黑龍江省哈爾濱市師范大學附中2025屆高三第四次診斷考試數學試題

黑龍江省哈爾濱市師范大學附中2025屆高三第四次診斷考試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設i為虛數單位，若復數，則復數z等于()A． B． C． D．02．要得到函數的圖像，只需把函數的圖像（）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位3．如圖是計算值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是()A．B．C．D．4．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．函數的圖象可能是（）A． B． C． D．6．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．7．已知復數z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數,則實數a等于()A． B． C．- D．-8．已知函數，當時，的取值范圍為，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．210．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數稱為“D函數”，下列函數是“D函數”的個數為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且12．已知命題，，則是（）A．， B．，.C．， D．，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，是一個四棱錐的平面展開圖，其中間是邊長為的正方形，上面三角形是等邊三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，則此四棱錐的體積為_____．14．已知數列是等比數列，，則__________.15．根據如圖所示的偽代碼，輸出的值為______.16．記復數z＝a+bi（i為虛數單位）的共軛復數為，已知z＝2+i，則_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是各項都為正數的數列，其前項和為，且為與的等差中項．（1）求證：數列為等差數列；（2）設，求的前100項和．18．（12分）已知函數f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數的底，k為常數）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．19．（12分）的內角，，的對邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.20．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.22．（10分）已知函數，為實數，且．（Ⅰ）當時，求的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數的底數）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據復數除法的運算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數的代數運算，屬于基礎題.2、A【解析】

運用輔助角公式將兩個函數公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形，整理后與對比，從而可選出正確答案.【詳解】解：.對于A：可得.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數圖像平移變換，考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個，一個是混淆了已知函數和目標函數;二是在平移時，忘記乘了自變量前的系數.3、B【解析】

根據計算結果，可知該循環(huán)結構循環(huán)了5次；輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，進而可得判斷框內的不等式．【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，即判斷框內的不等式應為或所以選C【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用，根據結果填寫判斷框，屬于基礎題．4、D【解析】

求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關于、、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.5、A【解析】

先判斷函數的奇偶性，以及該函數在區(qū)間上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】函數的定義域為，，該函數為偶函數，排除B、D選項；當時，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據函數的解析式辨別函數的圖象，一般分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，結合排除法得出結果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.7、A【解析】分析：計算，由z1，是實數得，從而得解.詳解：復數z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實數，所以，即.故選A.點睛：本題主要考查了復數共軛的概念，屬于基礎題.8、C【解析】

求導分析函數在時的單調性、極值，可得時，滿足題意，再在時，求解的x的范圍，綜合可得結果.【詳解】當時，，令，則；，則，∴函數在單調遞增，在單調遞減.∴函數在處取得極大值為，∴時，的取值范圍為，∴又當時，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數分析函數值域的方法，考查了分段函數的性質，屬于難題.9、A【解析】

根據向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.10、B【解析】

滿足（1）（2）的函數是偶函數且值域關于原點對稱，分別對所給函數進行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數是偶函數且值域關于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點睛】本題考查新定義函數的問題，涉及到函數的性質，考查學生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.11、D【解析】

首先把三視圖轉換為幾何體，根據三視圖的長度，進一步求出個各棱長.【詳解】根據幾何體的三視圖轉換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，，.故選：D..【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉換，主要考查運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題.12、B【解析】

根據全稱命題的否定為特稱命題，得到結果.【詳解】根據全稱命題的否定為特稱命題，可得，本題正確選項：【點睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫圖直觀圖可得該幾何體為棱錐,再計算高求解體積即可.【詳解】解：如圖,是一個四棱錐的平面展開圖,其中間是邊長為的正方形,上面三角形是等邊三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱錐中,是邊長為的正方形,是邊長為的等邊三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱錐的高,此四棱錐的體積為:．故答案為：．【點睛】本題主要考查了四棱錐中的長度計算以及垂直的判定和體積計算等,需要根據題意14、【解析】

根據等比數列通項公式，首先求得，然后求得.【詳解】設的公比為，由，得，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查等比數列通項公式的基本量計算，屬于基礎題.15、7【解析】

表示初值S=1,i=1，分三次循環(huán)計算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán)：S=1+1=2,i=1+2=3；第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；第三次循環(huán)：S=5+5=10,i=5+2=7；S=10>9,循環(huán)結束，輸出：i=7.故答案為：7【點睛】本題考查在程序語句的背景下已知輸入的循環(huán)結構求輸出值問題，屬于基礎題.16、3﹣4i【解析】

計算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再計算得到答案.【詳解】∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，則．故答案為：3﹣4i．【點睛】本題考查了復數的運算，共軛復數，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用已知條件化簡出，當時，，當時，再利用進行化簡，得出，即可證明出為等差數列；（2）根據（1）中，求出數列的通項公式，再化簡出，可直接求出的前100項和．【詳解】解：（1）由題意知，即，①當時，由①式可得；又時，有，代入①式得，整理得，∴是首項為1，公差為1的等差數列．（2）由（1）可得，∵是各項都為正數，∴，∴，又，∴，則，，即：.∴的前100項和．【點睛】本題考查數列遞推關系的應用，通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查分析解題能力和計算能力.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉化為方程有兩個不同解，求導，研究極值即可得結果；（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，則可求出極大值，記，求導，求單調性，求出極值即可.【詳解】（1），由，記，，由，且時，，單調遞減，，時，，單調遞增，，由題意，方程有兩個不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，記，則，因為，所以，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，即函數的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，因為，，所以.即函數的極大值不小于1.【點睛】本題考查導數研究函數的單調性，極值，考查學生綜合分析能力與轉化能力，是一道中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據三角形面積公式及平面向量數量積定義代入公式，即可求得，進而求得的值；（2）根據正弦定理將邊化為角，結合（1）中的值，即可將表達式化為的三角函數式；結合正弦和角公式與輔助角公式化簡，即可求得和，進而由正弦定理確定，代入整式即可求解.【詳解】（1）因為，所以由三角形面積公式及平面向量數量積運算可得，所以.因為，所以.（2）因為，所以由正弦定理代入化簡可得，由（1），代入可得，展開化簡可得，根據輔助角公式化簡可得.因為，所以，所以，所以為等腰三角形，且，所以.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應用，三角形面積公式的應用，平面向量數量積的運算，正弦和角公式及輔助角公式的簡單應用，屬于基礎題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范圍，判斷，為正，去掉絕對值，轉化為在時恒成立,得到，，在恒成立，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，，由，得，即，或，即，或，即，綜上：或，所以不等式的解集為.（2），，因為，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在時恒成立，不等式恒成立必須，，解得.所以，解得，結合，所以，即的取值范圍為.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，含有絕對值的不等式的恒成立問題.屬于中檔題.21、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點D，連結，.根據線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內的直線且交于點，由（1）得，再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點D，連結，.在中，P，D分別為，中點，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.22、（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當時