鶴崗市重點中學(xué)2025屆高三下學(xué)期期初教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷

鶴崗市重點中學(xué)2025屆高三下學(xué)期期初教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．2．已知數(shù)列，，，…，是首項為8，公比為得等比數(shù)列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．43．波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點M滿足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A． B． C．- D．-6．拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．7．設(shè)過定點的直線與橢圓：交于不同的兩點，，若原點在以為直徑的圓的外部，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．8．已知，若方程有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．9．正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點，則（）A． B．1 C． D．210．在等差數(shù)列中，若為前項和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．18011．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．12．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為______.14．已知向量，且，則實數(shù)的值是__________．15．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，如圖是過且垂直于長軸的弦，則的內(nèi)切圓方程是________.16．已知實數(shù)滿足則點構(gòu)成的區(qū)域的面積為____，的最大值為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且、、成等比數(shù)列，.設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）令，證明：.18．（12分）等差數(shù)列的前項和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及前項和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項的和，求證：.19．（12分）已知數(shù)列滿足（），數(shù)列的前項和，（），且，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）求數(shù)列的通項公式．（3）設(shè)，記是數(shù)列的前項和，求正整數(shù)，使得對于任意的均有．20．（12分）如圖，設(shè)橢圓：，長軸的右端點與拋物線：的焦點重合，且橢圓的離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過作直線交拋物線于，兩點，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點，求面積的最小值，以及取到最小值時直線的方程．21．（12分）在中，為邊上一點，，.（1）求；（2）若，，求.22．（10分）已知函數(shù)（1）已知直線：，：.若直線與關(guān)于對稱，又函數(shù)在處的切線與垂直，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時，求證：①；②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當(dāng)時，x在點B處取得最大值，即，得；當(dāng)時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、A【解析】

根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：，，故，，.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列值的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.3、D【解析】

求得定點M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動點M滿足=2，則=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．【點睛】本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題．4、B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.5、A【解析】分析：計算，由z1，是實數(shù)得，從而得解.詳解：復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實數(shù)，所以，即.故選A.點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、D【解析】

設(shè)直線：，，，由原點在以為直徑的圓的外部，可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件，故可設(shè)直線：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直線的斜率的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

求出的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當(dāng)即圖象相切時，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．9、B【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為，得出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解：依題意、是函數(shù)的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列，所以∴.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.10、A【解析】

因為，可得，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時，檢驗可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項.12、B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)．則三人都收到禮物的概率．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】∵=（1，2），=（x，1），則=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），=2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3），∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=1，解得：x=．點睛:由向量的數(shù)乘和坐標(biāo)加減法運算求得，然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），則⊥?a1a2+b1b2=1，∥?a1b2﹣a2b1=1．15、【解析】

利用公式計算出，其中為的周長，為內(nèi)切圓半徑，再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知，，，，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，故有，解得，由，或（舍），所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題，涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識，考查學(xué)生的運算能力，是一道中檔題.16、811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結(jié)合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)?，顯然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,（2）證明見解析【解析】

（1）利用首項和公差構(gòu)成方程組，從而求解出的通項公式；由的通項公式求解出的表達(dá)式，根據(jù)以及，求解出的通項公式；（2）利用錯位相減法求解出的前項和，根據(jù)不等關(guān)系證明即可.【詳解】（1）設(shè)首項為，公差為.由題意，得，解得，∴，∴，∴當(dāng)時，∴，.當(dāng)時，滿足上式.∴（2），令數(shù)列的前項和為.兩式相減得∴恒成立，得證.【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度一般.（1）當(dāng)用求解的通項公式時，一定要注意驗證是否成立；（2）當(dāng)一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式，優(yōu)先考慮采用錯位相減法進(jìn)行求和，同時注意對于錯位的理解.18、（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.（Ⅱ），根據(jù)裂項求和法計算得到得到證明.【詳解】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計算，裂項求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.19、（1）（）．（2），．（3）【解析】

（1）依題意先求出,然后根據(jù),求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;（2）由遞推公式,得,結(jié)合數(shù)列性質(zhì)可得數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系,從而可求出結(jié)果;（3）通過（1）、（2）可得,所以,,,,．記,利用函數(shù)單調(diào)性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解：（1）因為數(shù)列滿足（）①；②當(dāng)時,．檢驗當(dāng)時,成立.所以,數(shù)列的通項公式為（）．（2）由,得,①所以,．②由①②,得,,即,,③所以,,．④由③④,得,,因為,所以,上式同除以,得,,即,所以,數(shù)列時首項為1,公差為1的等差數(shù)列,故,．（3）因為．所以,,,,．記,當(dāng)時,．所以,當(dāng)時,數(shù)列為單調(diào)遞減,當(dāng)時,．從而,當(dāng)時,．因此,．所以,對任意的,．綜上,．【點睛】本題考在數(shù)列通項公式的求法、等差數(shù)列的定義及通項公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最小值為9，.【解析】

（Ⅰ）由已知求出拋物線的焦點坐標(biāo)即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，設(shè)，把直線方程代入拋物線方程，化為的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，由弦長公式得，同理求得點的橫坐標(biāo)，于是可得，將面積表示為參數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【詳解】（Ⅰ）∵橢圓：，長軸的右端點與拋物線：的焦點重合，∴，又∵橢圓的離心率是，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）過點的直線的方程設(shè)為，設(shè)，，聯(lián)立得，∴，，∴．過且與直線垂直的直線設(shè)為，聯(lián)立得，∴，故，∴，面積．令，則，，令，則，即時，面積最小，即當(dāng)時，面積的最小值為9，此時直線的方程為．【點睛】本題考查橢圓方程的求解，拋物線中弦長的求解，涉及三角形面積范圍問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬綜合困難題.21、（1）；（2）4【解析】

（1），利用兩角差的正弦公式計算即可；（2）設(shè)，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】（1）∵，∴，所以，.（2）∵，∴設(shè)，，在中，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴∴.【點睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道容易題.22、（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】

（1）首先根據(jù)直線關(guān)于直線對稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡后得到.【詳解】