高考一輪復(fù)習(xí)-計數(shù)原理排列組合

計數(shù)原理、排列組合要點一、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2方案中有n種不同的方法。那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。要點詮釋：如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中哪一種方法都能完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計數(shù)原理；在解題時，應(yīng)首先分清楚怎樣才算完成這件事，有些題目在解決時需要進(jìn)行分類討論，分類時要適當(dāng)?shù)卮_定分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照分類的原則進(jìn)行，做到不重不漏。2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法。要點詮釋：如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，計算完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理。解題時，關(guān)鍵是分清楚完成這件事是分類還分步，在應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，各個步驟都完成，才算完成這件事，步驟之間互不影響，即前一步用什么方法，不影響后一步采取什么方法，運(yùn)用分步乘法計數(shù)原理，要確定好次序，還要注意元素是否可以重復(fù)選取。3．兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用（1）在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而是可能同應(yīng)用計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運(yùn)用分步完成的，而分步時，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求。另外，具體問題是先分類后分步，還是先分步后分類，應(yīng)視問題的特點而定。解題時經(jīng)常是兩個原理交叉在一起使用，分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分類的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步。（2）對于復(fù)雜問題，只用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理不能解決時，可以綜合應(yīng)用兩個原理，可以先分類，在某一類中再分步，也可先分步，在某步中再分類。類型一、分類計數(shù)原理【例1】某電腦用戶計劃使用不超過500元購買單價分別為60元、70元的電腦軟件和電腦元件，根據(jù)需要，軟件至少買3個，元件至少買2個，則不同的選購方法有（）A.5B.6C.7D.8【總結(jié)升華】選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，作到不重不漏。本題也可以用線形規(guī)劃的整數(shù)解的方法解決?！纠?】.在所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?舉一反三：【變式1】將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）A．18種B．12種 C．10種 D．4種【變式2】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A、B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種。類型二、分步計數(shù)原理【例3】某體育彩票規(guī)定：從01到36共36個號中抽出7個號為一注，每注2無。某人想先選定吉利號18，然后從01到17中選3個連續(xù)的號，從19到29中選2個連續(xù)的號，從30至36中選1個號組成一注。若這個人要把符合這種要求的號全買下，至少要花多少元錢？【總結(jié)升華】解題時，關(guān)鍵是分清楚完成這件事是分類還分步，在應(yīng)用分步計數(shù)原理時，各個步驟都完成，才算完成這件事，步驟之間互不影響，運(yùn)用分步計數(shù)原理，要確定好次序，還要注意元素是否可以重復(fù)選取?！纠}4】己知六個函數(shù):①;②;③;④;⑤;⑥,從中任選三個函數(shù),則其中既有奇函數(shù)又有偶函數(shù)的選法共有_______種.舉一反三：【變式1】（1）四名運(yùn)動員爭奪三項冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？（2）四名運(yùn)動員參加三項比賽，每人限報一項，不同的報名方法有多少種？【點評】弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前提和條件.這兩個原理都是指完成一件事而言的.其區(qū)別在于：（1）分類計數(shù)原理是“分類”，分步計數(shù)原理是“分步”；（2）分類計數(shù)原理中每類辦法中的每一種方法都能獨立完成一件事，分步計數(shù)原理中每步中每種方法都只能做這件事的一步，不能獨立完成這件事.【變式2】小明同學(xué)要從教學(xué)樓的一層到四層，已知從第一層到第二層有4個扶梯可走，從第二層到第三層有3個扶梯可走，從第三層到第四層有2個扶梯可走，那么小明同學(xué)從第一層到第四層有多少種不同的走法？【變式3】從－1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有_____________個，其中不同的偶函數(shù)共有_____________個.（用數(shù)字作答）要點二、排列與組合基礎(chǔ)知識定義、公式排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義1．排列：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。2．排列數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)。1．組合：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。2．組合數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。公式排列數(shù)公式組合數(shù)公式性質(zhì)（1）（2）備注要點詮釋：區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看所選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，否則是組合問題。排列數(shù)、組合數(shù)計算（1）排列數(shù)公式：右邊第一個因數(shù)為n，后面每個因數(shù)都比它前面那個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是nm+1,共m個因數(shù)。公式主要用于含有字母的排列數(shù)的式子的變形與論證；（2）組合數(shù)公式有乘積形式與階乘形式兩種，與排列數(shù)公式的應(yīng)用一樣，前者多用于數(shù)字計算，后者多用于對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證。還應(yīng)注意組合數(shù)公式的逆用，即由寫出。要點詮釋：在排列數(shù)、組合數(shù)計算過程要注意階乘的運(yùn)算及組合數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，注意含有排列數(shù)或組合數(shù)的方程都是在某個正整數(shù)范圍內(nèi)求解。類型三、排列數(shù)、組合數(shù)計算【例5】計算下列各式的值（1）（2）（3）【總結(jié)升華】在排列數(shù)、組合數(shù)計算過程要注意階乘的運(yùn)算及組合數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，注意含有排列數(shù)或組合數(shù)的方程都是在某個正整數(shù)范圍內(nèi)求解。舉一反三：【變式1】解方程：（1）；（2）.要點三、排列應(yīng)用題求排列應(yīng)用題的主要方法有：（1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算；（2）特殊元素（或位置）優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；（3）排列、組合混合問題先選后排的方法；（4）相鄰問題捆綁處理的方法。即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列；（5）不相鄰問題插空處理的方法。即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中；（6）分排問題直排處理的方法；（7）“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法；（8）定序問題除法處理的方法。即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列；（9）正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法。要點四、組合應(yīng)用題組合問題常有以下兩類題型變化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取。（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解。用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理。要點五、排列、組合應(yīng)用題1.排列、組合問題幾大解題方法：①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進(jìn)行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應(yīng)著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應(yīng).即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為.2.解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點：（1）仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分類；（2）深入分析，嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辯證思維，多角度分析，全面考慮；（3）對限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡單的基本問題后用兩個計數(shù)原理來解決；（4）由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決方案是否完備，有無重復(fù)和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同。在對排列組合問題分類時，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。（5）排列組合綜合題目，一般是符合要求的元素取出（組合）或進(jìn)行分組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列。其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)。類型四、排列組合常見問題及解法一、分析題意明確是分類問題還是分步問題，是排列還是組合問題【例6】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)。（1）選其中5人排成一排；（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；（4）全體排成一排，男生互不相鄰；（6）全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人?！究偨Y(jié)升華】計數(shù)原理的應(yīng)用問題，采用特殊位置優(yōu)先考慮的原則，注意分類與分步計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力。舉一反三：【變式1】某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法?【變式2】從1，2，3，……17，18，這18個數(shù)中，任意取出3個，滿足3個數(shù)的和恰好被3整除，這樣的取法共有多少種？【變式3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.二、特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮【例7】六人站成一排，求(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)【思路點撥】先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而要考慮分類?！究偨Y(jié)升華】站隊問題是排列組合中的典型問題，解題時，要先從特殊元素和特殊位置入手。舉一反三：【變式1】由四個不同的數(shù)字1，2，4，x組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少個？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少個？（3）若x=0，其中的偶數(shù)共有多少個？（4）若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252，求x．三、捆綁與插空【例8】停車場有一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是_____種。舉一反三：【變式1】有n個不同的小球和n個不同的小盒，現(xiàn)將這n個小球放入到小盒中，恰有1個空盒的放法共有多少種？【變式2】馬路上有編號為1，2，3，……，10十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？四、間接法【例9】從10人中選4人參加一個會議，其中甲、乙、丙三人中至少有1人參加的與會方法有多少種？【總結(jié)升華】對于某些排列組合問題的正面情況較復(fù)雜而其反面情況卻較簡單時，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面的情況，一般含有“至多”、“至少”、“所有”等詞的問題采用間接法。舉一反三：【變式1】正方體8個頂點中取出4個，可組成多少四面體？【變式2】7人選5人排成一隊，其中甲不能排在中間，有多少種不同的排法?五、隔板法【例10】把20臺電腦分給18個村，要求每村至少分一臺，共有多少種分配方法?【總結(jié)升華】對于相同元素的分配問題，常采用隔板法，靈活運(yùn)用隔板法能處理一些較復(fù)雜的排列組合問題,但使用時有三點要求：①元素相同；②每組均“非空”,即每組中至少分一個元素；③不能有剩余元素。舉一反三：【變式1】15個相同的球，放入標(biāo)有1，2，3，4的四個盒子內(nèi)，求分別滿足下列條件的放法種數(shù)：(1)每個盒子放入的球數(shù)不小于盒子的號碼；(2)15個球隨意放入四個盒，使得每個盒子不空。六、定序問題【例11】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法？【總結(jié)升華】當(dāng)某些元素次序一定時，先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列，解題方法是：n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法。舉一反三：【變式1】有4名男生、5名女生，全體排成一行，甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定，有多少種不同的排法