,1002=10000,我們可以確定是兩位數(shù).根

據(jù)類似的想法，由于1225個位上的數(shù)是5,我們能確定丁生個位上的數(shù)是,如果只看1225的前兩

位12,而32=9,42=16,我們能確定依5十位上的數(shù)是.

【答案】53

【分析】根據(jù)題意，以題目給出的思路和方法進行推理得出答案，5的任何次方尾數(shù)均是5,則可求解①，

根據(jù)題意確定1225的平方根是兩位數(shù)，再根據(jù)3的平方和4的平方即可確定②.

【詳解】回5的任何次方尾數(shù)均是5,

01225的平方根的個位數(shù)是5,

032=9,42=16,9<12<16,

01225的平方根的十位數(shù)是3,

故答案為：5>3.

【點睛】考查了實數(shù)的意義，平方根的意義以及尾數(shù)的特征等知識，閱讀理解題目提供的解題方法是解答

本題的關(guān)鍵.

【考點6已知平方根、算術(shù)平方根或立方根，求該數(shù)】

【例6】（2022?山西臨汾?七年級期中）若正數(shù)a的兩個平方根分別是3+2和2%-5,則a的值為.

【答案】9

【分析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)可得出工的值，再根據(jù)。=（%+2）2即可解題.

【詳解】團正數(shù)。的兩個平方根分別是x+2和2%-5

av+2+Zv-5=O,

解得：x=l.

0a=（x+2/=32=9

故答案為：9.

【點睛】本題考查了平方根的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù).

【變式6-1］（2022?福建?古田縣三田中學(xué)八年級階段練習(xí)）若一個數(shù)的平方根和立方根都是它的本身，則

這個數(shù)是（）

A.0B.1C.0或1D.?；颉?

【答案】A

【分析】根據(jù)一個數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0,一個數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是-I或0或1,進行解

答即可.

【詳解】002=0,

團一個數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0,

003=0,（-1）3=-1,13=1,

團一個數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是-1或?；?,

同一個數(shù)的平方根和立方根都是它本身的數(shù)為0,

故選A.

【點睛】本題考杳平方根和立方根的性質(zhì)，牢記一個數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0,一個數(shù)的立方根是它

本身的數(shù)是?1或0或1,是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2]（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）若。的算術(shù)平方根為17.25,b的立方根為-8.69：x的平方根為

±1.725,，的立方根為86.9,則（）

A，乂=總a，y=一1000匕B.x=^a,y=100b

C.x=100a,y=^aD.x=-^a,y=-100b

【答案】A

【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義求出八〃、、的值，再找出關(guān)系即可.

x1y

【詳解】解：M的算術(shù)平方根為17.25,〃的立方根為應(yīng).69,

團。=297.5625,3656.234909.

取的平方根為±1.725,丁的立方根為86.9,

取=2.975625,"656234.909,

0%=擊a,y=-1000Z?.

故選：A.

【點睛】本題考查了對平方根、算術(shù)平方根和立方根的運用.解題的關(guān)鍵是掌握平方根、算術(shù)平方根和立

方根的定義.

【變式6-3]（2022?河南?平頂山市第三中學(xué)七年級期中）若4-2〃與%+1是同一個正數(shù)的兩個平方根.

⑴求。的值；

⑵求這個正數(shù).

【答案】（1）?=-5；

⑵這個正數(shù)為196.

【分析】(1)根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)解答即可：

(2)由。的值可求得這個正數(shù).

(1)

解：由題意得:4-2a+3a+l=0,解得°=-5,

答：。=-5；

(2)

解：當a=-S,

04-2?=4-2x(-5)=14,

團這個正數(shù)為14?=196.

【點睛】本題考杳平方根，理解平方根的定義是正確解答的前提，掌握一個正數(shù)兩個平方根的特征是正確

解答的關(guān)鍵.

【考點7利用平方根、立方根解方程】

【例7】(2022?江蘇?八年級專題練習(xí))求下列等式中的x；

(1)若％2=196,Mx=；(2)若/=?J,則％=.

(3)若/=(一5)2,則工=：(4)若(一%)2=1.21,則刀=.

【答案】±14±|±5±1.1

【分析】(1)根據(jù)平方根的定義，由(±14)2=196,可得％的值；

(2)根據(jù)平方根的定義，由(±目2=(|)2=￡可得%的值；

(3)根據(jù)平方根的定義，由(±5>=(-5)2=25,可得」的值:

(4)根據(jù)平方根的定義，由(±1.1)2=1.21,可得》的值.

【詳解】(1)0(±14)2=196

(Ux=±14

故答案為：±14

⑵％士?餒

以=±1

故答案為：±5

(3)0(±5)2=(一5產(chǎn)

0x=±5

故答案為：±5

(4)0(±1.1)2=1.21

團X=±1.1

故答案為：±1.1

【點睛】考核知識點：平方根.理解平方根的定義是關(guān)鍵.

【變式7-1](2022?黑龍江?拜泉縣第三中學(xué)七年級階段練習(xí))用學(xué)過的知識解方程

(1)8(%+I)3=-125

(2)4(%-2)2-121=0

【答案】(1比=一(

(2)%=7，x2=

【分析】(1)采用開立方的方法即可求解；

(2)采用開平方的方法即可求解.

(1)

8(%+1)3=-125

-125

(x+I)3=

3

(x+I)3=

5

x+1=--

2

(2)

4("2尸-121=0

4a—2產(chǎn)=121

(x-2)2=—

4

(%-2)2=(y)

11

x-2=±—

11

x=2±-

乙

即均=7*%2=

即方程的解為:X]若,%2=l

【點睛】本題考查了利用開立方和開平方的方法求解方程，掌握開平方和開立方的知識是解答本題的關(guān)鍵.

【變式7-2】(2022?黑龍江鶴崗?七年級期末)5+V7TT=3.

【答案】-9

【分析】先將5移到等式右邊，與3合并，兩邊再立方，即可求出x的值.

【洋解】解：5+vm=3

y/x+1=-2

x+l=-8

x=-9

【點睛】本題考查了關(guān)于立方根的方程，熟練掌握立方根的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2022?湖北?監(jiān)利市玉沙初級中學(xué)七年級階段練習(xí))解方程：

(l)x3+27=0：

(2)16(%-2『-9=0.

【答案】⑴％=—3

⑵彳=芳或%=；

【分析】(1)根據(jù)求立方根的方法解方程即可;

(2)根據(jù)求平方根的方法解方程即可.

(1)

解：以3+27=0,

0X3=-27,

0%=—3；

(2)

解：016(%-2)2-9=0,

016(x-2)=9,

限-2)2=3

0x-2=±-4,

0X=?或X=

44

【點睛】本題主要考查了利用求平方根、求立方根的方法解方程，熟知求平方根和立方根的方法是解題的

關(guān)鍵.

【考點8己知平方根、算術(shù)平方根、立方根求參數(shù)】

【例8】2022?吉林四平?七年級期中)已知2a-1的平方根是±3,a+3b-1的算術(shù)平方根是4.

(1)求人%的值；

⑵求ab+5的平方根.

【答案】(l)a=5,方=4；

(2)±5.

【分析】(1)根據(jù)平方根，算術(shù)平方根的定義，求解即可；

(2)根據(jù)平方根定義，求解即可.

⑴

解：回2a-1的平方根是±3,a+3b-1的算術(shù)平方根是4.

02a-1=9,a+3b-l=16,解得a=5,b=4.

(2)

解：當a=5,Q4時，"+5=25，而25的平方根為±而=二5,

即，必+5的平方根是±5.

【點睛】此題主要考查平方根和算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟知平方根，算術(shù)平方根的定義.

【變式8-1](2022?福建廈門?七年級期中)已知Q2=81,VF=-2,則怎7.

【答案】1

【分析】利用平方根和立方根的意義求得a,b的值，將a,b的值代入利用算術(shù)平方根的意義計算即可.

【詳解】解:0a2=81,

團Q=±9,

回時=-2,

助=-8,

0b-a>0,

0a=-9,b=-8,

團辦一a=y/1=1.

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了平方根、立方根和算術(shù)平方根的意義，根據(jù)題意正確確定字母的值是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2]（2022?四川?自貢市田家炳中學(xué)七年級期中）已知k2的平方根土3,Zr+"7的立方根是3,試

求7%-3y的立方根.

【答案】V31

【分析】首先根據(jù)平方根和立方根的定義求出-y的值，再把小y的值代入要求的式子，然后根據(jù)立方根

的定義即可得出答案.

【洋解】由題得：比二巴一

解蹴二

田y7工-3y=V7X7-3x6=V31

【點睛】此題主要考查了求一個數(shù)的立方根和平方根的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解立方根和平方根的定

義.

【變式8-3]（2022?江西?上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)七年級期中）已知2a-1的算術(shù)平方根是g,3Q+6-1的

立方根是3.

（1）求a,。的值；

（2）求a+b的平方根.

【答窠】（l）a=9,b=l

（2）±V10

【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義進行求解:

（2）由（1）將a,8的值代入求解即可.

(1)

解：回2a-1的算術(shù)平方根是g,3a+b-l的立方根是3,

02G-1=17,3Q+"1=27,

團a=9,b=l.

(2)

解：由(1)知a=9,b=l,

（3Q+6=9+1=10,

加+b的平方根是±6不.

【點睛】本題考查實數(shù)的應(yīng)用，準確地理解算術(shù)平方根，立方根和平方根的定義是解決問題的關(guān)健.

【考點9平方根、算術(shù)平方根、立方根的實際應(yīng)用】

【例9】（2022?山西呂梁?七年級期末）如圖，在數(shù)學(xué)活動課上，小穎制作了一個表面積為30cm2的無?蓋?正

方體紙盒，這個正方體紙盒的棱長是（）

C.VlOcmD.V30cm

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得：這個正方體紙盒的每個面的面枳為30+5=6cm2,再根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，即可

求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：這個正方體紙盒的每個面的面積為30+5=6cm?,

回這個正方體紙盒的棱長是否cm.

故選：B

【點睛】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1］（2022?安徽?潛山市羅漢初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）交通警察通常根據(jù)剎車時后車輪滑過的距

離住計車輛行駛的速度.在某高速公路上，常用的計算公式是廿=256?/+1）,其中v表示車速（單位；

km/h）,d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：m）,/表示摩擦系數(shù)，/=1.25.在調(diào)查這條高速公路的一

次交通事故中，測得d=19.2m,求肇事汽車的速度大約是多少.

【答案】肇事汽車的速度大約是80km/h

【分析】將d,/的值代入公式計算出戶的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案.

【詳解】解：當f=L25,d=19.2時,

v2=256（df4-1）=256x（19.2x1.25+1）=6400,

0v=76400=80.

答：肇事汽車的速度大約是80km/h.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義.

【變式9-2］（2022?福建福州?七年級期末）某學(xué)校有一塊長、寬分別為38m和16m的長方形空地，計劃沿

邊建造一個長寬之比為5:3且面積為540m2的長方形標準籃球場，請判斷該學(xué)校能否用這塊長方形空地建造

符合要求的籃球場？并說明理由.

【答案】不能，理由見解析

【分析】通過用同一未知數(shù)表示由籃球場的長和寬，列方程進行求解.

【詳解】解：不能，理由如下：

設(shè)長方形標準籃球場的長為5皿〃.寬為3x〃i,

由題意得：5.VX3X=540,

解得：x=-6（舍去）或6,

即長方形標準籃球場的長為30,〃，寬為18”

012/〃>16/〃，

回該學(xué)校不能用這塊長方形空地建造符合要求的籃球場.

【點睛】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確得出x的值是解題的關(guān)鍵.

【變式9-3］（2022?新疆?烏魯木齊市第九中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，有一個長方體的水池長、寬、高之

比為2：2：4,其體積為160005）3.

⑴求長方體的水池長、寬、高為多少？

⑵當有?個半徑為，?的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的白，求該小球的半徑為

60

多少（TX取3,結(jié)果精確到0.01cm）?

【答案】（1）長方體的水池長、寬、高為：20cm,20cm,40cm：

⑵該小球的半徑為4.05cm.

【分析】（1）設(shè)長方體的水池長、寬、高為2工，2x,4.v,根據(jù)長方體體積公式列方程，根據(jù)立方根定義即

可求解，問題得解；

（2）設(shè)該小球的半徑為rem,根據(jù)溢出水池外的水的體積為水池體積的之列方程，解方程即可求解.

60

（1）

解：回有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4,其體積為16000cm3,

回設(shè)長方體的水池長、寬、高為2心4X,

02A?2A?4.r=16000,

016.？=16000,

SAJ=1000,

解得：x=10,

回長方體的水池長、寬、高為：20cm,20cm,40cm；

（2）

解：設(shè)該小球的半徑為/rm,

由題意得-nr3=—xl6000,

360

0?=—xl6000x-,

604

加4.05,

答：該小球的半徑為4.05cm.

【點睛】本題考查了立方根的應(yīng)用，熟知立方根的意義，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵.

【考點9實數(shù)、無理數(shù)的概念】

【例9】（2022?山東青島?八年級期中）下列各數(shù)1.414,V36,20n,瓜8.181181118…按規(guī)律排列），

3.1415926中是無理數(shù)的有（）個.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義逐個判定即可.

【詳解】解；1.414,3.141592G,是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；回=G,是整數(shù)，屬于有理數(shù)；

:是分數(shù)，屬于有理數(shù)；無理數(shù)有20兀，瓜8.181181118…按規(guī)律排列）共3個.

故選A.

【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).

【變式9-1］（2022?福建?晉江市南僑中學(xué)八年級階段練習(xí)）關(guān)于“g〃，下列說法不正確的是（）

A.它是一個無理數(shù)B.它可以用數(shù)軸上的一個點表示

C.它可以表示面積為19的正方形的邊長D.它不是實數(shù)

【答案】D

【分析】分別根據(jù)無理數(shù)的定義、數(shù)軸的意義、正方形面積公式，實數(shù)的分類判斷即可.

【詳解】解：A、內(nèi)是一個無理數(shù)，說法正確，故此選項不合題意；

B、g可以用數(shù)軸上的一個點來表示，說法正確，故此選項不合題意；

C、g可以表示面積為19的正方形的邊長，利用正方形的面積公式S=Q2可以驗證此說法正確，故選項c

不合題意；

D.同是一個無理數(shù)，自然也是實數(shù)，說法不正確，故此選項符合題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義、數(shù)軸的意義，正方形面積公式，實數(shù)的分類，掌握相關(guān)概念是解

題的關(guān)鍵.

【變式9-2］（2022?黑龍江齊齊哈爾?七年級期中）設(shè)〃?為大于1且小于100的整數(shù)，則〃?的平方根中，屬

于無理數(shù)的個數(shù)有（）

A.92個B.180個C.182個D.184個

【答案】B

【分析】1至100之間，除去完全平方數(shù)，余下的數(shù)字的平方根均為無理數(shù).

【詳解】1至100之間（不含1和100）共計有98個數(shù)，完全平方數(shù)有4、9、16、25、36、49、64、81,

共計8個數(shù)，

則余下的數(shù)有98-8=90個數(shù)，

則m可以取的數(shù)有90個，

這90個數(shù)的平方根有180個，且都是無理數(shù)，

故選:B.

【點睛】本題考查了無理數(shù)以及平方根的知識.無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)，找到〃?可以取值的個數(shù)是解

答本題的關(guān)鍵.

【變式9-3](2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級)把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里.

-|-5|,|-||,0,-3.14,y,+1.99,-(-6),2TT,-12.101001…(每兩個1之間。的個數(shù)依次增加1)

⑴負數(shù)集合：｛...):

⑵非負整數(shù)集合：｛

⑶分數(shù)集合：｛...｝;

⑷無埋數(shù)集合：｛

【答案】⑴一|一5|,-3.14,-12.101001…(每兩個1之間。的個數(shù)依次增加1)

⑵0,-(-6)

(3)卜翡一3.143,1.99

⑷2%一12.101001…

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類進行判斷即可，有理數(shù)包括：整數(shù)(正整數(shù)、。和負整數(shù))和分數(shù)(正分數(shù)和負分

數(shù))，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，即可求解.

(1)

解住-|-5|=-5,|-||=1,-(-6)=6,

負數(shù)集合：｛一|一5|,-3.14,-12.101001…(每兩個1之間0的個數(shù)依次增加1)...｝；

(2)

解31-|-5|=-5,|-||=|,-(-6)=6,

非負整數(shù)集合：{0,-(一6)...}

(3)

解泛-|-5|=-5,|-||=|,-(-6)=6,

分數(shù)集合:｛卜1-3.14,手,1.99...｝：

(4)

解我—|—5|=—5,—|=',-(-6)=6,

無理數(shù)集合：｛271,-12.101001-(每兩個1之間。的個數(shù)依次增加1)...)

【點睛】本題考查了實數(shù)的分類，認真掌握正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、負有理數(shù)、非負數(shù)的定

義與特點，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【考點10實數(shù)的大小比較】

【例10]（2022?安徽合肥?七年級期末）下列四個數(shù)中最小的實數(shù)是（）

A.0B.—nC.-2D.-3

【答案】B

【分析】根據(jù)實數(shù)的大小比較法則：正數(shù)>0>負數(shù)；然后根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可

得到答案.

【詳解】解:團正數(shù)>0>負數(shù)，

回較小的三個數(shù)為：一兀、-2、-3,

（21|-2|<|-3|<|-7r|,

團最小的數(shù)是-7T.

故選：B.

【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題，掌握實數(shù)大小比較的法則是關(guān)鍵.

【變式10-1]（2022?福建福州?七年級期中）比較大?。篤376.（用">"或連接）

【答案】>

【分析】根據(jù)6=V36<同進行判斷得到答案.

【詳解】06=^6<V37

（21V37>6

故答案為：>.

【點睛】本題考查實數(shù)大小的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的相關(guān)知識.

【變式10-2]（2022?湖北?測試?編輯教研五八年級階段練習(xí)）四個實數(shù)一2,0,1,企中最大的實數(shù)是（）

A.-2B.0C.1D.V2

【答案】D

【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，再估算出企的值即可判斷出最大的實數(shù).

【詳解】W：vl<2<4,

1<V2<2,

在四個實數(shù)一2,0,1,企中，

???V2>1>0>-2,

???最大的數(shù)是：V2,

故選:D.

【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，準確估算出血的值是解題的關(guān)鍵.

【變式10-3】（2022?遼寧阜新?八年級期末）比較大?。寒擾____”填">〃"V"或"=〃）.

24

【答案】V

【分析】將兩數(shù)分別平方后，再比較大小即可.

【洋解】解：畔>0,;>0,

嶗"合備d

釁）2<（滬

解V三.

24

故答案為：<.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，實數(shù)的大小比較，熟練掌握平方運算比較大小是解題的關(guān)鍵.

【考點11實數(shù)與數(shù)軸】

【例II】（2022?廣東韶關(guān)實驗中學(xué)九年級期中）己知實數(shù)小匕在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中正

確的是（）

II??11A

-2-1（）b1

A.a>bB.\a\<\b\C.ab>0D.-a>b

【答案】D

【分析】由數(shù)軸上點的位置可知a<0<b,|a|>|b|,據(jù)此逐一判斷即可.

【詳解】解：由數(shù)軸上點的位置可知aVOVb，|a|>依，

0ab<0,-a>b,

（3四個選項中只有D選項正確，

故選D.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，正確根據(jù)數(shù)軸得到a<0<b,|a|>聞是解題的關(guān)鍵.

【變式11?1】（2022?內(nèi)蒙古?烏海市第二中學(xué)七年級期中）如圖，在數(shù)軸上表示-1,-&的對應(yīng)點為A,B,

若點A是線段3C的中點，則點C表示的數(shù)為.

【答案】夜-2##-2十y/2

【分析】設(shè)C表示的數(shù)是x,根據(jù)A是線段4c的中點，列出算式，求出x的值即可.

【詳解】解：設(shè)C表示的數(shù)是居

團4是8C中點，

MB=AC,

即《—（―1）=—1—（―V2）>

故答案為：V2-2.

【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸、線段的中點.解題的關(guān)鍵是理解線段中點的含義.

【變式11-2】（2022?安徽?蕪湖市第二十九中學(xué)七年級期中）如圖，己知直徑為1個單位長度的圓形紙片上

的點A與數(shù)軸上表示.1的點重合，若將該圓形紙片沿數(shù)軸滾動一周（無滑動）后點A與數(shù)軸上的點4重合,

【答案】Tr-lnJc-n-1

【分析】計算圓的周長為m分4,在-1的左邊與右邊兩種情形討論即可求解.

【詳解】解：團圓的周長為7TXl=7r,

根據(jù)題意，點H表示的數(shù)為一1+n■或一1一小

故答案為：-1+萬或一1一萬.

【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，理解題意，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式11-3】（2022?湖南?八年級單元測試）若實數(shù)a的位置如圖所示，則a、-a、工、a2,的大小關(guān)系是

a------

（用〈號連接）

■■■1?

-1a01

【答案】VQ2<-Q

【分析】根據(jù)實數(shù)a在數(shù)軸上的位置將-a，二小表示在數(shù)軸上，比較大小即可.

a

【詳解】解：???一1VQV0

0<-a<1

又,QHO兩邊同時乘以-Q

???a2<-a

va>—1,a主0兩邊同時除以-Q

1

???-1>-

a

綜上所述：-<a<a2<-a

a

故答案為：-<a<a2<-a.

a

【點睛】本題考查了求一個實數(shù)的相反數(shù)，倒數(shù)，實數(shù)大小的比較，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【考點12程序框圖中的實數(shù)運算】

【例12】（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖是?個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法

正確的是（）

A.輸入值”為16時，輸出y值為4

B.輸入任意整數(shù)，都能輸出一個無理數(shù)

C.輸出值y為百時，輸入值》為9

D.存在正整數(shù)，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值

【答案】D

【分析】根據(jù)運算規(guī)則即可求解.

【詳解】解回A.輸入值x為16時，亞％=4,V4=2,即盧VL故A錯誤；

B.當工=0,1時，始終輸不出），值.因為0,1的算術(shù)平方根是0，1,一定是有理數(shù)，故B錯誤;

C.x的值不唯一.m3或片9或81等，故C錯誤；

D.當x=l時，始終輸不出y值.因為1的算術(shù)平方根是1,一定是有理數(shù)：故D正確；

故選（3D.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根及無理數(shù)的概念，正確理解給出的運算方法是關(guān)鍵.

【變式12-1】（2022?福建廈門?七年級期中）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面

說法：

輸入x

取算術(shù)平方根

輸出y

①當輸出值），為或時，輸入值x為2或4；

②當輸入值x為9時，輸出值），為百；

③對于任意的正無理數(shù)y,都存在正整數(shù)x,使得輸入x后能夠輸出），；

④存在這樣的正整數(shù)-輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值.

其中正確的是.

【答案】②④##④②

【分析】根據(jù)流程圖逆向分析即可判斷①，把x=9代入流程圖判斷②；通過特殊值法排除③；當卡1時判

斷④.

【詳解】解：①?當》=16時，V16=4,"=2,2取算術(shù)平方根為a，輸出值y為a，則輸入值x為2

或4或16等，故①不符合題意；

②6=3,3取算術(shù)平方根為百，輸出值y為故②符合題意；

③如時，/是正無理數(shù)不是正整數(shù)，輸出值y為乃是正無理數(shù)，故③不符合題意；

④當