2024-2025學(xué)年河北省唐山市高一下冊3月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省唐山市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知向量，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先求出的坐標(biāo)，再通過可求出的坐標(biāo).【詳解】又因為，所以，故選：D.本題考查向量坐標(biāo)的線性運算，是基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2【正確答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)模的計算公式即可得到結(jié)果.【詳解】，.故選：B.3.在四邊形中，若，則四邊形為（）A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形【正確答案】D【分析】依據(jù)向量相等的幾何意義和向量數(shù)量積的幾何意義去判斷四邊形的形狀.【詳解】由，可得，即，則四邊形為平行四邊形；又由，可得，則平行四邊形四邊形為菱形故選：D4.在中，，，所對的邊分別為a，b，c，其中，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】直接利用正弦定理可求解.【詳解】，，，由正弦定理得，.故選：B.5.已知單位向量的夾角為，為實數(shù)，則“向量與向量的夾角為銳角”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】法一：根據(jù)單位向量與垂直向量的數(shù)量積表示，利用數(shù)量積的運算律以及夾角為銳角的數(shù)量積表示，同時注意排除向量共線的情況，結(jié)合充分不必要條件，可得答案；法二：由題意設(shè)出向量的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合充分不必要條件，可得答案.【詳解】法一：由單位向量的夾角為，可得，．若向量與向量的夾角為銳角，則且向量與向量不共線．由，得；由向量與向量不共線，得，即．所以由向量與向量的夾角為銳角，得且．易知由，則向量與向量的夾角大于等于零且小于九十度.綜上可得“向量與向量的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．法二：因為單位向量的夾角為，所以不妨令，，則，．因為向量與向量的夾角為銳角，所以，且，得且．當(dāng)時，可得，此時向量與向量的夾角大于等于零且小于九十度.綜上可得“向量與向量的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．故選：B．6.設(shè)的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，若，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)，求得各角的大小，利用正弦定理求得答案.【詳解】由于，故，故，故選：A7.鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學(xué)建?；顒樱薪Ｕn題組的學(xué)生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案.如圖，在山腳A測得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達B點（A，B，P，Q在同一個平面內(nèi)），在B處測得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高為（）米.A. B.C. D.【正確答案】B【分析】在中，利用正弦定理求，進而在中求山的高度.【詳解】由題知，，，則，，又，所以，所以，，在中，，根據(jù)正弦定理有，且，則，在中，.所以山高為米.故選：B.8.在中，，是的中點，與交于點，若，則（）A. B. C. D.1【正確答案】A【分析】利用向量的線性運算及三點共線求得，由此求得的值，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴.∵A，P，D三點共線，∴.∵，∴.∵E是邊AB的中點，∴.∵E，P，F(xiàn)三點共線，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下面給出的關(guān)系式中，正確的是（）A. B.C D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積定義及運算性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】因為數(shù)與向量相乘為向量，所以，故正確；向量的數(shù)量積滿足交換律，所以，故正確；根據(jù)數(shù)量積定義知，數(shù)量積為一實數(shù)，所以為，表示與共線的向量，而為，表示與共線向量，所以不一定成立，故錯誤；根據(jù)數(shù)量積定義知，故正確；故選.10.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.已知，均為非零向量，則存在唯一的實數(shù)，使得B.若向量，共線，則點，，，必在同一直線上C.邊長為的正方形中D.若點為的重心，則【正確答案】AD【分析】利用向量共線的概念即可判斷A正確，B錯誤；利用向量的加法法則和向量的模的計算可判斷C錯誤，利用三角形重心的結(jié)論即可判斷D正確，問題得解.【詳解】對于選項A，由平面向量平行的推論可得其正確；對于選項B，向量，共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點，，，不必在同一直線上，故B錯誤；對于選項C，邊長為的正方形中，故C錯誤；對于選項D，由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.故選：AD.11.三角形的三邊所對的角為，，則下列說法正確的是（）A. B.若面積為，則周長的最小值為12C.當(dāng)，時， D.若，，則面積為【正確答案】ABD【分析】由題意可得，選項A：利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求角的大??；選項B：由三角形面積和角可得，利用均值不等式求周長最小值即可；選項C：利用邊角互化后得到的解即可；選項D：利用正弦定理求，然后后面積公式求解即可.【詳解】因為，由題意可得，整理得，由正弦定理邊角互化得，又由余弦定理得，所以，A正確；當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，所以，B正確；由當(dāng)，時，，解得，C錯誤；由，得，由正弦定理得解得，又因為，所以，D正確；故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的實部為____．【正確答案】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運算可得出關(guān)于、的方程組，解之即可.【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，，解得，因此，復(fù)數(shù)的實部為.故答案為.13.向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為________．【正確答案】【分析】根據(jù)投影向量定義求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為．故答案為.14.已知非零向量與滿足，且，點是的邊上的動點，則的最小值為__________.【正確答案】##-0.2【分析】根據(jù)向量的幾何意義得到的平分線與垂直，并計算出，，建立平面直角坐標(biāo)系，表達出，配方求出最小值.【詳解】分別表示與方向單位向量，故所在直線為的平分線所在直線，又，故的平分線與垂直，由三線合一得到，取的中點，因，故，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故四、解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15.已知，，且與夾角為求：（1）；（2）與的夾角．【正確答案】（1）12；（2）.【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)平面向量夾角公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】，，且與夾角為，，，，；【小問2詳解】，，，設(shè)與的夾角為，，又，所以，即與的夾角為．16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判斷的形狀．【正確答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入給定等式計算作答.（3）根據(jù)已知條件可得，再結(jié)合（1）確定三角形的形狀作答.【小問1詳解】在中，由及余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由，及，得，所以.【小問3詳解】由及，得，則，由（1）知，所以為正三角形.17.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的長．【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)連接BD，在中，利用三角形內(nèi)角和定理及和角的余弦公式計算即得；(2)在中，利用正弦定理求出BD長，再在中利用余弦定理求解即可.【詳解】(1)由AB∥CD可得，則，即，而，即有，在中，，所以；(2)由(1)知，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的長為.18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由三角變換公式可得，從而可求的值.（2）利用正弦定理及三角變換公式可得，結(jié)合的范圍可求其取值范圍，從而可求的取值范圍.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，則，可得，所以，所以.【小問2詳解】由正弦定理可得（為外接圓的半徑），所以，，因為，則，，所以，因為為銳角三角形，則，解得，則，，故.19.如圖，在斜坐標(biāo)系中，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，的夾角為，定義向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對，記為.在斜坐標(biāo)系中，完成如下問題：（1）若，，求的坐標(biāo)；（2）若，，且，求實數(shù)的值；（3）若