2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.下列等式中，不正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用組合數(shù)和排列數(shù)公式分別計(jì)算可判定ABC，利用組合數(shù)的性質(zhì)，組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系可判定D.【詳解】故A正確；,故B錯(cuò)誤；,故C正確；,故D正確.故選：B.2.設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.30 B.28 C.26 D.24【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，結(jié)合前項(xiàng)和公式，即可直接求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得：，故；則.故選：C3.等比數(shù)列中，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出首項(xiàng)即可得解.【詳解】依題意，等比數(shù)列的公比，則，解得，因此，所以.故選：B4.函數(shù)有（）A.極大值為5，無(wú)極小值 B.極小值為，無(wú)極大值C.極大值為5，極小值為 D.極大值為5，極小值為【正確答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求出結(jié)果.【詳解】,由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值.故選：A5.函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t令，解得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，為，故選:D.6.已知函數(shù)在處取得極小值1，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)極值定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值1，所以有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故滿足題意，于是有.故選：C7.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可得在上恒成立，構(gòu)造并研究單調(diào)性即可求的取值范圍.【詳解】由，得，由在上單調(diào)遞減，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，∴在上單調(diào)遞減，即，∴，故的取值范圍.故選.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，且，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，再由已知得，則不等式可轉(zhuǎn)化為，即可得解集.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，原不等式可化為，即，所以，即不等式的解集為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9.有4名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說(shuō)法中正確的是（）．A.每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種B.每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種C.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種【正確答案】AC分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，若，則下列命題正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.和是中的最小項(xiàng)C.是數(shù)列中的最小項(xiàng)D.滿足的的最大值為25【正確答案】AB【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可計(jì)算出，結(jié)合可判斷ABC，寫(xiě)出的表達(dá)式可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榧?，所以，即，所以，所以，?shù)列是遞增數(shù)列，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，所以?dāng)或時(shí)，取最小值，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以最小項(xiàng)是首項(xiàng)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由不等式，可得，又因?yàn)?，所以滿足的的最大值為24，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB11.設(shè)函數(shù)，則（）A.有極大值，且有最大值B.有極小值，但無(wú)最小值C.若方程恰有一個(gè)實(shí)根，則D.若方程恰有三個(gè)實(shí)根，則【正確答案】D【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性，極值，確定函數(shù)值的變化趨勢(shì)可確定最值，及方程的根的情形．【詳解】由題意，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在和上遞增，在上遞減．極大值＝，極小值＝，或時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴也是最小值．無(wú)最大值．作出的圖象，和直線，如圖，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根．故選：D．本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，掌握極值與最值的定義是解題基礎(chǔ)．方程根的個(gè)數(shù)常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由數(shù)形結(jié)合思想易求解．三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12.有兩排座位，前排10個(gè)座位，后排10個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的兩個(gè)座位不能坐，并且這兩人不左右相鄰，那么不同的坐法的種數(shù)是___________【正確答案】276分析】分情況討論，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】分為下列三類情況：第一類：兩人分別坐前后兩排，共有種；第二類：兩人都坐后排，共有種；第三類：兩人都坐前排，共有三種情況，分坐左右4個(gè)座位有32種；都坐左邊4個(gè)座位有6種；都坐右邊4個(gè)座位也有6種；共有種；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種.故27613.某學(xué)校高二（1）班上午安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育、物理門(mén)課，要求第一節(jié)不安排體育，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則不同的排課方法共有____種．【正確答案】【分析】先考慮第一節(jié)安排體育課，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的排法種數(shù)，接下來(lái)考慮語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數(shù)，結(jié)合間接法可得結(jié)果.【詳解】先考慮第一節(jié)安排體育課，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素，共有種排法；接下來(lái)只考慮語(yǔ)文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，只需將數(shù)學(xué)與語(yǔ)文捆綁，形成一個(gè)大元素，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種.故答案為.14.將數(shù)據(jù)，，，…排成如圖的三角形數(shù)陣，（第一行一個(gè)，第二行兩個(gè)，?，最下面一行有個(gè)，）則數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】寫(xiě)出數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和，利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】由題意，設(shè)數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為，則①，②，由①-②得：，所以.故方法點(diǎn)睛：解決此類探究性問(wèn)題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)、尋找它們之間的相互聯(lián)系，利用常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和知識(shí)求解.四、解答題（共5小題，滿分77分）15.已知函數(shù).（1）求的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性.【正確答案】（1）（2）在上的單調(diào)遞減.【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，再將代入到函數(shù)可求出，進(jìn)而求出的解析式；（2）先對(duì)求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立，所以在上的單調(diào)遞減.16.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求值;（2）已知在區(qū)間上的最小值為，求在區(qū)間上的最大值.【正確答案】（1）（2）1.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合的最小值為，求出，并求出最大值.【小問(wèn)1詳解】由已知，得，由題知，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，，的變化情況如表所示：12+0-0+極大值極小值，，，即在區(qū)間上的最大值為1.17.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2），利用裂項(xiàng)相消法即可求出數(shù)列的和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，即，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以.18.名男生和名女生站成一排．（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？（2）甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？（3）男、女分別排在一起的站法有多少種？（4）男、女相間的站法有多少種？（5）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【正確答案】（1）種（2）種（3）種（4）種（5）種【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；（3）按捆綁法排列即可；（4）按插空法排列即可；（5）按部分均勻的排列方法求解即可.【小問(wèn)1詳解】先排甲有種，其余有種，共有種排法.【小問(wèn)2詳解】先排甲、乙，再排其余人，共有種排法.【小問(wèn)3詳解】把男生和女生分別看成一個(gè)元素，男生和女生內(nèi)部還有一個(gè)全排列，共種.【小問(wèn)4詳解】先排名男生有種方法，再將名女生插在男生形成的個(gè)空上有種方法，

故共有種排法.【小問(wèn)5詳解】人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對(duì)應(yīng)一種符合條件的排法，

故共有種排法．19已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性并求極值.（2）設(shè)函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值；（2）.【分析】（1）求出，然后可得單調(diào)性和極值；（2），然后求出當(dāng)時(shí)的單調(diào)性，要使函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有，解出，