二次函數(shù)變換綜合題分類訓(xùn)練（平移軸對稱旋轉(zhuǎn)）原卷版-2025年重慶中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練

專題16二次函數(shù)變換綜合題分類訓(xùn)練

（平移軸對稱旋轉(zhuǎn)）

目錄

【題型1二次函數(shù)平移綜合題】..................................................................1

【題型2二次函數(shù)軸對稱綜合題】................................................................5

【題型3二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)綜合題1..................................................................................................11

【題型1二次函數(shù)平移綜合題】

1.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a%2+b%+eg40）的圖象與x軸交于4（一1,0）、B（4,0）兩點，與y軸交

于點。（0,2）.

（2）如圖1,點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，連接PC、PB；求當(dāng)APBC的面積最大值及點P的坐標(biāo);

⑶如圖2,在（2）的條件下，連接OP,將拋物線沿射線C8的方向平移得到新拋物線V，使得新拋物線y經(jīng)

過點B,且與直線BC相交于另一點“，點Q為拋物線V上的一個動點，當(dāng)N"BQ=NPOB時，直接寫出符合條

件的所有Q點的坐標(biāo).

2.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a久2+/）久+3與x軸交于點8,C,與歹軸交于點力,其中B（-3,0）

Si圖2備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接力B,點P是直線48上方拋物線上一動點，過點P作PKIIy軸交于點K,過點K作KEly

軸，垂足為點￡,求PK+KE的最大值并求出此時點尸的坐標(biāo)；

⑶如圖2,點尸在拋物線上，且滿足在(2)中求出的點尸的坐標(biāo)，連接PC,將該拋物線向右平移，使得新

拋物線y'恰好經(jīng)過原點，點C的對應(yīng)點是尸，點M是新拋物線y'上一點，連接CM,當(dāng)NMCF+NPCB=135。

時，請直接寫出所有符合條件的點河的坐標(biāo).

3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點。是坐標(biāo)原點，拋物線y=a/+法+6與x軸交于點/、2兩點，與

y軸的正半軸交于點C.已知點4(一2,0)，點B(6,0),連接2c.

備用圖

⑵如圖1,點P為拋物線第一象限內(nèi)的一點，過點P作P。，8c于點。，求正+的最大值及此時點P

的坐標(biāo)；

⑶如圖2,點尸是線段。C的中點，將拋物線沿著射線CB的方向平移2五個單位得到新拋物線，點Q在新拋物

線上，是否存在點Q使立尸8(2+48。。=90。?若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.如圖所示，關(guān)于x的拋物線丫=92_%—3,與x軸從左往右分別交于點/、點8,與夕軸交于點C,連結(jié)

CB.

(2)點P為直線BC下方拋物線上的任意一點，過點尸作PQlx軸交BC于點Q,求PQ+gcQ的最大值及此時

點尸的坐標(biāo);

⑶若將原拋物線向下平移3個單位長度得到新拋物線，新拋物線與/軸交于點E,連結(jié)4C、BE,點〃為新

拋物線上一動點，若N4C0=NBEM,請直接寫出滿足條件的點M的坐標(biāo).

5.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-$+1與拋物線丫=a/-x+3(口力0)交于aB兩點，且點N

在X軸上，直線與y軸交于點C.

⑴求拋物線的表達(dá)式;

(2)P是直線4B上方拋物線上一點，過P作PQIIy軸交直線于點Q,求PQ+爭Q的最大值，并求此時點P的

坐標(biāo);

⑶在(2)PQ+爭Q的最大值的條件下，連接BP,將拋物線沿射線B4方向平移，使得點4在新拋物線的對

稱軸上，M是新拋物線上一動點，當(dāng)NM4B=NBPQ時，直接寫出所有符合條件的點”的坐標(biāo).

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a-+1與無軸交于a,B(i,o)兩點，交y軸于點C,拋物線的

⑴求拋物線的解析式；

⑵點M是直線4C上方對稱軸左側(cè)拋物線上一動點，過點M作MD||x軸交拋物線于點。，作ME||y軸交直線AC

于點E,求+3ME的最大值及此時點M的坐標(biāo)；

⑶將拋物線向右平移3個單位，再向上平移1個單位，得到新的拋物線，在+3ME取得最大值的條件

下，點P為點。平移后的對應(yīng)點，點Q為點2平移后的對應(yīng)點，連接PQ,點R為平移后的拋物線上一點，若△PQR

為以PQ為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點R的坐標(biāo).

7.如圖，已知二次函數(shù)y=aX2+法+4的圖象交無軸于點力(i,o),5(4,0))交y軸于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

⑵若P是直線8c下方拋物線上的一動點，求△BCP面積的最大值；

⑶將拋物線沿射線BC方向平移孝單位得到新的拋物線點M是新拋物線;/對稱軸上一點，點N為平面直角

坐標(biāo)系內(nèi)一點，直接寫出所有以B,C,M,N為頂點的四邊形為矩形的點N的坐標(biāo).

8.如圖，拋物線y=口公+族一2與x軸交于2、B兩點(4在B的左側(cè))，與y軸交于點C,且滿足

OA:OC:OB=6:2:1,連接4C、BC.

⑵如圖L點P是線段4C下方拋物線上的一動點，過點P作PD14C于點。，點E為直線8c上一動點，當(dāng)PD取

最大值時，連接PE,求PE+澤E的最小值；

⑶如圖2,將該拋物線沿射線4c方向平移屈個單位長度，得到新拋物線當(dāng)，點Q是當(dāng)上一動點，是否存在

乙QBC,使得“8C=NBCO+N04C,若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=以2+族_4(61#0)過4(—2,0),其對稱軸為直線x=3,該拋物線

與直線丫=憶％+血(400)交于8、C兩點.其中點8在y軸上，點。在%軸上.

⑴求拋物線的解析式.

⑵如圖1,點P為直線BC下方拋物線上一動點，過點P作PD1A8于點D,連接CD,點F為直線BC上一點，

連接PF.當(dāng)△BCD面積最大時，求點P的坐標(biāo)及而PF+FC最小值.

⑶在（2）的條件下，如圖2,將拋物線沿射線BC方向平移2立個單位得到新拋物線點E是新拋物線y上一動

點，連接CE、PC.當(dāng)乙。。9+228。=90。時，請直接寫出符合條件的點E坐標(biāo).

10.如圖1,拋物線y=X2+6%與%軸交于點4,與直線。8交于點8（4,4），過點力作直線OB的平行線，交拋物

線于點C.

圖1

（1）求拋物線的解析式；

⑵點。為直線4C下方拋物線上一點，過點。作OElx軸交直線。8于點E,過點E作EF14C于點F,連接DF,

求△DEF面積的最大值及此時點。的坐標(biāo).

⑶如圖2,在（2）問條件下，將原拋物線向右平移1個單位，使拋物線再次經(jīng)過（2）問條件下的點。時，

新拋物線與x軸交于點M,N（點M在點N的左側(cè)），與y軸交于點G,連接GD,點P為新拋物線上一點，連接DP

交直線GN于點使得乙DHN=2乙DGN,直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo).

【題型2二次函數(shù)軸對稱綜合題】

11.如圖1,拋物線y=—權(quán)2+6x+c與X軸交于4(一1,0),3兩點，與V軸交于點C(0,2),連接2C、BC.

⑴求拋物線的解析式.

⑵如圖1,點。是第一象限拋物線上一點，點尸是線段BC上一點，且DPII4C,連接力。交于點E,求線段

DP的最大值及此時點D的坐標(biāo).

⑶如圖2,點尸為y軸負(fù)半軸上一點，MSABOF=2SABOC,若點P是線段BC上一點，連接。P,將△OPB沿

直線0P翻折得到△OPB',當(dāng)直線PB'與直線BF相交所成銳角為45。時，求點B'的坐標(biāo).

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+"+3與x軸交于點4(一1,0)、B(4,0)兩點，交y軸于

點C.

圖1

(1)求拋物線的表達(dá)式;

⑵點P是直線8c上方拋物線上的一動點，連接AC,過點P作PDII4C交BC于點。，求線段PD長的最大值及此

時P的坐標(biāo);

⑶在(2)中線段PD長取得最大值的條件下，過P點作BC的平行線，交y軸于點F,將該拋物線向左平移2個

單位長度，再向上平移六單位得到拋物線y',點M為y'上的一動點，過M點作y軸的平行線，交直線PF于

點N,連接MF,將線段MN沿直線MF翻折得到線段MK,當(dāng)點K在y軸上時，請寫出所有符合條件的點K的坐

標(biāo)，并寫出求解點K坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=<2久2+陵+2與%軸交于4（—1,0）,8（4,0）兩點（點/在點B的左

側(cè)），與y軸交于點C.

（2）連接BC,點P直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動點，過點P作PFIIBC交x軸于點尸，PE||x軸交

直線BC于點E,求PE+等PF的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

⑶將原拋物線沿射線方向平移2打個單位得到新拋物y，，點Q為新拋物上y軸左側(cè)的一動點，過點Q作QNIIy

軸，過點C作CN||x軸，直線QN與直線CN相交于點N,連接QC,將AQCN沿直線QC翻折，若點N的對應(yīng)點N'恰

好落在坐標(biāo)軸上，請直接寫出點N'的坐標(biāo)，并選擇一個你喜歡的點寫出求解過程；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a久2+b；r+V§（a羊0）與無軸交于4（一1,0），B（3,0）兩點，與y

軸交于點C,連接AC、BC.

（2）點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點尸作PM||x軸交BC于點過點P作PNII4C交BC于點N,求

PM+PN的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

2

⑶把原拋物線y=ax+bx+V3（ct豐0））沿射線4c方向平移8個單位，點E為平移后新拋物線對稱軸上的

一點，連接BE、CE,將△BCE沿直線BC翻折，使得點E的對應(yīng)點點0落在坐標(biāo)軸上.寫出所有符合條件

的點￡的坐標(biāo).

15.如圖1,拋物線y=—1%2+6x+c與x軸交于4（_i,o）,B兩點，與y軸交于點C（0,2）,連接BC.

（1）求拋物線的解析式.

⑵如圖1,點。是第一象限拋物線上一點，連接4。，交線段BC于點E,求篙的最大值及此時點。的坐標(biāo).

⑶如圖2,點F為y軸負(fù)半軸上的一點，S.SABOF^2SABOC,若點P是線段BC上點，連接。P,將△OPB沿直

線。P翻折得至IJaOPB',當(dāng)直線PB'與直線BF相交所成銳角為45。時，求點夕的坐標(biāo).

16.如圖1,拋物線y=a/+"+c（a大0）與直線y=-*+4的交點分別位于x軸、y軸上的N8兩點，與

x軸的另一交點為。（一2,0>

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2,連接8C,點尸為上方拋物線上一動點，過點P作PQII8C交N8于點0,過點P作PRlx軸

交AB于點R,求△PQR周長最大值及此時點P的坐標(biāo)；

⑶在（2）問條件下，當(dāng)△尸0尺面積最大時，將△P。尺繞點R順時針旋轉(zhuǎn)〃。（0<m<90）,當(dāng)旋轉(zhuǎn)過程中,

PR1AB時，記此時三角形為APiQ/i，再將APiQi%沿直線N5進(jìn)行翻折得到APZQZRZ，將APzQzRz沿直線

N2進(jìn)行平移，在平移過程中，若點P2恰好在拋物線上，記此時的三角形為AP3Q3R3,請直接寫出此時「3的

坐標(biāo).

17.如圖1,已知拋物線y二級-|%-2與久軸交于4B兩點（點/在點B的左側(cè)），與y軸交于點C,點P是拋

圖1圖2

⑴求直線的解析式；

4

（2）當(dāng)PN=？4N時，求點P的坐標(biāo)；

⑶如圖1,在（2）的條件下，過點P作PDlx軸于點D,連接CD,再將y軸右側(cè)的拋物線沿直線CD翻折，交

y軸于點求點H的坐標(biāo).

18.如圖1,已知拋物線y=-圣2+囁+b與％軸交于4B兩點（點4在點B的左側(cè)），與y軸交于點C,點

。是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD,過點。作DH1久軸于點H,過點4作力E14C交的延長線于

點、E.

（1）求線段0E的長度；

⑵如圖2,試在線段4E上找一點F,在線段DE上找一點尸，且點M為直線PF上方拋物線上的一點，求當(dāng)ACPF

的周長最小時，AMPF面積的最大值是多少；

⑶在（2）間的條件下，將得到的ACFP沿直線AE平移得到△CFP',將沿C'P'翻折得到AC'P'F”,記在

平移過稱中，直線F'P'與x軸交于點K,當(dāng)△產(chǎn)曾%為等腰三角形，直接寫出。K的值

19.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=3與%軸交于a、B兩點,與y軸交于點C,點。為該拋

物線的頂點.

（1）求。點的坐標(biāo)及直線BC的解析式;

（2）如圖2,點P為直線BC下方拋物線上一動點，過P作PF||y軸交直線BC于點F,過P作PE1BC交直線BC

于點E,當(dāng)PF-PE最大時，在直線BC上有一條線段MN（點N始終在點M的左下方）且MN=心，連接PM、

PN,求△PMN周長最小值；

⑶如圖3,G為直線GK：y=x-9與拋物線相交所得的橫坐標(biāo)較大的那個交點，H為線段BC上一動點，過H作

HQ1AB,將△&（?//沿收翻折得到△4QH,點4的對應(yīng)點為點4,當(dāng)NHG4—0KG,且點A在線段0B上時,

設(shè)點R是久軸上一點，點r是平面內(nèi)一點，是否存在點R,使得以4、H、R、r為頂點的四邊形是菱形？若存

在，請直接寫出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線^=一92+缶+3與x軸交于/、8兩點（/在3左側(cè)），與了軸交于點

C,拋物線的頂點為D,過點3作8C的垂線，交對稱軸于E.

圖1

（1）如圖1,點尸為第一象限內(nèi)的拋物線上一動點，當(dāng)△加￡面積最大時，在對稱軸上找一點在〉軸上

找一點N,使得OM+MN+NP最小，求此時點M的坐標(biāo)及OM+MN+NP的最小值；

⑵如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點。在射線4D上移動，點。平移后的對應(yīng)點為點/的對應(yīng)點

A',設(shè)原拋物線的對稱軸與x軸交于點尸，將△E8C沿3c翻折，使點尸落在點尸處，在平面上找一點G,

使得以4、D\尸、G為頂點的四邊形為菱形.直接寫出。的坐標(biāo).

【題型3二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)綜合題】

（1）求拋物線的解析式，并求出該拋物線頂點C的坐標(biāo);

（2）若點P是直線2B下方拋物線上一點（不與點A,B重合），則當(dāng)點Z.CBA=^ABP^,求出此時點P的坐

標(biāo)，并求出四邊形4CBP的面積；

⑶若x軸上有一點E（國0）,且EF14B于點F,現(xiàn)將△4EF繞著原點。順時針旋轉(zhuǎn)*0<a<180）得到

△AEF,若旋轉(zhuǎn)過程中，4E'所在直線與4B所在直線交于點G,EF所在直線與力B所在直線交于點”，當(dāng)

△E'GH為等腰三角形時，直接寫出此時a的值，并寫出其中一個值的解答過程.

22.如圖，對稱軸為直線刀=-1的拋物線丫=。（%—4+/口力。）圖象與x軸交于點4、B（點2在點B的左側(cè)）,

與y軸交于點C,其中點B的坐標(biāo)為（2,0）,點。的坐標(biāo)為（0,4>

⑴求該拋物線的解析式;

（2）如圖1,若點P為拋物線上第二象限內(nèi)的一個動點，點M為線段co上一動點，當(dāng)aapc的面積最大時，求

△2PM周長的最小值；

⑶如圖2,將原拋物線繞點4旋轉(zhuǎn)180。，得新拋物線：/,在新拋物線y'的對稱軸上是否存在點Q使得△4CQ為

等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

23.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與無軸交于4（2,0）、8兩點，與y軸交于點C,頂點。的坐標(biāo)為

⑴求拋物線的解析式；

⑵已知直線I：丫=》與拋物線交于后、F兩點（點E在F的左側(cè)），點G為線段EF上的一個動點，過G作y軸的平

行線交拋物線于點“，求GH+GF的最大值及此時點G的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，如圖2,若點G是。F的中點，將AOBG繞點。旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，點B的對應(yīng)點為夕、

點G的對應(yīng)點為G',將拋物線沿直線4F的方向平移（兩側(cè)均可），在平移過程中點。的對應(yīng)點為。，在運動過

程中是否存在點B'和點。'關(guān)于aABF的某一邊所在直線對稱（B'與。不重合），若存在，請直接寫出點B'的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

24.如圖1,已知拋物線y=—#—5+6與x軸交于N,8兩點，/點在8點的左側(cè)，與y軸交于點C.連

接AC、BC,點。是力。的中點，連接CD.

⑴求直線CD的解析式;

(2)已知尸是直線AC上方拋物線上的一個動點，連接PC、PD,求△PCD面積的最大值及此時P點的坐標(biāo)；

⑶如圖2,將過點。的直線/繞點。旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，直線/分別交y軸和拋物線于點M、N,當(dāng)乙BDN=KDCO

的時候，請寫出符合條件的點N的橫坐標(biāo)，并寫出其中一個點橫坐標(biāo)的求解過程.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+6%+。與%軸交于a,B(-4,0)兩點(點4在點B的右側(cè)),

與y軸交于點C(0,2).

(2)如圖1,連接BC,點P為直線BC上方拋物線上(不與B、C重合)的一動點，過點P作PFIIy軸交x軸于點

F,交BC于點E,過點P作PD1BC,垂足為點D,求標(biāo)PD+2PF的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

⑶如圖2,將原拋物線繞線段BC的中點Q旋轉(zhuǎn)180。得到新拋物線/，點N為新拋物線/上一點，在x軸上是否

存在一點M,使得以點Q、C、M、N為頂點的四邊形是以CQ為邊的平行四邊形，若存在，請直接寫出點”的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

26.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+版+8(a#0)與x軸交于點點C(8,0)，與

y軸交于點點。的坐標(biāo)為(0,4>

圖1圖2

⑴求二次函數(shù)的解析式及點/的坐標(biāo).

(2)如圖1,點E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動點，過￡作FEIIy軸，交CD于點R求EF+goF的最大值

及此時點E的坐標(biāo).

⑶如圖2,在（2）的情況下，將原拋物線繞點。旋轉(zhuǎn)180。得到新拋物線;/，點N是新拋物線;/上一點，在

新拋物線上的對稱軸上是否存在一點使得點。，E,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請

直接寫出點M的坐標(biāo)，并寫出其中一個點”的求解過程.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線丫=-/向上平移4個單位，向右平移1個單位得新拋物線月=a

2

%+bx+c^a^oy新拋物線交x軸于點3（點/在點5左側(cè)），交y軸于點C.

（1）求a,b,c的值；

（2）如圖1,點P為直線2c上方新拋物線上一動點，過點P作PQIIx軸交直線2C于點Q.當(dāng)尸0取最大值時,

求點P的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，P0取最大值時，P0交新拋物線的對稱軸于點直線8c交新拋物線的對稱軸于點

N.把RSMNQ繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)a（（r<a<180。）得到RSM'NQ'.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)RtZXM'NQ'的直角

邊與直線N