第02講 集合間的基本關(guān)系（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第02講集合間的基本關(guān)系【人教A版2019】·模塊一集合的子集·模塊二集合相等與空集·模塊三集合間關(guān)系的性質(zhì)·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一集合的子集1．子集的概念定義一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法

與讀法記作(或)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結(jié)論(1)任何一個集合是它本身的子集，即；

(2)對于集合A,B,C，若，且，則2．真子集的概念定義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作(或)圖示結(jié)論(1)且，則；

(2)，且，則【注】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)對于集合A，B，C，若AB，BC，則AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，則AB.【考點1子集、真子集的確定】【例1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合A=x?4<x<2的一個真子集可以為（A．3 B．x?1<x<3 C．0 D．【解題思路】由真子集的定義對選項一一判斷即可得出答案.【解答過程】3?A=x2.5?A={x|?4<x<2}，故B錯誤；因為x?4<x<2是集合A=0是集合A=x故選：C.【例1.2】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）在下列集合中，1,2,3是其真子集的是（

）A．1,2,3 B．2,3,4,5C．xx>0 D．【解題思路】根據(jù)真子集定義判斷已知集合與各項集合的包含關(guān)系即可.【解答過程】1,2,3是自身的子集，A錯；2,3,4,5、xx>1與1,2,31,2,3xx>0故選：C.【變式1.1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，則a+b等于（

A．1 B．3 C．4 D．6【解題思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答過程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b所以a+b+a+b=12，解得a+b=6.故選：D.【變式1.2】（23-24高一·全國·假期作業(yè)）已知集合A={1,2,3}，則下列集合中是集合A的真子集的是（

）A．{1,2,3} B．{2,3} C．{?1,2,3} D．{1,2,3,4}【解題思路】根據(jù)真子集的定義一一判斷即可.【解答過程】對A，兩集合相等，故A選項不是集合A的真子集，對B，由真子集定義知，{2,3}是集合A的真子集，C和D選項的集合里含有不屬于集合A的元素，故C,D錯誤，故選：B.【考點2\o"判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)"\t"/gzsx/zj135317/_blank"集合的子集（真子集）的個數(shù)問題】【例2.1】（23-24高三下·四川成都·階段練習(xí)）已知集合A=1,2,B=2,3，則集合C=A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】計算出集合C的元素后可得其子集的個數(shù).【解答過程】C=3,4,5故選：D.【例2.2】（23-24高三上·安徽·期中）若集合P=xm2?2m<x<3,x∈Z有7個真子集，則實數(shù)A．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,2【解題思路】根據(jù)集合P有7個真子集，由集合P中包含3個元素求解.【解答過程】解：因為集合P有7個真子集，所以集合P中包含3個元素，所以?1≤m解得0<m<2.故選：A.【變式2.1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合A=x∣x2?3x+2=0,B={x∣?1<x<5,x∈N}，則滿足AA．8 B．7 C．4 D．3【解題思路】確定集合A,B的元素，根據(jù)A?C?B，可判斷集合C等價于集合0,3,4的非空子集，由此可得答案.【解答過程】由題意得A=1,2又A?C?B，所以1,2∈C，所以集合C等價于集合0,3,4的非空子集，所以集合C的個數(shù)為23故選：B.【變式2.2】（2024·黑龍江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定義集合：A?B=x,yx∈A,y∈B，則集合A．16 B．15 C．14 D．13【解題思路】先確定集合A?B有四個元素，則可得其非空子集的個數(shù).【解答過程】根據(jù)題意，A?B=x,y則集合A?B的非空子集的個數(shù)是24故選：B.模塊二模塊二集合相等與空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.2．空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.3．Venn圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點：形象直觀.(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.【考點1集合相等問題】【例1.1】（2022·遼寧·二模）已知集合M={1,0}，則與集合M相等的集合為（

）A．(x,y)x?y=?1x+y=1 C．xx=(?1)n【解題思路】求出每個選項的集合，即可比較得出.【解答過程】對A，(x,y)x?y=?1對B，{(x,y)∣y=x?1對C，xx=對D，yy=故選：D.【例1.2】（23-24高二上·云南大理·期末）設(shè)集合A=1,a,B=1,2，若A=B，則實數(shù)aA．1 B．2 C．0 D．?1【解題思路】根據(jù)集合A=B即可求解.【解答過程】由題意知A=1,a，B=因為A=B，所以a=2，所以B正確.故選：B.【變式1.1】（23-24高一上·上海奉賢·階段練習(xí)）設(shè)Q所示有理數(shù)集，集合X=xx=a+b2,a,b∈Q,x≠0，在下列集合中：①2xx∈X；②x2x∈X；③1A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【解題思路】根據(jù)集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案【解答過程】對于①：集合2xx∈X，則2(a+b解得p=2a,q=2b，即a=p2,b=對于②：集合x2x∈X，則a+b2對于③：集合1xx∈X，1a+b對于④：?1?2∈X，但方程?1?2=x2無解，則故選：D.【變式1.2】（23-24高一上·全國·期末）已知m∈R，n∈R，若集合m,nm,1=mA．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得m,n，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】因為m,n所以nm=0m=m+nm當(dāng)m=1時，不滿足集合元素的互異性，故m=?1，n=0，m2023故選：B.【考點2空集的判斷、性質(zhì)及應(yīng)用】【例2.1】（23-24高一上·江西贛州·階段練習(xí)）下列四個集合中，是空集的是（

）A．{x|x+3=3} B．{x|C．{x|x2?x+1=0,x∈R}【解題思路】利用空集的定義直接判斷選項是否是空集，即可．【解答過程】解：∵x+3=3，∴x=0，所以{x|x+3=3}={0}，A不是空集．∵x2?0，∴x=0∵x2?x+1=0，x∈R，Δ=∵y2=?x2，x，y∈R，即y故選：C．【例2.2】（22-23高一上·河南南陽·階段練習(xí)）下列四個命題：①空集沒有子集；②空集是任何一個集合的真子集；③?＝{0}；④任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)空集的定義和性質(zhì)判斷即可.【解答過程】因為空集是其本身的子集，故①錯誤；空集只有本身一個子集，故②④錯誤；空集沒有元素，而集合{0}含有一個元素0，故③錯誤．故正確命題個數(shù)為0.故選：A.【變式2.1】（23-24高一上·上海寶山·期中）已知六個關(guān)系式①?∈{?}；②??≠{?}；③{0}?≠?；④0??；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)空集的性質(zhì)、元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷各關(guān)系式的正誤.【解答過程】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：?是{?}的一個元素，故?∈{?}，①正確；?是任何非空集合的真子集，故??≠{?}?沒有元素，故0??，④正確；且?≠{0}、?≠{?}，⑤錯誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C.【變式2.2】（22-23高一上·天津和平·階段練習(xí)）下列四個說法中，正確的有（

）①空集沒有子集；②空集是任何集合的真子集；③若??A，則A=?；④任何集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解題思路】根據(jù)空集的性質(zhì)判斷即可.【解答過程】①空集是任何集合的子集，所以①錯；②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯；③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以③錯；④空集只有自己本身一個子集，所以④錯.故選：A.【考點3集合關(guān)系的Venn圖表示】【例3.1】（23-24高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A與B的關(guān)系如圖所示，則集合BA．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【解題思路】由圖可得B?A，由選項即可判斷.【解答過程】解：由圖可知：B?A，∵A=1,2,3由選項可知：1,3?A故選：D.【例3.2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正確表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是（

）A． B．C． D．【解題思路】化簡集合，判斷集合M,N沒有包含關(guān)系，即可得出答案.【解答過程】∵M={?1,0},N={x∣x(x?1)=0}={0,1}，∴集合M,N沒有包含關(guān)系故選：A.【變式3.1】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn圖能正確表示集合M={0,1,2}和N=xx2A．

B．

C．

D．

【解題思路】確定集合M，N的關(guān)系，然后選擇合適的圖象即可.【解答過程】N=xx2所以NM，選項B符合，故選：B.【變式3.2】（2024高一·上?！ｎ}練習(xí)）已知集合U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}關(guān)系的文氏圖是（）A． B．C． D．【解題思路】先求得集合N，判斷出M,N的關(guān)系，由此確定正確選項.【解答過程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N?M，所以選B.故選：B.模塊三模塊三集合間關(guān)系的性質(zhì)1．集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AA.(2)對于集合A，B，C，①若AB，且BC，則AC；②若AB，B=C，則AC.(3)若AB，A≠B，則AB.【考點1判斷集合間的關(guān)系】【例1.1】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）已知集合A=1,2，A?B，則B可以為（

A．3 B．1,3,4 C．2 D．1,2,3【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系即可求解.【解答過程】由A=1,2，A?B可知：B可以為1,2,3故選：D.【例1.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設(shè)集合A=?1,0,1,B=y∣y=A．A?B B．A?B C．A=B D．B=?【解題思路】求出B，即可得出兩集合之間的關(guān)系.【解答過程】由題意，在B=y∣y=x2,x∈A中，∴B=0,1，∴A?B故選：B.【變式1.1】（22-23高一上·湖南株洲·開學(xué)考試）已知集合A=xx=kA．AB B．BA C．A=B D．A與B關(guān)系不確定【解題思路】將集合A,B中的形式通分，再分析集合的包含情況即可.【解答過程】A=xx=2k+14,k∈Z,B=x故選：A.【變式1.2】（22-23高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A?B?C B．A?C?BC．C?B?A D．C?A?B【解題思路】先化簡集合A,B,C,再結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷集合間關(guān)系即可.【解答過程】依題意，A={x|x=k+66,k∈C={x|x=4k+36,k∈Z}={x|x=因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C?B，集合B中的每一個元素都是集合A中的元素，即B?A，所以C?B?A.故選：C.【考點2根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)】【例2.1】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知A=x|(1)若A?B，求a的值；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）先求出集合A，再利用條件A?B，根據(jù)集合與集合間的包含關(guān)系，即可求出a值；（2）對集合B進行分類討論：B=?和B≠?，再利用集合與集合間的包含關(guān)系，即可求出a的范圍；【解答過程】（1）由方程x2?2x?8=0，解得x=?2所以A=?2,4，又A?B，B=所以B=?2,4，即方程x2+ax+a2利用韋達定理得到：?2+4=?a，即a=?2；（2）由已知得A=?2,4，又B?A所以B=?時，則Δ=a2?4(a2?12)<0當(dāng)B≠?時，若B中僅有一個元素，則Δ=a2?4(a當(dāng)a=4時，B=?2，滿足條件；當(dāng)a=?4時，B=若B中有兩個元素，則B=A，利用韋達定理得到，?2+4=?a(?2)×4=a2綜上，實數(shù)a的取值范圍是a≥4或a<?4或a=?2.【例2.2】（22-23高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知集合A=x|x(1)若集合A=B，求實數(shù)(2)若集合C?A，求實數(shù)【解題思路】（1）先化簡集合A=x|x2?8x+12=0，然后根據(jù)條件（2）由條件集合C?A知，集合C中至多有2個元素，對集合C=x|a【解答過程】（1）易知集合A=x|x2?8x+12=0=2,6，∴由A=B（2）（1）當(dāng)a=0時C=6滿足（2）當(dāng)a≠0時①當(dāng)Δ=1?24a<0即a>124時，C=?滿足C?A②當(dāng)Δ=1?24a=0即a=124時，C=③當(dāng)Δ=1?24a>0即a<124時，滿足C?A，只能C綜上所述：a>124或【變式2.1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合M=x(1)若N=xm≤x≤2m?2，N?M，求實數(shù)(2)若N=xm?6≤x≤2m?1，M?N，求實數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)題意，由N?M，分類討論當(dāng)N=?和N≠?兩種情況，解不等式即可得出實數(shù)m的取值范圍；（2）根據(jù)題意，由M?N，得出2m?1>m?6m?6≤?12m?1≥4，解不等式即可求實數(shù)【解答過程】（1）解：由題可知M=x?1≤x≤4，N=x①若N=?，則m>2m?2，即m<2；②若N≠?，則m≤2m?2?1≤m2m?2≤4，解得：綜合①②，得實數(shù)m的取值范圍是mm≤3（2）解：已知M=x?1≤x≤4，N=x則2m?1≥m?6m?6≤?12m?1≥4，解得：所以實數(shù)m的取值范圍是m5【變式2.2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合A=1,3,x，（1）若集合M=1,4,y，A=M，求x+y（2）是否存在實數(shù)x，使得B?A?若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）根據(jù)A=M，兩個集合元素相同列方程組，解方程組求得x,y的值，進而求得x+y的值.（2）根據(jù)B是A的子集，分別令2?x=3和2?x=x，解方程，然后根據(jù)集合元素的性質(zhì)，判斷出符合題意的x【解答過程】（1）由題可知x=4,y=3,所以x=16,y=3,（2）假設(shè)存在實數(shù)x使得B?A，則2?x=3或2?x=x若2?x=3，則x=?1，此時x沒有意義，舍去.若2?x=x，則2?x2=x2，化簡得x當(dāng)x=1時，不符合集合中元素的互異性，舍去.故不存在實數(shù)x，使得B?A.模塊四模塊四課后作業(yè)一、單選題1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合A=x∈Z0<x<3A．0,1 B．x0<x<2 C．x0<x<3 【解題思路】先化簡集合A，結(jié)合選項可得答案.【解答過程】因為A=x∈Z0<x<3=1,2，所以A故選：D.2．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）設(shè)集合A=xA．2∈A B．C．0?A D．【解題思路】根據(jù)元素與集合以及集合子集的定義即可結(jié)合選項求解.【解答過程】A=x所以2?A，0?A，故選：C.3．（22-23高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）下列表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)} B．M={(x,y)|2x+y=1}，N={y|2x+y=1}C．M={1,2}，N={2,1} D．M={2,4}，N={(2,4)}【解題思路】根據(jù)集合的概念及相同集合的性質(zhì)判斷各選項集合是否相同即可.【解答過程】A：集合M,N中的元素不為同一個點，不是同一集合，故A錯誤；B、D：集合M,N的元素不同，一個是數(shù)，一個是實數(shù)對，不是同一集合，故BD錯誤；C：根據(jù)集合元素的無序性，可知集合M=N，即為同一集合，故C正確；故選：C.4．（23-24高一上·重慶長壽·期末）下列命題中，正確的個數(shù)有（

）①A?A；②0∈0,1,2；③著名的運動健兒能構(gòu)成集合；④0=?；⑤?AA．1 B．2 C．3 D．5【解題思路】應(yīng)用集合與集合的包含關(guān)系，元素與集合的屬于關(guān)系，集合的確定性，無序性，空集的含義及空集與集合的關(guān)系即可判斷.【解答過程】易知A?A，故①正確；00,1,2，故②錯誤；著名的運動健兒，元素不確定，不能構(gòu)成集合，故③錯誤；0表示有一個元素0的集合，不是空集，④錯誤；空集是任意非空集合的真子集，若A為空集，⑤錯誤；0,1,2=2,1,0，故故選：B.5．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知空集x|x2?x+a=0，則實數(shù)aA．?∞,?1C．14,+∞【解題思路】根據(jù)二次方程無解等價于判別式小于0計算即可.【解答過程】由題意，二次方程x2?x+a=0無解，故1?4a<0，解得故選：D.6．（2024·寧夏·一模）已知集合A=?1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，則集合A．4 B．7 C．8 D．15【解題思路】先求出集合B，再求真子集個數(shù)即可.【解答過程】由題意得B=x故集合B的真子集個數(shù)為23故選：B.7．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知集合M=x1<x<a，N=x2<x<6，若N?M，則A．a(chǎn)a≥6 B．C．a(chǎn)a≤6 D．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系列式求解即得.【解答過程】集合M=x1<x<a，N=x2<x<6，由所以a的取值范圍是aa≥6故選：A.8．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M?A?N，則滿足集合A．4 B．6 C．7 D．8【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.【解答過程】因為M?A?N，所以A可以是1,2,3,故選：D.二、多選題9．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）關(guān)于下圖說法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同【解題思路】由圖形可知集合間的包含關(guān)系，對選項中的結(jié)論進行判斷.【解答過程】由韋恩圖可得，ABU，且A≠?，結(jié)合真子集的定義可知，集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A選項正確；集合A、B、U中有相同的元素，B選項正確；集合U中有元素不在集合B中，C選項正確；集合A、B、U不相等，D選項錯誤.故選：ABC.10．（23-24高一上·廣東佛山·期中）已知集合A=x?1≤2x?1≤5,x∈Z，則下列說法正確的有（A．1∈A B．2,3?A C．A中有3個元素 D．A有16【解題思路】解不等式可求得集合A，由集合與元素關(guān)系、子集和真子集定義依次判斷各個選項即可.【解答過程】由?1≤2x?1≤5得：0≤x≤3，又x∈Z，∴A=0,1,2,3對于A，由A=0,1,2,3知：1∈A對于B，∵2∈A，3∈A，∴2,3對于C，由A=0,1,2,3知：A中有4對于D，∵A中有4個元素，∴A有24故選：AB.三、填空題11．（23-24高一上·四川內(nèi)江·期末）已知集合M=x∈N2x?3<2，則M的非空子集的個數(shù)是【解題思路】求出集合M中元素個數(shù)，再利用子集個數(shù)公式求解.【解答過程】M=x∈集合M中有3個元素，則M的非空子集的個數(shù)是23故答案為：7.12．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）設(shè)集合A={?1,1}，集合B＝{x|x2?2ax+b=0}，若B≠?且B?A，則實數(shù)ab=【解題思路】且B?{?1,1}，∴關(guān)于x的方程x2?2ax+b=0的根只能是?1或1，但要注意方程有兩個相等根的條件是【解答過程】∵B=x∣x2∴B={?1}或B={1}或B={?1,1}．當(dāng)∴B={?1}時，Δ=4a2解得a=?1,b=1.則ab=?1；當(dāng)B={1}時，Δ=4a2解得a=b=1.則ab=1當(dāng)B={?1,1}時，有(?1)+1=2a,(?1)×1=b，解得a=0,b=?1.則ab=0；所以ab=0或?1或1.故答案為：0或?1或1.四、解答題13．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）判斷下列各組中兩個集合之間的關(guān)系：