專題122 全等三角形的判定【八大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題12.2全等三角形的判定【八大題型】

【人教版】

【題型1全等三角形的判定條件】.................................................錯誤!未定義書簽。

【題型2證明兩個三角形全等】..................................................錯誤!未定義書簽。

【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】................................錯誤!未定義書簽。

【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】....................................錯誤!未定義書簽。

【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】....................................錯誤!未定義書簽。

【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】........................錯誤!未定義書簽。

【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】........................錯誤!未定義書簽。

【題型8全等三角形的應(yīng)用】.....................................................錯誤!未定義書簽。

"片產(chǎn)-玄三

￡知識點(diǎn)全等圖形的判定】

判定方法解釋圖形

邊邊邊

三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

（SSS）

邊角邊兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個

（SAS）三角形全等

角邊角兩角和它們的央邊對應(yīng)相等的兩個

（ASA）三角形全等

角角邊兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相

（AAS）等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個

（HL）直角三角形全等44

【題型1全等三角形的判定條件】

【例1】（2022春?順德區(qū)期末）如圖，/4=/。=90°,給出下列條件：①人B=OC,@OB=OC,③/

ABC=ZDCB,?ZABO=ZDCO,從中添加一個條件后,能證明△人的是（）

AD

O

BC

A.①②③B.②?④C.①②④D.①?④

【分析】由題意可得NA=NO=9()°,BC=BC,即有一組對應(yīng)角相等，一組對應(yīng)邊相等，結(jié)合全等三

角形的判定條件進(jìn)行分析即可.

【解答】解：VZA=ZD=90°,BC=BC,

???①當(dāng)4B=OC時，由“L可得△ABCgZXOCB,故①符合題意；

②當(dāng)。8=0C時，可得NBC0=NC80,利用AAS可得△ABCgAOCB,故②符合題意；

③當(dāng)N4BC=NOCB時，利用/US可得△ABCgZ\OCB,故③符合題意；

④當(dāng)/ABO=N/)CO時，不能得故④不符合題意；

故符合題意的有①@?.

故選：A.

【變式1?1】(2021秋?廬陽區(qū)期末)如圖，點(diǎn)從E在線段C。上，若NA=NDEF,則添加下列條件，不

一定能使的是()

A.NC=N。，AC=DEB.BC=DF,AC=DE

C.NABC=NDFE,AC=DED.AC=DE,AB=EF

【分析】利用三角形全等的判定方法進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A、添加/C=N。，AC=OE可利用ASA判定△ABCg/kE"),故此選項(xiàng)不合題意；

B、添加8C=FD,AC=￡。不能判定△A8Cg/\￡FO,故此選項(xiàng)符合題意：

。、添加乙4BC=N。尸E,4C=OE可利用A4S判定△ABCgZ\EF7),故此選項(xiàng)不合題意；

D、添力口AC=QE,AB=EP可利用S4S判定△ABCgZ^E/7。，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

【變式1-2](2021秋?源匯區(qū)校級期末)如圖，已知Nl=/2,AC=AD,增加下列條件之一：?AB=AEx

②BC=ED；③NC=NQ；?ZB=ZE.其中能使△ABCgZXAE。的條件有()

A.I個B.2個C.3個D.4個

【分析】先由N1=N2得到NC44=NO4￡,然后分別利用“SAS”、“4SA”和“A4S”對各添加的條

件進(jìn)行判斷.

【解答】解：???N1=N2,

：.ZCAB=ZDAE,

'：AC=AD,

???當(dāng)時，可根據(jù)“SAS”判斷△48Cg/\AEZ）；

當(dāng)BC=K。時，不能判斷△ABCg/XA石。；

當(dāng)NC=N。時，可根據(jù)“人S4”判斷△入BCgZ\AE。；

當(dāng)N3=N￡時，可根據(jù)“A4S”判斷

故選：C.

【變式1-3］（2022秋?佳木斯期末）在△AUC和△。￡“中，其中NC=ZP,則下列條件：①AC=Z）「，Z

A=ZD；?AC=DF,BC=EF；③NA=NO,ZB=ZE；?AB=DE,ZB=ZE；?AC=DF,AB=

DE.其中能夠判定這兩個三角形全等的是（）

A.①②④B.⑤C.②③④D.??⑤

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,如果是兩個直角三角形，除了前面四種方

法以外，還可以用HL來判定.

【解答】解：①AC=O"，ZA=ZD,再加上已知NC=NE符合ASA,故符合題意；

@AC=DF,BC=EF,再加上己知NC=NF,符合SAS,故符合題意；

?ZA=ZD,NB=NE,再加上已知NC=NA不能判定兩個三角形全等，故不符合題意；

④AB=DE,NB=NE,再加上已知NC=NF,符合/L4S,故符合題意；

⑤4C=DF,AB=DE,再加上已知NC=NF,不能判定兩個三角形全等，故不符合題意；

故選：A.

【題型2證明兩個三角形全等】

【例2】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)4,E,F,3在同一直線上，CELAB,DFA.AB,垂足分別

為E,F,AE=BF,NA=NB,求證：△ADF9XBCE.

:.△ABC4/XEAO(AAS).

【變式2-2](2()21秋?信州區(qū)校級期中)如圖，在△A8C中，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作8七

J_AO于點(diǎn)E,C凡LA。交40的延長線于點(diǎn)F,求證：△BDE@BCDF.

【分析】由“44S”可證△BOEgZXCDF.

【解答】證明：'：BE1AD,CF1AD,

；?NBED=NCFD=90",

?:前D是BC的中點(diǎn)，

：?BD=CD,

在△BOE和△0/)尸中，

“BED=Z.CFD

\^BDE=^.CDF,

\BD=CD

:?△BDE學(xué)ACDF(AAS).

【變式2-3](2022?河源模擬)如圖，在四邊形48CO中，AQ/8C,點(diǎn)M為對,角線AC上一點(diǎn)，連接8W,

若4C=3C,/AMB=NBCD,求證：AADgACMB.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出ND4C=NMCB,求出NCBM=NACO,根據(jù)全等三角形的判定定理求

出即可.

【解答】證明：???AO〃8C,

：.ZDAC=ZMCB,

?；NAMB=NBCD,ZCBM+ZACB=ZAMB,NACB+NACD=NBCD,

：.ZCBM=ZACD,

在△AQC和中，

(Z.ACD=乙CBM

\AC=BC,

<Z.DAC=乙MCB

二.△AOCdCMB(ASA).

【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】

【例3】（2022春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，己知OE=OF,NB=NC,求證：AB=CD.

【分析】首先根據(jù)全等三角形的判定定理4s4推知△AOEgZWOFJUJOB=OC；然后再根據(jù)全等三角

形的判定定理ASA證得△AOBgZXQOC,貝ljAB=CD.

【解答】證明：如圖，..?AE〃DF,

???NAEO=ZDFO.

在aAOE與△O。/中，

(LAE0=Z.DF0

\0E=OF

[/.AOE=Z.DOF

：./\AOE^/SDOF(ASA).

.??OD=OA.

在△AOB與△OOC中，

(/.AOB=乙DOC

\0D=OA

4=Z.C

.?.△AO的△QOC(ASA).

：.AB=CD.

【變式3-1]（2021春?橫山區(qū)期中）如圖,AB=BC,ZBAD=ZBCD=90°，點(diǎn)D是EF上一點(diǎn),AE1.

EF于E,CFVEF^rF,AE=CF,連接8D,求證：RtAADE^RtACDF.

B

【分析】由直角三角形全等的判定定理證得RtAABD^RtACBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AD=CD,再由直角三角形全等的”判定定理即可證得RtA4O/0RtZ\CQR

【解答】證明：*：ZBAD=ZBCD=9()°,

在RtAABD和RtAC5D中，

\BD=BD

=BC'

/.RtAA^^RlAC^(HL).

：,AD=CD,

???4E_L￡：尸于E,CF上EF于F,

???/￡=Nb=90°,

在RtAADE和RtZXC。尸中，

\AD=CD

UE=CF

ARtAADE^RtACDF(HL).

【變式3-2](2021秋?石阡縣期末)如圖，AB=AC,E、。分別是AB、4c的中點(diǎn)，4凡L8。，垂足為點(diǎn)F,

AG1CE,垂足為點(diǎn)G,試判斷A尸與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】結(jié)論：AF=AG.先證明(SAS),推出/ABO=NACE,再證明△A8尸2ZVICG

(AAS)即可解決問題.

【解答】解：結(jié)論：AF=AG.

理由：???/18=4。，E、力分別是AB、AC的中點(diǎn)，

：.AD=^AC=^AB=AE,

在△48。和△/1(；￡：中，

AB=AC

Z-BAD=Z,CAE>

AD=AE

.??△AB。0△ACE(SAS),

???ZABD=ZACE,

'：AFLBD,AGLCE,

AZAFB=ZAGC=9^.

在△A8F和aACG中，

Z.ABF=LACG

^AFB=LACG,

AB=AC

：.AABF^AACG(AAS),

：.AF=AG.

【變式3-3](2021秋?沂源縣期末)如圖，AD=AC,AB=AE.ZDAB=/CAE.

(1)△AOE與△ACB全等嗎？說明理由；

(2)判斷線段OF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)由ND4B=NCAE得出/D4E=NCAB,再根據(jù)S4S判斷△AQE與aACB全等即可；

(2)由△408與△4(?￡：全等得出。B=EC,NFDB=NFCE,判斷△OB尸與△FC尸全等，最后利用全

等三角形的性質(zhì)可得.

【解答】解：(1)全等，理由如下：

*：ZDA13=ZCAE,

：.ZDAE=ZCAB,

在△4?！昱c44。8中

AD=AC

Z-DAE=乙CAB

AB=AE

:.XAO3XXCB(SAS)

(2)DF=CF,理由如下:

在△AO4與AACE中

AD=AC

Z.DAB=Z-CAEf

AB=AE

:.XADBQXACE(SAS),

NDBA=/CEA,

，ZABC=ZAED,

:"DBF=/CEF,

在aOB/與△（?￡：尸中

&DFB=乙CFE

乙DBF=乙CEF，

DB=EC

:ADB乂4CEF（AAS）,

：,DF=CF.

【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】

[ft4]（2022秋?孟津縣期末）如圖，BM,CN分別是鈍角。的高，點(diǎn)Q是射線CN上的點(diǎn)，點(diǎn)P在

線段8M上，且8P=AC,CQ=AB,請問AP與4Q有什么樣的關(guān)系？請說明理由.

Q

【分析】根據(jù)同角的余角相等得出N44P=NACQ,即可利用SAS證明△AC。絲△HM,再根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)即可得解..

【解答】解：AP=AQ且AP_LAQ.

理由如下：

VBM1AC,CN1AB,

???NABP+N84M=90°,NACQ+NC4N=90°.

NABP=NACQ.

在△ACQ和△P84中，

AC=PB,

Z-ACQ="BA,

[QC=AB,

???△ACQdPRA(SAS).

：.AP=AQ,NQ=N%8.

???/Q+NNAQ=90°.

：.ZPAB+ZNAQ=90°.

???NQAP=90°.

：.APLAQ.

即AP=4。，APLAQ.

【變式4-1］（2022春?金牛區(qū)校級期中）如圖：在△ABC中，BE、。尸分別是AC、4B兩邊上的高，在BE

上截取BD=AC,在C尸的延長線上截取CG=/1A,連結(jié)40、AG.

（1）求證：ZABE=ZACG；

（2）試判：4G與4。的關(guān)系？并說明理由.

【分析】(1)易證/，/8=/〃月。=90°,又4BHF=/CHE，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

(2)先證△ABOg^GCA(SAS),得出人O=G4,NADB=NGAC,再由NAD8=NAED+NDAE,Z

GAC=ZGAD+ZDAE,則NAEQ=NG4O=90。，即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：'CBELAC,CFA,AB,

:./HFB=NHEC=90",

，NA8E=90°-ZBHF,ZACG=90<>?/CHE,

?：4BHF=/CHE,

???ZABE=NACG；

(2)解：4G與AO的關(guān)系為：AG=AD,AG1AD,理由如下：

'CBELAC,

；?NAEQ=90°,

由(1)得：ZABD=ZACG,

在△A3。和△GCA中，

AB=CG

Z.ABD=Z-ACG>

BD=AC

0/XGCA(SAS),

：,AD=GA,ZADB=ZGAC,

又,:ZADB=ZAED+ZDAE,ZGAC=ZGAD+ZDAE,

：.ZAED=ZGAD=90a,

???AQ_LGA.

【變式4-2](2021春?亭湖區(qū)校級期末)如圖，△ABC中，CDA.AB,垂足為DBE1AC,垂足為G,AB

=CF,BE=AC.

(1)求證：AE=AF；

(2)AE與A/有何位置關(guān)系.請說明理由.

【分析】（1）利用S4S證明△AEBgZSRC可證明結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得/E=NC4F,由余角的定義可求得NE4尸的度數(shù)即可得解.

【解答】（1）證明：VCD±/i?,BE1.AC,

：.ZADC=ZAGB=9OQ,

AZCAD+ZACD=ZCAD+ZEBA=（）（r,

，ZACD=ZEBA,

在△人仍和△川。中，

AB=CF

/.EBA=LACF，

<BE=AC

/.AAE^AMC（SAS）,

：.AE=AF；

（2）解：AELAF,理由如下：

由（1）知△AEBg△布C,

：,ZE=ZCAF,

BELAC,垂足為G,

.??N4GE=90°，

???/￡+NE4G=90°，

：.ZCAF+ZEAG=90°,

即NE4F=90°,

：.AELAF.

【變式4-3]（2021春?泰興市期末）如圖，在銳角△ABC中，A￡>_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在4。上，DE=DC,

BQ=A。，點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，連接E/并延長至點(diǎn)M,使尸〃=￡尸，連接CM.

（1）求證：BE=AC；

（2）試判斷線段AC與線段的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)S4S證明△BDEg/XAQC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；

（2）根據(jù)S4S證明△??五E0ACFM,得到NCBE=NBCM,BE=MC,由（1）得NC8E=/G4。，BE

=AC,即得AC=MC,再利用直角三角形的兩銳角互余得出AC_LMC.

【解答】（1）證明；???4OJ_BC,

：,ZBDE=ZADC=90（,,

在與△AQC中，

DE=DC

乙BDE=Z.ADC，

BD=AD

：,^BDE^/\ADC（SAS）,

:,BE=AC；

（2）解：ACJ_MC且AC=MC,理由如下：

???尸為BC中點(diǎn),

:,BF=CF,

在ZiB尸E與△CFM中,

BF=CF

乙BFE=乙CFM，

EF=FM

:ABFEmACFM(SAS)，

：,ZCBE=ZBCM,BE=MC，

由(1)得：ZCBE=ZCAD,BE=AC,

???NCAO=N8CM,AC=MC,

ZCAD+ZACD=90°，

:?/BCM+/ACD=90°,

即NACM=90°，

r.AC.LMC,

?MCLMC且AC=MC.

【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】

【例5】（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，RtZXABC中，ZBAC=90°,AO_L8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作A尸

〃BC且AF=AO,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)且4E=4B,連接E尸，DE.連接FD交BE于點(diǎn)G.下列結(jié)論中正

確的有（）個.

①NME=NDAB；②BD=EF；③尸。平分NAPE；④S四邊形ABOE=S四邊形ADEF；?BG=GE.

A.2B.3C.4D.5

【分析】由“SAS”可證r，利用全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解.

【解答】解：???ADJ_8C,AF/7BC,

：.AFLADt

AZMD=90°=NBAC,

：.ZFAE=ZBADt故①正確；

在△AB。和aAEr中，

AB=AE

乙BAD=LEAF>

AD=AF

.?.△ABO色(SAS),

:.BD=EF,NAQ4=NA〃E=90",故②正確:

\*AF=AD,ZDAF=90°,

AZAFD=45°=/EFD,

?。平分乙4/E,故③正確；

,?△ABOgZSAE尸，

SMBD=SAAEF,

S四邊影A8OE=S四邊形ADEF,故④正確：

如圖，過點(diǎn)E作￡N_L￡R交。產(chǎn)于M

:?/FEN=90°,

：.ZEFN=ZENF=45°,

:?EF=EN=BD,/END=/BDF=135°,

在△BGD和AEGN中，

ZBDG=乙ENG

乙BGD=乙EGN,

BD=NE

:?△BDG94ENG(AAS),

：?BG=GE,故⑤正確，

故選：D.

【變式5-1]（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，在△A8C中，BD、CE分別是248C和/AC8的平分線，AM

_LCE于P,交BC于M,AN_L8。于Q,交8c于MZBAC=\\0°,A8=6,AC=5,MN=2,結(jié)論：

①AP=MP；②BC=9；③/MAN=30°；?AM=AN.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】證明AACPg△MCP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=MP,判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得至|JCM=AC=5,BN=AB=6,結(jié)合圖形計(jì)算，判斷②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷③；根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)判斷④.

【解答】解：??<￡是NAC8的平分線,

/.NACP=NNCP,

在△ACP和△MCP中，

/.ACP=乙MCP

CP=CP,

Z.CPA=Z.CPM=90°

???△ACPg/XMCP(ASA),

：.AP=MP,①結(jié)論正確；

,/△卜3壁△MCP、

???CM=AC=5,

同理可得：BN=AB=6,

：.BC=BN+CM-MN=5+6-2=9,②結(jié)論正確；

VZZ?AC=110°,

???NMAC+NBAN-NM4N=110°,

由①知：NCM4=NC4M,NBNA=NBAN,

在△AMN中，NCMA+/8NA=180°-ZMAN=ZBAN+ZMAC,

1800-ZMAN-ZMAN=\\0Q,

???/MAN=35°,③結(jié)論錯誤；

④當(dāng)NAMN=N4NM時，AM=AN,

?；A8=6WAC=5

???N48CW/AC8,

工/AMNW/ANM,則AM與4N不相等，④結(jié)論錯誤；

故選：C.

【變式5-2](2021春?錦州期末；如圖，在△AOB和△CO。中，OA=OB,OC=OD(OA<OC),N4OB

=ZCOD=a,直線AC,BD交千點(diǎn)、M,連接OM.下列結(jié)-侖：?AC=BD,②NOAM=/OBM,③N

4MB=a,④OM平分N8OC,其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】由SAS證明△AOC且△30。得出NOAM=NO3M,AC=BD,①②正確：

由全等三角形的性質(zhì)得出NO4C=NOBO,由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOBD=ZOAC+ZAOB,

得出NAM8=NA08=a,③正確：

作。G_LAM于G,OH_LOM于"，則NOG4=NO”B=90",即可判定△OAG名△08”，得出OG=

OH,由角平分線的判定方法得NAMO=NOM。，假設(shè)OM平分NBOC,則可求出NA0M=NOOM,由

全等三角形的判定定理可得△AMOgZXOM。，得AO=O。，而。。=0。，所以O(shè)A=OC,而04Voe

故④錯誤；即可得出結(jié)論.

【解答】解：???NA08=NCOO=a,

/.ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即ZAOC=ZBOD,

在△AOC和△40。中，

OA=OB

Z-AOC=/-BOD，

[OC=OD

:?△AOCQABOD(SAS),

：?/OAC=NOBD,AC=BD,

即/0AM=N08M,

故①②正確；0

由三角形的外角性質(zhì)得：，

/AMB+NOBD=ZOAC+ZAOB,

?：40AC=40BD,

???NAMB=NA08=(x,

故③正確;

作OGJ_AM于G,OHLDM于H,如圖所示,

則NOGA=NO”8=9()°,

在△O4G和△04”中,

Z.OGA=乙OHB

Z.OAC=乙OBD

OA=0B

:.△OAG//\OBHCAAS),

：?OG=OH,

■:△AOg^BOD,

:.OG=OH,

???M0平分NAM。，

???ZAMO=/DMO,

假設(shè)OM平分NBOC,則N80M=NC0M,

,/NAOB=NCO。，

NAOB+NBOM=ZCOD+ZCOM,

即ZAOM=ZDOM,

在△AMO與△QMO中，

Z.AOM=乙DOM

OM=OM，

【乙AMO=4DMO

:.XAMOmXDMO（ASA）,

：.OA=OD,

:OC=OD,

：,OA=OC,

而。4VoC,故④錯誤；

正確的個數(shù)有3個；

故選：B.

【變式5-3］（2021春?江北區(qū)校級期末）如圖，已知AB=AC,點(diǎn)。、E分別在AC、A8上且AE=A。，連

接EC,BD,EC交BD于■點(diǎn)、M,連接4M,過點(diǎn)A分別作4F_LCE,AGYBD,垂足分別為F、G,下列

結(jié)論：①②NEM8=N%G；③MA平分NEMO；④若點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，則BM+4C

>EM+BD；⑤如果SAMM=S,”O(jiān)M則E是AB的中點(diǎn)；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】①先證明△A3。0△/(上得出N8=NC,即可證明且△OCM,即可判斷①；

②根據(jù)垂直的定義和四邊形的內(nèi)角和可得結(jié)論，即可判斷②；

③證明△AEMgZLADM,得NAM￡=NAMD,即可判斷③；

④如圖，延長CE至N,使EN=￡M,連接AN,BN,證明△AEN絲△8￡M(SAS),得AN=BM,根據(jù)

三角形三邊關(guān)系可判斷④；

⑤根據(jù)面積相等可知：SA/1OM=SACD”，由同高可知底邊4O=C。，從而判斷⑤.

【解答】解:①在和△ACE中，

[AB=AC

{/.BAD=Z-CAE,

[AD=AE

：.(SAS),

：,ZB=ZC,

???A3=A。，AE=AD,

：.AB-AE=AC-AD,

即BE=CD,

在△EBM和△OCM中，

[Z.EMB=(DMC

\/-B=Z.C,

\EB=CD

:.△EBMgADCM(AAS),

故①正確；

②???A/_LCE,AGLBD,

AZAFM=ZAGM=90Q,

/.ZMG+ZF/WG=180°,

???NFMG+NEM8=l8(r,

：.ZEMB=ZFAG,

故②正確；

③由①知：0/XOCA/,

:.EM=DM,

在ZXAEM和△AOM中,

[AE=AD

\AM=

lEM=DM

：.AAEM^AADM(SSS),

ZAME=/AMD,

???MA平分NEMO；

故③正確；

④如圖，延長CE至M使EN=EM,連接人N,BN,

???七是48的中點(diǎn),

:?AE=BE,

住△?!￡%和△8EM中，

AE=BE

CAEN=4BEM,

EN=EM

A

:.AAEN"/XBEM(SAS),

:,AN=BM,

由①知：△ABQg/XACE,

???BD=CE,

△ACN中，AC+AN>CN,

：.BM+AC>BD+EM,

故④正確；

⑤*.*SdBEM=SMDM，SdEBM=S^DCM，

SMDM=SM：DM,

1

：.AD=CD=^AC,

'：AD=AE,AB=AC,

：.AE=^AB,

，七是AB的中點(diǎn);

故⑤正確：

本題正確的有5個；

故選：D.

【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】

【例6】（2022春?杏花嶺區(qū)校級期中）已知AD=AE,NBAC=NDAE.

（!）如圖I,當(dāng)點(diǎn)。在AC上時，求證：BD=CE；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。、E、C在同一直線上，且N84C=a,時，求NO3C的度數(shù)（用含a和

B的式子表示）.

【分析】(I)證出△ABOgaACE即可；

(2)由(1)的結(jié)論以及四邊形的內(nèi)角和定理可得答案.

【解答】(1)證明：*：ZBAC=ZDAE,

:./BAC-ZCAD=ZDAE-NC4。，

即N84。=/CAE,

在△AB。和△%(7￡：中，

[AB=AC

{/.BAD=/.CAE,

UD=AE

:.XABV膽叢ACE(SAS)，

:?BD=CE；

(2)解：*：AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,

???ZABC=ZACB=嗎—a=90°-1a=ZADE=ZAED,

由(1)得aAB?？?/p>

???NAOB=NAEC=I800-Z4ED=90°+1a,

???ZDBC=3600-NBCA-^CAD-NADB

=360°-(90°-ia)-(2a-p)-(90°+^a)

=180°-2a+p.

AA

【變式6-1］（2。22?南京模擬）在8c中，A8=AC,點(diǎn)。是射線C*上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），

以AO為一邊在40的右側(cè)作AADE,使NDAE=NBAC,連接C￡

（1）如圖I,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上，且NB/IC=90°時，那么NQCE=90度:

（2）設(shè)N8AC=a,ZDCE=p.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段上，N孫C#90°時，請你探究a與0之間的數(shù)最關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長線匕NBACW900時，請將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫;II此時a與0

之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）.

【分析】（I）易證NB4O=NC4E,即可證明可得NACE=N8,即可解題；

（2）易證NZMO=NC4E,即可證明△射力且△&!￡,可得N4CE=N4,根據(jù)N4+NACB=1800-a

即可解題；

（3）易證NZMD=NC4￡即可證明△ZMO0△C4E,可得/.4?！?/從根據(jù)/4。石+乙4￡：￡>+。=180°,

NCQE+NCED+B=180°即可解題；

【解答】解：（1）???/B4O+/OAC=9（T,ZDAC+ZCAE=90°,

：,^BAD=ZCAE,

在△B4。和△C4E中，

AB=AC

乙BAD=匕C4E,

AD=AE

：.ABAD^ACAE(SAS),

JZACE=ZB,

VZ5iZACB=90Q,

.??/OCE=NACE+N4c8=90°；

故答案為90.

(2)ZBAD+ZDAC=a,ZDAC+ZCAE=a,

：.ZBAD=ZCAE,

在△B4。和△CAE中，

[AB=AC

{/.BAD=2CAE,

UD=AE

???△BAOdCAE(SAS)，

NACE=NB,

VZZ?+ZACB=180°-a,

AZDCE=ZACE+ZACB=180"-a=p,

Aa+P=18O°；

(3)作出圖形,

???NB4￡>+N84E=a,N84E+NC4E=a,

：.ZBAD=ZCAEf

在△BAO和△CAE中，

[AB=AC

\z-BAD=Z.CAE,

lAD=AE

???△BADMCAE(SAS)，

???ZAEC=ZADB,

VZADE+ZAED+a=\S00,ZCDE+ZCE￡>+P=180°，

ZCED=ZAEC+ZAED,

**.a=p.

【變式6-2]（2022秋?江夏區(qū)期末）已知△ABC,分別以48、4c為邊作△AB。和△ACE,^AD=AB,

AC=AE,ZDAB=ZCAE,連接。C與BE,G、尸分別是OC與BE的中點(diǎn).

E

圖2

,則NAR7=

(2)如圖2,若/D4B=90°,則

(3)如圖3,若NDAB=a,試探究NA產(chǎn)G與a的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

【分析】（1）連接AG.易證△AQC絲△44E,可得DC=BE,NADC=NABE,AD=AB,根據(jù)G、

分別是QC與4E的中點(diǎn)，可得QG=4P,即可證明△AOGgAx/WF,可得AG=AEZDAG=ZBAF,

即可求得NOA3=NGA凡即可解題.

（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得/AFG的值，即可解題;

（3）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得NAFG的值，即可解題.

【解答】解：(1)連接AG.

'：ZDAB=ZCAEt

：.ZDAB+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

：.ZDAC=ZBAE.

AD=AB

在△AQC和△48E中，1/.DAC=Z.BAE,

AC=AE

:.△ADCWXABE(SAS),

:.DC=BE,NAQC=NABE.AD=AB.

,:G、/分別是。C與BE的中點(diǎn)，

：.DG=IDC,BF=』BE,

:?DG=BF.

(AD=AB

在△AOG和AAB/7中，IAADC=Z.ABE,

\DG=BF

/.^ADG^/XABF(SAS),

：.AG=AF,ZDAG=ZBAF,

.??ZAGF=NA產(chǎn)G,ZDAG-/BAG=NBAF-ZBAG,

：.ZDAB=ZGAF.

???/D44=60°,

???NGA尸=60°.

VZGAF+ZAFG+ZAGF=180°,

AZAFG=60°；

(2)VZDAB=90°,NDAB=NGAF,(已證)

：.ZGAF=90Q,

'：AG=AF,

AZAFG=I(180°-90°)=45°；

(3),：ZDAB=a,/DAB=NGAF,(已證)

；"GAF=a,

,：AG=AF,

：.ZAFG=1(1800-a)；

故答案為60°45°,-(180°-a).

t2

【變式6-3](2021秋?肥西縣期末)在△4/6C中，AB=AC,。是直線AC上一點(diǎn)，連接人。，以A。為一

條邊在AO的右側(cè)作△AQE,使AE=AO,ZDAE=ZBAC,連接C￡

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在3c延長線上移動時，若NBAC=26：則NOCE=.

(2)設(shè)NBAC=a,ZDC￡=p.

①當(dāng)點(diǎn)。在8c延長線上移動時，a與6之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)。在直線BC上(不與&。兩點(diǎn)重合)移動時，a與0之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的

結(jié)論.

【分析1(1)證△84DZACAE,推出NB=NACE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可;

(2)①證△BAO9ZXCAE,推出根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可;

②分三種情況：(I)當(dāng)。在線段4C上時，證明△A3。0ZkACE(SAS),則N4Q3=NAEC,NABC

=ZACE,推出NOA￡+NQC￡=180°,即a+0=18O°；

(II)當(dāng)點(diǎn)。在線段8c反向延長線上時，a=0,同理可證明AABO經(jīng)△ACE(SAS),則NABO=/ACE,

推出NBAC=/QCE,即a=0；

(山)當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上時，由①得a=B.

【解答】解：(1)如圖1所示：???ND4E=N84C,

：.ZDAE+ZCAD=ZBAC+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△BAO和△C4E中,

AB=AC

Z.BAD=Z-CAEf

AD=AE

???△BA。g△CAE(SAS),

1

：,ZACE=ZB=^(180°-26°)=77°,BD=CE,

BC+DC=CE,

,?ZACD=N8+N￡MC=ZACE+ZDCE,

，/BAC=NDCE,

???N8AC=26°,

AZDCE=26°,

故答案為：26°；

(2)①當(dāng)點(diǎn)D在線段8C的延長線上移動時，a與B之間的數(shù)量關(guān)系是a=B，理由如下:

'：ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE+ZCAD=ZBAC+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△BAO和△C4￡中,

AB=AC

Z.BAD=Z-CAE^

AD=AE

???△8A。?△CAE(SAS),

???/〃="ACE,

,?ZACD=NB+NBAC=NACE+NDCE,

:?/BAC=NDCE,

???/B4C=a,NDCE=0

???oc—P；

②分三種情況：

(I)當(dāng)。在線段BC上時，a+B=180°,如圖2所示，理由如下：

同理可證明：4ABD*AACE(SAS),

???NADB=ZAEC,ZABC=ZACE,

,?NAQC+N人。8=180°,4

???NAQC+NA￡C=180。，〃\

：,ZDAE+ZDCE=\S0<>,/\\

*.*ZBAC=ZDAE=a,ZDCE=Q,-----------

E

/.a+p=180°；圖3

(H)當(dāng)點(diǎn)。在線段8c反向延長線上時，a=0,如圖3所示，理由如下:

同理可證明：△ABOgZXACE(SA5),

Z.NABD=NACE,

*：ZACE=NACD+NDCE,NABD=NACD+NBAC,

ZACD+ZDCE=ZACD+ZBAC,

:?/BAC=NDCE,

???NBAC=a,ZDCE=p,

.*.a=P：

(HI)當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上時，如圖1所示，a=0；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)。在8C上移動時，a=0或a+0=18O°.

【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】

【例7】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在3c中，ZABC./AC3的平分線交于點(diǎn)。，延長

交AC于E,G、尸分別在8。、BCL,連接。尺GF,其中/A=2/8OF,GD=DE.

（1）當(dāng)NA=80°時，求NEDC的度數(shù)；

(2)求i正：CF=FG+CE.

AA

【分析】(1)在BC上取點(diǎn)M,使CM=CE,證明△CDEgACDM(SA5),可得。E=D0,NDEC=

ZDMC,NEDC=NMDC,證明NB￡)M=180°—；448C-NQM8=180°-^ABC-ZAEB=ZA=

S0°,進(jìn)而可以解決問題.

(2)結(jié)合(1)然后證明△OGFgaOMF(SAS),可得GF=MF,進(jìn)而可以解決問題.

【解答】(1)解：如圖，在BC上取點(diǎn)M,使CM=CE,

???C。平分NAC8,

???NACO=/BCD,AK

在△CQE和△CQM中，/

[CE=CM

乙ECD=Z-MCD,\

【CD=CDBFM

益川⑶

:?△CDEWACDM(SAS),

：.DE=DM,ZDEC=ZDMC,NEDC=NMDC,

?：GD=DE,

:.GD=MD,

,：ZDEC+ZAEB=\S00,ZDMC+ZDMF=180°,

/.NAEB=NDMF,

,/BE平分NABC,

???ZABE=NCBE=1"3C,

???NBDM=180°-\LABC-ZDA/B=180°ZAEB=ZA=^,

乙乙

???N￡OM=100",

AZEDC=50°；

(2)證明：VZA=2ZBDF,

NBDM=2NBDF,

???ZFDM=ZBDF,

在aOG〃和中，

<DG=DM

1/.GDF="IDF,

[DF=DF

:?△DGFQADMF(SAS),

GF=MF,

：,CF=CM+FM=CE+GF.

CF=FG+CE.

【變式7-1](2022?黃州區(qū)校級模擬)如圖，N8AO=NCA￡=90°,AB=AD,AE=AC,AFLCB,垂足

為F.

(1)求證：LABC沿LADE；

(2)求/秒1￡的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△A4C@Z\AQE的條件；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到N陰E的度數(shù)；

（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立.

【解答】證明：（1）ZBAD=^CAE=90°,

：.Z1BAC+Z1CAD=9O°,ZCAD+ZDAE=90°,

；?NBAC=NDAE,

在△B4C和△DAE中，

（AB=AD

l^BAC=4DAE,

IAC=AE

：.^BAC^/\DAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

AZE=45°,

由(1)知△84Cg△DAE,

???N8CA=/E=45°,

AZCM=90°,

???NCA"=45°,

AZFAE=ZFAC+ZCAE=45Q+90°=135°

(3)延長B尸到G,使得FG=F4,

VAF1BG,

AZAFG=ZAFB=90o,

仁△A"Z?和△APG中，

<BF=GF

l^.AFB=Z.AFG,

UF=AF

:?△AFB//\AFG(SAS),

：.AB=AG,NABF=NG,

*：^BAC^^DAE.

：.AB=ADtNCBA=NEDA,CB=ED,

：.AG=AD,4ABF=NCDA,

：.ZG=ZCDA,

*：ZGCA=ZDCA=45°,

在ACGA和△CDA中，

[LGCA=乙DCA

"C/="04,

[AG=AD

/.△CGA^ACDACAAS),

，CG=CD,

VCG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

：.CD=2BF+DE.

【變式7-2］（2021秋?兩江新區(qū)期末）在RtA4BC中，NA8C=90°,點(diǎn)。是C8延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是

線段AB上一點(diǎn)，連接。E.AC=DE,BC=BE.

(1)求證：A3=BD；

(2)8尸平分NA8C交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)G是線段/必延長線上一點(diǎn)，連接QG,點(diǎn)〃是線段OG上一點(diǎn),

連接A"交8。于點(diǎn)K,連接KG.當(dāng)K8平分NAKG時，求證：AK=DG+KG.

【分析】(1)證明RtA/\CB^RtADEB即可解決問題;

(2)作ZMY平分ZA。。交AK于點(diǎn)M,證明△3MK名△SGK,△ASM冬△O3G,即可解決問題.

【解答】證明：(1)在RtAACfi和RtADEB+，

(AC=DE

[BC=BE'

???RtZ\4CBgRlZ\OE8(HL),

：.AB=BD,

(2)如圖：作8M平分N/W。交AK于點(diǎn)M,

平分NA8D,KB平分NAKG,

AZABM=ZMBD=45",NAKB=NBKG,

*/ZABF=ZDBG=45°

:./MBD=/GBD,

在△8MK和△BGK中，

[/.MBD=Z.GBD

\BK=BK,

l^AKB=乙BKG

:.△BM&ABGK(ASA),

:.BM=BG,MK=KG,

在△A8M和△DBG中，

<AB=BD

=乙DBG,

<BM-BG

0△QBG（SAS）,

：.AM=DG,

f：AK