2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解直角三角形的應(yīng)用》專項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解直角三角形的應(yīng)用》專項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．某種落地?zé)羧鐖D1所示，立桿垂直于地面，高為，為支桿，它可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中長(zhǎng)為，為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)的長(zhǎng)度，支桿與懸桿之間的夾角為．將支桿繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)調(diào)節(jié)的長(zhǎng)（如圖2），此時(shí)測(cè)得燈泡懸掛點(diǎn)到地面的距離為，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

2．王震將軍銅像不僅是石河子市的重要地標(biāo)，也是軍墾文化的象征，承載著人們對(duì)王震將軍的崇敬和對(duì)軍墾先輩們的緬懷，激勵(lì)著新一代軍墾人傳承和弘揚(yáng)兵團(tuán)精神．某班數(shù)學(xué)實(shí)踐小組想要測(cè)量王震將軍銅像的高度．小組成員討論后，設(shè)計(jì)了如下兩種測(cè)量方案，并畫出相應(yīng)的測(cè)量草圖．備注：兩位同學(xué)的觀測(cè)點(diǎn)C、D到地面的距離相等，線段EF長(zhǎng)表示王震將軍銅像的高度，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)；方案一方案二問(wèn)題解決：請(qǐng)你選擇一種方案計(jì)算王震將軍銅像的高度．（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)：．）3．為了提升全社會(huì)對(duì)古樹的保護(hù)意識(shí)，增強(qiáng)生態(tài)韌性，實(shí)現(xiàn)綠色發(fā)展，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動(dòng)．如圖，在一個(gè)坡度的山坡上發(fā)現(xiàn)一棵古樹，測(cè)得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離米，在距山腳點(diǎn)A水平距離6米的點(diǎn)B處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架的高度為米，在點(diǎn)E處測(cè)得古樹頂端D的仰角（點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，P在同一平面內(nèi)，古樹與直線垂直），求古樹的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）4．在農(nóng)村，許多農(nóng)民把玉米脫皮后，用鐵網(wǎng)圍成一個(gè)如圖1所示的圓柱形玉米垛，上面苫蓋有蓬草，把玉米囤在里邊用于晾曬陰干，這些玉米垛垛在房前屋后、路邊、麥場(chǎng)里，形成了一道獨(dú)特的風(fēng)景線．如圖2，玉米垛截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸垂直于地面，蓬草，，抽取若干玉米后苫蓋的蓬草會(huì)自動(dòng)下垂．若抽取部分玉米后減少，且在B，O，C三點(diǎn)保持在同一水平線的前提下，蓬草端點(diǎn)C下降了多少米？（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）5．為了方便居民出入小區(qū)．小區(qū)業(yè)委會(huì)決定對(duì)大門口的一段斜坡進(jìn)行改造．原坡面是矩形（如圖1）．米．米．斜坡的坡角為計(jì)劃將斜坡改造成坡比為的斜坡（如圖2所示）．坡面的寬度不變．(1)求改造后斜面底部延伸出來(lái)的部分（）的長(zhǎng)度；(2)改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料？6．跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，如圖1是滑雪運(yùn)動(dòng)員在跳臺(tái)上完成動(dòng)作的示意圖，賽道的剖面的一部分可抽象為線段，，滑雪運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)出發(fā)，從起跳點(diǎn)起跳，到點(diǎn)落地．某比賽場(chǎng)地的實(shí)測(cè)參數(shù)如下：（如圖2）①跳臺(tái)豎直高度；②斜坡長(zhǎng)度為，坡角為（與水平面夾角）；③斜坡的坡角為．根據(jù)以上條件，計(jì)算斜坡的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，）7．如圖是一名軍事迷設(shè)計(jì)的小型潛水望遠(yuǎn)鏡的示意圖，，兩個(gè)反光鏡，直線之間的距離為．與平行的一束光線經(jīng)兩個(gè)反光鏡反射后沿射出（即），其中．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，求反光鏡的長(zhǎng)度；(2)若，求點(diǎn)到直線的距離．8．隨著科技的進(jìn)步．人工智能得到了巨大的發(fā)展．如圖是一款機(jī)械臂機(jī)器人．基座與地面垂直，基座米．大臂米．小臂米．大臂與水平線的張角為，小臂與大臂的張角為，其中，．（圖中點(diǎn)線在同一個(gè)平面內(nèi)）(1)求機(jī)械臂機(jī)器人抓手距離地面的最大高度；（精確到0.1米）(2)設(shè)抓手到直線的水平距離為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：）9．2025年3月2日重慶馬拉松順利舉行，據(jù)悉有35000名選手以矯健的步伐丈量“山水之城”，享受馬拉松運(yùn)動(dòng)的樂(lè)趣．小陶和小樂(lè)受到鼓舞，計(jì)劃周末去體育館進(jìn)行體能訓(xùn)練．兩人約定同時(shí)從超市出發(fā)，臨行前小陶決定先到在超市北偏東方向上的圖書館還書后，再到體育館；小樂(lè)則按原計(jì)劃沿正東方向的街道行走400米至報(bào)亭后，再沿北偏東方向走到體育館，已知體育館分別在超市的北偏東方向上和圖書館的南偏東方向上．(1)求報(bào)亭與體育館之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)若小陶步行的平均速度為70米/分，小樂(lè)步行的平均速度為60米/分，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小陶和小樂(lè)誰(shuí)先到達(dá)體育館．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到0.1）10．真實(shí)情境：如圖②，使用無(wú)人機(jī)進(jìn)行航拍，無(wú)人機(jī)在離地面80米的高度水平飛行．無(wú)人機(jī)能夠拍攝到地面上的一座塔樓（如圖①），塔樓的高度為30米．為了獲得最佳的拍攝效果，需要計(jì)算無(wú)人機(jī)與塔樓之間的水平距離，使得無(wú)人機(jī)的攝像頭能夠以的角度對(duì)準(zhǔn)塔樓的頂部．(1)請(qǐng)計(jì)算此時(shí)無(wú)人機(jī)與塔樓頂部的水平距離；(2)如果無(wú)人機(jī)的攝像頭角度調(diào)整為，求無(wú)人機(jī)向左飛行的水平距離．（參考數(shù)據(jù)：）11．圖1是某型號(hào)的挖掘機(jī)，該挖掘機(jī)是由基座、主臂、伸展臂和鉆頭組成．圖2是挖掘機(jī)在某種工作狀態(tài)下的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，為水平地面，鉆頭D點(diǎn)和基座A點(diǎn)在同一水平線，連接，基座高，主臂長(zhǎng)，鉆頭長(zhǎng)，用測(cè)角儀測(cè)得，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，)(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C到地面的距離．(2)求伸展臂的長(zhǎng)度．(結(jié)果保留一位小數(shù))12．綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量位于河兩岸的輪渡船碼頭之間的距離．如圖，在河岸上有兩個(gè)輪渡碼頭M，N，其對(duì)岸上有一個(gè)輪渡碼頭P，已知，，，河岸，互相平行．(1)求河岸，之間的距離（結(jié)果取整數(shù)）；(2)求輪渡碼頭P，M之間的距離和輪渡碼頭P，N之間的距離（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，，取1.4．13．由新海誠(chéng)導(dǎo)演的電影《鈴芽之旅》中有一段情節(jié)：主角鈴芽追趕跑到廢棄游樂(lè)園里摩天輪上的大臣（貓），示意圖如圖所示．：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，鈴芽從點(diǎn)B跑到了點(diǎn)E處，再爬上了一段斜坡EF，接著又跑到了摩天輪的最低點(diǎn)D處．已知她在B處抬頭看向摩天輪最高點(diǎn)C處的仰角為，連接摩天輪最高點(diǎn)C與最低點(diǎn)D并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若點(diǎn)E恰好是邊靠近G點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，斜坡與地面成夾角，路程．那么摩天輪的高約為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：）14．寒假期間，小明和小亮相約在公園進(jìn)行跑步練習(xí)，兩人從公園大門出發(fā)，準(zhǔn)備沿路線跑到終點(diǎn)，一起跑到點(diǎn)后，小明體力不支，準(zhǔn)備走近路，小亮則繼續(xù)按原計(jì)劃路線行進(jìn)，已知點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，米，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)同時(shí)離開點(diǎn)后，小明的速度是每分鐘米，小亮的速度是每分鐘米，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，離開點(diǎn)多少分鐘后，小亮已跑過(guò)點(diǎn)且在小明的南偏東方向上？（結(jié)果精確到）15．如圖，某高樓上有一旗桿，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該高樓的高度，由于有其他建筑物遮擋視線不便測(cè)量，所以測(cè)量員沿坡度的山坡從坡腳的A處前行50米到達(dá)處，測(cè)得旗桿頂部的仰角為，旗桿底部的仰角為（測(cè)量員的身高忽略不計(jì)）．已知旗桿高米，求該高樓OB的高度為多少米．（參考數(shù)據(jù)：）參考答案1．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．過(guò)D作于E，過(guò)C作于F，過(guò)B作于G，在中，根據(jù)，得出，從而求出，得出，最后在中，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出最后結(jié)果即可．【詳解】過(guò)D作于E，過(guò)C作于F，過(guò)B作于G，如圖所示：由題，，，在中，，解得：，∴，∴，∵在中，，∴．答：的長(zhǎng)約為．2．銅像的高度為．【分析】本題考查銳角三角函數(shù)解直角三角形實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意，方案一：由題意得．且，設(shè)，則，再列式，即可求出結(jié)果；方案二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，同理得出，求解即可．【詳解】解：方案一：設(shè)交于點(diǎn)，由題意得．且，四邊形都是矩形，設(shè)，在中，，，在中，，∴，∵，∴，解得，∴，答：銅像的高度為．方案二：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得．且，四邊形都是矩形，設(shè)，在中，，，在中，，，，解得，，答：銅像的高度為．3．古樹的高度約為．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，可求，設(shè)，則，可求，從而可求，，由，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，則四邊形是矩形，山坡上坡度，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，，，在中，，，，；答：古樹的高度約為．4．0.18米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，．在中，求得．在中，求得，相減即可得結(jié)果．【詳解】解：由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，，．在中，，．當(dāng)減少時(shí)，．在中，，，．三點(diǎn)保持在同一水平線，點(diǎn)C下降了約0.18米．5．(1)米(2)立方米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度坡角問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，正確地作出輔助線利用三角函數(shù)定義求解是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米；（2）根據(jù)三角形的面積公式得到平方米，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，如圖所示：∵米，，（米），（米），在中，，∴（米），米，答：改造后斜面底部延伸出來(lái)的部分（）的長(zhǎng)度為米；（2）解：平方米，立方米，答：改建這條斜坡需要立方米的混凝土材料．6．斜坡的長(zhǎng)度約為【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，在中，求出，再在中，求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，．在中，，即．．，．．在中，，即．．答：斜坡的長(zhǎng)度約為．7．(1)反光鏡的長(zhǎng)度為(2)點(diǎn)到直線的距離為【分析】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求出，在中，解直角三角形即可；（2）通過(guò)平行線的性質(zhì)得到．在中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．，．由題意，得，．，．在中，，反光鏡的長(zhǎng)度為；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，．，．，，．在中，，點(diǎn)到直線的距離為．8．(1)米(2)1.1米米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．（1）由題意，當(dāng)抓手距離地面高度最大時(shí)，取最大值，在和中，解直角三角形即可求解；（2）分三種情況討論，畫出圖形，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交過(guò)點(diǎn)的水平線于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作的平行線，交過(guò)點(diǎn)的水平線于點(diǎn)，由題意，當(dāng)抓手距離地面高度最大時(shí)，取最大值，此時(shí)在中，，米，米，，，，在中，，米，米，機(jī)械臂機(jī)器人抓手距離地面的最大高度為：米；（2）解：如圖2，由題意，當(dāng)時(shí)，米，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，四邊形為矩形，米，米；如圖3，當(dāng)時(shí)，，米，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，米，，最小值為：米，如圖4，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，米，的取值范圍為1.1米米．9．(1)報(bào)亭與體育館之間的距離米(2)小陶先到達(dá)體育館【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）認(rèn)真分析題干的條件，得出，，故在中，（米），，然后證明是等腰直角三角形，在中，，即可作答．（2）先分別算出小陶和小樂(lè)經(jīng)過(guò)的路程，再分別除以他們各自的速度，然后比較，即可作答．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，如圖所示：∵體育館分別在超市的北偏東方向上和圖書館的南偏東方向上．∴，依題意，米，∴，在中，（米），，則，∵，∴是等腰直角三角形，∴米，在中，，∴（米），∴報(bào)亭與體育館之間的距離米；（2）解：由（1）得，米，在中，，故（米），則（米），∵∴，在中，（米），在中，，∴（米），則（米），∵米，米，∴（米），∵小陶步行的平均速度為70米/分，小樂(lè)步行的平均速度為60米/分，∴（分鐘），（分鐘），∵∴小陶先到達(dá)體育館．10．(1)無(wú)人機(jī)與塔樓頂部的水平距離為米(2)無(wú)人機(jī)向左飛行的水平距離為米【分析】本題主要考查仰角、俯角問(wèn)題，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，塔樓的底部為點(diǎn)，地面，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，米，米，則米，根據(jù)題意得到是等腰直角三角形，由此即可求解；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得到米，由米，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，塔樓的底部為點(diǎn)，地面，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，米，米，∴米，∵無(wú)人機(jī)的攝像頭能夠以的角度對(duì)準(zhǔn)塔樓的頂部，即，∴是等腰直角三角形，∴米，∴無(wú)人機(jī)與塔樓頂部的水平距離為米；（2）解：米，∴米，∴米，∴米，∴無(wú)人機(jī)向左飛行的水平距離為米．11．(1)，(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．（1）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，利用銳角三角函數(shù)的定義得出，，進(jìn)而得，，再根據(jù)題意代入求值，再將、分別加上底座的高，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作，先證明是矩形，即可得，，得出，再求出，再根據(jù)得，代入計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，∴，，∴，，∵，，，，∴，，∵，∴，，即點(diǎn)B和點(diǎn)C到地面的距離分別為，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴即伸展臂的長(zhǎng)度約為．12．(1)(2)；【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練利用三角函數(shù)的概念列方程是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，則，，解直角三角形列方程即可解答；（2）解直角三角形，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于E，設(shè)，，為等腰直角三角形，設(shè)，則，，在中，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，河岸，之間的距離；（2）解：在中，，在中，，則輪渡碼頭P，M之間的距離為和輪渡碼頭P，N之間的距離為．13．摩天輪的高約為米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，黃