高中數學選修1-1知識點

選修1—1、1-2數學知識點

第一部分簡單邏輯用語

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.

2、“若「，則夕”形式的命題中的p稱為命題的條件，g稱為命題的結論.

3、原命題：“若夕,則逆命題：“若q,則

否命題：“若「P,貝廠”逆否命題：”若「九則「P"

4、四種命題的真假性之間的關系：

(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系.

5、若pnq,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

若poq，則P是<7的充要條件(充分必要條件).

利用集合間的包含關系：例如：若Aq8,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是

B的充要條件；

6、邏輯聯結詞：⑴且⑷⑷：命題形式〃△</；⑵或(or)：命題形式pvq；

⑶非(not)：命題形式「p.

P7q

Pqp「P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

7、⑴全稱量詞一“所有的”、“任意一個”等，用“V”表示；

全稱命題p：VxeA/,p(x)；全稱命題p的否定-)p：3%eM,->/?(%).

⑵存在量詞——“存在一個”、“至少有一個”等，用“三”表示；

特稱命題p：HxeM,p(x)；特稱命題p的否定「p：VxeM,-,p(x)；

第二部分圓錐曲線

1、平面內與兩個定點片，鳥的距離之和等于常數(大于|村名|)的點的軌跡稱為橢圓.

即：|町|+|g|=2a,(2a>|耳瑪|)。

這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.

2、橢圓的幾何性質：

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

r

圖形d

3O

X!\二)

2292

廠+廣_廣+廠

標準方程靛+/-l(a>/?>0)=l(4Z>/?>0)

范圍一QWxW。且一〃<yK5一。WxWZ?且一。＜＞＜。

A1(一〃,0)、A2(?,0)A】（0,—a）、A、（0,a）

頂點

B/0,詢、B2(O,^)B4-b，。）、B2（^,0）

軸長短軸的長=2b長軸的長=2。

焦點耳（-G。）、居（c,0）6(o,—c)、6(0,c)

焦距內馬=2<?卜2=/_/)

對稱性關于x軸、y軸、原點對稱

e=—=J1-<(0<e<1)

離心率

a\a

3、平面內與兩個定點石，巴的距離之差的絕對值等于常數（小于［村入|）的點的軌跡稱為雙曲線.即:

\\MFl\-\MF2\\=2a,（2a＜\FiF21）.

這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距.

雙曲線的幾何彳生質：

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

/

圖形71V5

zT\

2222

標準方程點一方=1（。＞。/＞。）為一a=l(a>0力>。)

范圍x<-a^x>afyG7?y<-a^y>a,xwR

頂點A1(—q,0)、A2(a,0)A、(0,—a)、A2(0,a)

軸長虛軸的長=2。實軸的長=2。

焦點6(—G。)、鳥(GO)￡(0,—c)、6(0,c)

222

焦距\F{F2\=2C(C=a+b)

對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

e=-=J1+^T(e>1)

離心率

a\a

b

漸近線方程y=±-xy=+-x

ab

5、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.

6、平面內與一個定點廠和一條定直線/的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.定點萬'稱為拋物線的焦點，定直

線/稱為拋物線的準線.

7、拋物線的幾何性質：

y2=2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標準方程

(0>。)(p>o)(夕>。)(0>。)

fea

圖形務

頂點(0,0)

對稱軸X軸y軸

焦點戶停。）小,一￡l

準線方程X--P-x_p.y=y=

22-22

離心率e=l

范圍x>0x<0y>0y<0

8、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A、B兩點的線段AB,稱為拋物線的“通徑”，即卜2P.

7.橢圓的的內外部

2222

（1）點P（X。,為）在橢圓——+yv=1（。>/?>0）的內部<=>—Y+yy<1.

ab~ab~

2222

（2）點P（x0,y°）在橢圓一=1（。>b>0）的外部=—Y+>1.

abab"

8.直線與圓錐曲線相交的弦長公式［43|=J（%—期）2+（弘一%）2或

|A5|=J(l+%2)(%2—3)2=1%-aIJl+tan2a=|y—必iJl+cot2a(弦端點人(2/1),8(%2，了2)，由

v—kx+b

方程《，一消去y得到af+8工+，=0,。為直線AB的傾斜角，上為直線的斜率).

[F(x,y)=O

9.雙曲線的內外部

2222

(1)點尸(X。,為)在雙曲線一x—七~=1(。>0,Z?>0)的內部—學->1.

ab~a~b-

2222

(2)點PS。,％)在雙曲線[一1=1(4>0，8>0)的外部=烏一冬<1?

a~b~a~b~

10.雙曲線的方程與漸近線方程的關系

2222

(1)若雙曲線方程為「一二=10漸近線方程：「―[=0。y=±?x.

aba-b-a

2222

(2)若雙曲線與二?-5=1有公共漸近線，可設為二-4=入(入〉0,焦點在x軸上，入<0,焦點在

a2b2a2b2

y軸上).

9、焦半徑公式：

若點P伍,為)在拋物線y=2px(p>。)上，焦點為F，則.習=%+日:

若點P(M，yo)在拋物線f=2py(p>0)上，焦點為F,則|PF|=%+日;

第三部分導數及其應用

1、函數/(x)從占到毛的平均變化率：/3)一/(為)

馬—%

2、導數定義：/(x)在點/處的導數記作y|=/,(x。)=1加=%+口一八%)；。

'XBX°As。Ax

3、函數y=〃x)在點不處的導數的幾何意義是曲線>="”在點0&'/■))處的切線的斜率-

4、常見函數的導數公式：

①C=0；②(%")=〃②t；③(sinx)=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(優(yōu))=a"lna；@(eA)=ex；⑦(log.%)=--—；⑧(Inx)

x\nax

5、導數運算法則：

(1)[/(X)土g(x)]'=f'(x)±g'(x).

?

(2)[/(x>g(x)J=r(x)g(x)+/(x)g'(x).

?

/(X)_/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

(g(x)=0)

(3)|_g(x)_[g(x)了

6、在某個區(qū)間(a,。)內，若/'(x)>0,則函數y=〃x)在這個區(qū)間內單調遞增;

若/'(x)<0,則函數y=/(x)在這個區(qū)間內單調遞減.

7、求函數y=/(x)的極值的方法是：解方程r(x)=O.當/'(%)=0時：

⑴如果在飛附近的左側r(x)>o,右側r(x)<o,那么/(不)是極大值；

(2)如果在不附近的左側/'(x)<0,右側r(x)>0,那么/(毛)是極小值.

8、求函數y=/(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟是：

(1)求函數y=/(x)在(。㈤內的極值；

(2)將函數y=/(x)的各極值與端點處的函數值/(。)，/僅)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是

最小值.

9、導數在實際問題中的應用：最優(yōu)化問題。

第四部分復數

1.概念：

(1)z=a+bi￡R=b=0(a,bGR)Oz=z<=>z2>0；

⑵z=a+bi是虛數O厚0(a力GR)；

(3)2=。+句是純虛數0。=0且厚0(2002+2=0(z#))oz2<0；

⑷a+bi=c+di<=>a=c且c=d(a,b,c,dGR)；

2.復數的代數形式及其運算：設zi=a+0i,Z2=c+di(a,4c,dGR),則：

⑴zi土Z2=(a+加土(c+J)i；

(2)z\.zz=(a+bi),(c+di)=Cac-bd)+(ad+bc)i；

(a+bi)(c-di)

(3)Z1.Z2ac+bd+賓，30)；

(c+di)(c-di)c2+d2

3.幾個重要的結論：

(1)(1±02=±2z；(4)_=,；-=-/-；

\-i1+z

(2)i性質：T=4；i4n=l,z4n+l=i,i4n+2=-l,z4n+3=-i；i4n+i4n+'+iM+i4n+3=(y,

-1

(3)|z|=1<=>zz=loz=-Q

4.運算律：(1)Z"'?Z〃=ZEX2)(Z〃T=Z"N3XZ|?Z2)〃'=Z/Z2'"(〃，，〃GN);

5.共施的性質:(1)(2,±z2)=Zj±z2；(2)Zjz2=Zj-z2；(3)(—)==；(4)z=z0

z?z?

7I7I

6.模的性質：（Dllzj-|zIISz,±z國zJ+ZI；⑵|宇21=1z,IIZh⑶⑷|z"|=|z|"；

222Z

z2I2I

第五部分統(tǒng)計案例

1.線性回歸方程

①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；

②制作散點圖，判斷線性相關關系

③線性回歸方程：;=以+〃（最小二乘法）

一〃___

-nxy

b=-^------__

{V2_注意：線性回歸直線經過定點（x,y）。

/=1

a-y-bx

_

Z（Xj-x）（y,.-y）

2.相關系數（判定兩個變量線性相關性）：r=「“.

仕區(qū)—x）2￡（y—?

Vi=li=l

注：⑴r>0時，變量x,y正相關；r<0時，變量x,y負相關；

⑵①|川越接近于1,兩個變量的線性相關性越強；②接近于。時，兩個變量之間幾乎不存在線性相

關關系。

3.回歸分析中回歸效果的判定：

〃-AA〃A

⑴總偏差平方和：Z（y,-y）2⑵殘差：e,=y.一%；⑶殘差平方和：；⑷回歸平方和：

i=l/=1

一〃A

Z（%-y）2-X（w-w）2；⑸相關指數RI。

t*2=-之T—（％-萬:

/=1

注：①卡得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；

②玄越接近于1,,則回歸效果越好。

4.獨立性檢驗（分類變量關系）：

隨機變量K2越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。

第六部分推理與證明

一.推理:

⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有事實,經過觀察、分析、比較、聯想，在進行歸納、類比，然后

提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。

①歸納推理:由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個

別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。

注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。

②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱

為類比推理，簡稱類比。

注：類比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演繹推理：從一般的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。

注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提-----已知的一般結論；⑵小前提------所研究的特殊情況;

⑶結論------根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。

二.證明

1.直接證明

⑴綜合法

一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成

立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因導果法。

⑵分析法

一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯

成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法.

2.間接證明---反證法

一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種

證明方法叫反證法。

選修4-4數學知識點

一、選考內容《坐標系與參數方程》高考考試大綱要求：

1.坐標系：

①理解坐標系的作用.

②了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

③能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別，能進行

極坐標和直角坐標的互化.

④能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程.通過比較這些圖形在

極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.

2.參數方程：①了解參數方程，了解參數的意義.

②能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程.

二'知識歸納總結：

1.伸縮變換：設點P（x,y）是平面直角坐標系中的任意一點，在變換°:J：='r'C＞（）），的作用下，點P（x,y）

,y=〃?y,（〃＞。）.

對應到點P'（x',y'）,稱9為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。

2.極坐標系的概念：在平面內取一個定點。，叫做極點；自極點。引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單

位、一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系.

3.點M的極坐標：設M是平面內一點，極點。與點M的距離10Ml叫做點朋的極徑，記為°；以極軸Ox

為始邊，射線0M為終邊的“M叫做點M的極角，記為6。有序數對（0,6）叫做點M的極坐標，記為

⑼.

極坐標（0,。）與（pf+2k哈*eZ）表示同一個點。極點。的坐標為（0,6）（。eR）.

4.若夕＜o,則—0＞o,規(guī)定點(―Q,e)與點(夕,0)關于極點對稱,即(-p,0)與(夕,%+0)表示同一點。

如果規(guī)定p＞O,O＜0＜27r,那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標3。)表示；同時，極坐標

表示的點也是唯一確定的。

5.極坐標與直角坐標的互化：p-=x2+y2,x=pcosO,

y

y=psinO,tan6=—