專題24.2直角三角形的性質(zhì)-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【華師大版】

2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題24.2直角三角形的性質(zhì)姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2021春?閔行區(qū)校級(jí)月考）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有一個(gè)鈍角 B．三角形三個(gè)內(nèi)角中，至少有兩個(gè)銳角 C．直角三角形中有兩個(gè)銳角互余 D．三角形中兩個(gè)內(nèi)角和必大于90°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，一一判斷即可．【解析】A、三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有一個(gè)鈍角，正確．B、三角形三個(gè)內(nèi)角中，至少有兩個(gè)銳角，正確．C、直角三角形中有兩個(gè)銳角互余，正確，D、三角形中兩個(gè)內(nèi)角和必大于90°，錯(cuò)誤，比如鈍角三角形的兩個(gè)銳角的和小于90°．故選：D．2．（2021?福建）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于（）A．2km B．3km C．23km D．4km【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出∠B度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故選：D．3．（2021春?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，則∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解析】∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝（m﹣15）°，故選：B．4．（2021春?深圳期中）如圖，從旗桿AB的頂端A向地面拉一條繩子，繩子底端恰好在地面P處，若旗桿的高度為3.2米，則繩子AP的長(zhǎng)度不可能是（）A．3 B．3.3 C．4 D．5【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)斜邊大于直角邊進(jìn)而得出答案．【解析】∵旗桿的高度為AB＝3.2米，∴AP＞AB，∴繩子AP的長(zhǎng)度不可能是：3米．故選：A．5．（2021春?芝罘區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．若BE＝2，則AC的長(zhǎng)度為（）A．3 B．1 C．2 D．2【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE＝CE＝2，故可得出∠B＝∠DCE＝30°，再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB＝60°，可得∠ACE＝30°，根據(jù)直角三角形含30°角的性質(zhì)可得AE和AC的長(zhǎng)．【解析】如圖，連接CE，∵BC的垂直平分線交AB于E，垂足為點(diǎn)D，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵∠A＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝30°，∴AE＝1，AC=3．故選：A．6．（2021春?廣安期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E．若CE＝5，CD＝6，則△ABC的面積是（）A．60 B．50 C．40 D．30【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB＝2CD，求得AB＝12，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，∴AB＝2CD，∵CD＝6，∴AB＝12，∵CE⊥AB于點(diǎn)E，CE＝5，∴△ABC的面積=12AB?CE=故選：D．7．（2021春?肥東縣期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，OB為AC邊上的中線，若以AC為斜邊作△ADC，連接OD，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．OD＝OA B．OD＝OB C．OD=12AC D．OD=【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷．【解析】如圖，∵△ABC、△ACD是直角三角形，O為AC的中線，∴BO=12AC，DO＝OA=1∴OD＝OB，∴A、B、C都正確，故選：D．8．（2021春?潮陽區(qū)期末）如圖，有一架梯子斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，在墻角（點(diǎn)O處）有一只貓緊緊盯住位于梯子（AB）正中間（點(diǎn)P處）的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉，把梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，若梯子A端沿墻下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離（）A．不變 B．變小 C．變大 D．無法判斷【分析】根據(jù)題意知，OP是直角△AOB斜邊上的中線，則OP=12AB【解析】如圖，連接OP，根據(jù)題意知，點(diǎn)P是直角△AOB斜邊的中點(diǎn)，則OP是直角△AOB斜邊上的中線，則OP=12AB由于AB的長(zhǎng)度不變，則OP的長(zhǎng)度不變．故選：A．9．（2021春?任丘市期末）如圖，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)線段DE交邊BC于點(diǎn)F，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長(zhǎng)為（）A．7 B．152 C．8 D．9【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE，由EF＝1，得到DF，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出線段AC的長(zhǎng)．【解析】∵∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，AB＝6，∴DE=12AB∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴AC＝2DF＝8．故選：C．10．（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）一只小貓?jiān)诰鄩γ?米，距地面2米的架子上，緊緊盯住了斜靠墻的梯子中點(diǎn)處的一只老鼠，聰明的小貓準(zhǔn)備在梯了下滑時(shí)，在與老鼠距離最小時(shí)捕食．如圖所示，把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，貓所處位置為點(diǎn)D，梯子視為線段MN，老鼠抽象為點(diǎn)E，已知梯子長(zhǎng)為4米，在梯子滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為（）A．25 B．25?2 C．2 D．4【分析】如圖，連接BE，BD．求出BE，BD，根據(jù)DE≥BD﹣BE求解即可．【解析】如圖，連接BE，BD．由題意BD=22+4∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE=12MN∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，2米為半徑的弧，∴當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，∴DE的最小值為（25?2）米．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥25?故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2021春?錦江區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形一底角為30°，底邊上的高為9cm，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是18cm，頂角是120°．【分析】由已知條件，根據(jù)直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得：腰長(zhǎng)是底邊上的高的2倍，可得答案．【解析】∵∠C＝30°，作AD⊥BC，垂足為D，∴AC＝2AD，∴AC＝2×9＝18，即腰長(zhǎng)是18cm，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案為：18；120°．12．（2021春?墾利區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，則△ABC的周長(zhǎng)為12cm．【分析】利用平行線的性質(zhì)和CD⊥AD，先得到∠DCB的度數(shù)，再求出∠ACD的度數(shù)，再直角三角形中，利用30°角所對(duì)的邊與斜邊的關(guān)系求出AC，最后求出等邊三角形的周長(zhǎng)．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．∴∠DCB＝90°．∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．在Rt△ACD中，∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4（cm）．L△ABC＝AB+AC+BC＝12（cm）．故答案為：12．13．（2021春?官渡區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AC中點(diǎn)，E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCDE有一組鄰邊相等時(shí)，則AE的長(zhǎng)為2或3或135．【分析】分BC＝BE、CD＝DE、BE＝DE三種情況考慮，當(dāng)BC＝BE時(shí)，由AE＝AB﹣BE即可求出AE的長(zhǎng)度；當(dāng)CD＝DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，通過解直角三角形可得出AF的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得出AE的長(zhǎng)度；當(dāng)BE＝DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，設(shè)EF＝x，則BE=52?x，利用勾股定理表示出DE2的值，結(jié)合BE＝DE即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，進(jìn)而即可得出【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC=3BC＝23，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD＝CD=3，當(dāng)構(gòu)成的四邊形BCDE有一組鄰邊相等時(shí)，由以下三種情況．①如圖1，當(dāng)BC＝BE時(shí)，∴BE＝BC＝2，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣2＝2；②如圖2，當(dāng)CD＝DE時(shí)，作DF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，AD＝CD＝DE，∴AF＝EF=12AE在Rt△ADF中，DF=12AD=∴AF=AD∴AE＝2×32③如圖3，當(dāng)BE＝DE時(shí)，作DF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，BF＝AB﹣AF＝4?32設(shè)EF＝x，則BE＝BF﹣EF=52?在Rt△DEF中，DF=32，DE＝BE=52?x，∴EF2+DF2＝DE2，即x2+（32）2＝（52?x）解得：x=1110即EF=1110∴AE＝AF+EF=32故答案為：2或3或135．14．（2021春?宛城區(qū)期末）若一個(gè)三角形中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的3倍，則稱這樣的三角形為“和諧三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“和諧三角形”，如圖，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是邊CB上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△ADC是“和諧三角形”時(shí)，∠DAB的度數(shù)是30°或80°或52.5°．【分析】分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠ADC＝3∠C時(shí)；②當(dāng)∠C＝3∠CAD時(shí)；③當(dāng)∠ADC＝3∠CAD時(shí)．根據(jù)“和諧三角形”的定義求解即可．【解析】∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°．當(dāng)△ADC是“和諧三角形”時(shí)，分三種情況：①當(dāng)∠ADC＝3∠C時(shí)，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°；②當(dāng)∠C＝3∠CAD時(shí)，∠CAD＝10°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°；③當(dāng)∠ADC＝3∠CAD時(shí)，∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°，∴∠CAD=14∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°．綜上所述，∠DAB的度數(shù)是30°或80°或52.5°．故答案為：30°或80°或52.5°．15．（2021?蕪湖模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∠BCD＝3∠ACD，CD＝3，則AB的長(zhǎng)為62．【分析】根據(jù)已知條件得到ACD＝22.5°，求得∠B＝∠ACD＝22.5°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE＝BE=12AB，求得∠DCE＝∠DEC＝45°，得到CE=2CD＝3【解析】∵∠ACB＝90°，∠BCD＝3∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD＝22.5°，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴CE＝BE=12AB∴∠BCE＝∠B＝22.5°，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴CE=2CD＝32，∴AB＝2CE＝62，故答案為：62．16．（2021春?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AB＝AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是AC，BD的中點(diǎn)，EF＝3．則AC的長(zhǎng)為6．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得出EF=12AC【解析】連接AF，∵AB＝AD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，即∠AFC＝90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴EF=12AC∵EF＝3，∴AC＝6，故答案為：6．17．（2021春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，BC＝13，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足AD＝2CE，則CD﹣CE的最小值為1336【分析】作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CFE＝∠B＝30°，再根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半得出EF＝2CE＝AD，取EF中點(diǎn)G，連接CG、DG，可得CE＝CG，當(dāng)C，D，G三點(diǎn)共線時(shí)，D為AB的中點(diǎn)，EF為中位線，此時(shí)，CD﹣CE取得最小值．【解析】作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，連接DF，∵EF∥AB，∠B＝30°，∴∠CFE＝∠B＝30°，∴EF＝2CE＝AD，取EF中點(diǎn)G，連接CG、DG，∴CE＝CG，∴CD﹣CE的最小值為C，D，G三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)D為AB的中點(diǎn)，EF為中位線，∴CD﹣CE＝13×23故答案為133618．（2021?克東縣二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個(gè)銳角為30°，AB＝6．若點(diǎn)E在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），且∠CAE＝30°，則BE的長(zhǎng)為23或43或6【分析】可分三種情況：當(dāng)E點(diǎn)在線段BC上時(shí)，如圖，則∠B＝30°；當(dāng)E點(diǎn)在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，則∠B＝30°；當(dāng)E點(diǎn)在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，則∠B＝60°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的平行于性質(zhì)分別計(jì)算可求解．【解析】當(dāng)E點(diǎn)在線段BC上時(shí)，如圖，則∠B＝30°，∵∠C＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝60°，AC=12AB∴BC=33，∵∠CAE＝30°，∴AE＝2CE，∠BAE＝30°，∴∠B＝∠BAE，∴BE＝2CE=23當(dāng)E點(diǎn)在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，則∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝60°，AC=12AB∴BC=33，∵∠CAE＝30°，∠ACE＝90°，∴CE=33∴BE＝BC+CE=33+當(dāng)E點(diǎn)在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，則∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝30°，∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°，∴△ABE為等邊三角形，∵AB＝6，∴BE＝AB＝6，綜上，BE的長(zhǎng)為23或43故答案為23或43三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2021春?鄆城縣期末）如圖，DE是△ABC的邊AB上的垂直平分線，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．（1）求∠C的度數(shù)；（2）若DE＝1，求EC的長(zhǎng)．【分析】（1）DE是邊AB上的垂直平分線推AE＝BE，利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義推角相等，最后得出角的度數(shù)；（2）利用角平分線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)．【解析】（1）∵DE是邊AB上的垂直平分線，∴AE＝BE．∴∠B＝∠BAE＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝30°，∴∠ACB＝90°．（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴EC＝ED＝1．20．（2021春?成都期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，E為邊AC上一點(diǎn)，連接DE，EC＝ED，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．（1）判斷DE與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACD＝∠EDC，即可求得∠BCD＝∠EDC，進(jìn)而可求解；（2）由直角三角形的性質(zhì)可求解∠AEF＝60°，由平行線的性質(zhì)可求解∠AED的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解析】（1）DE∥BC，理由如下：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EC＝ED，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC；（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，∴∠AEF＝60°，∵∠ACB＝80°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝80°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．21．（2020秋?南潯區(qū)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE、DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，且DF＝EF．（1）求證：AD＝CE．（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面積．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到CD＝AD=12AB，根據(jù)線段垂直平分線的選擇得到CE＝CD（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到AB＝2AD＝10，由勾股定理得到BC=AB2?AC2=8，由（1）知，【解析】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD=12AB∵CF⊥DE，DF＝EF．∴CE＝CD，∴AD＝CE．（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AD＝5，∴AB＝2AD＝10，∵AC＝6，∴BC=AB由（1）知，CE＝CD＝AD＝5，∴BE＝BC+EC＝13，∴S△ABE=12BE?AC=∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴△BDE的面積=12S△ABE=22．（2021春?亳州期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，連接EF，CF．（1）求證：EF＝CF；（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E兩點(diǎn)間的距離．【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得EF=12AD，CF=12AD，進(jìn)而求解EF（2）連接CE，易求EF＝AF＝CF＝3，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求解∠EFC＝90°，利用勾股定可求解CE的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，∴EF=12AD，CF=1∴EF＝CF；（2）解：連接CE，由（1）得EF＝AF＝CF=12AD∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE=EF2+C即C，E兩點(diǎn)間的距離是32．23．（2021春?昌圖縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4