醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、項(xiàng)目4 參數(shù)估計(jì),學(xué)習(xí)目標(biāo) 學(xué)習(xí)目的 醫(yī)藥學(xué)研究中常常從總體中隨機(jī)抽取樣本進(jìn)行研究，目的是通過樣本的研究去推斷總體，稱為統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷包括兩個(gè)重要方面：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。通過學(xué)習(xí)參數(shù)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)法，能夠正確地進(jìn)行總體參數(shù)估計(jì)，對(duì)總體做出推斷。 知識(shí)要求 熟悉點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的概念和基本思想；掌握點(diǎn)估計(jì)的矩估計(jì)法；熟悉估計(jì)量的優(yōu)良衡量標(biāo)準(zhǔn)；掌握正態(tài)總體參數(shù)（均值和方差）的置信區(qū)間的求法。 能力要求 熟練掌握正態(tài)總體參數(shù)（均值和方差）的區(qū)間估計(jì)的有關(guān)計(jì)算；學(xué)會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)臨界值表和 分布表。,任務(wù)1 總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)與優(yōu)良性 一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 定義1 設(shè)總體X的分布函數(shù)

2、形式為已知， 是待估參數(shù)， 是X的一個(gè)樣本， 是相應(yīng)的一個(gè)樣本值。所謂點(diǎn)估計(jì)問題就是要構(gòu)建一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量 ，用其觀察值 作為未知參數(shù) 的近似值來估計(jì)未知參數(shù) ，稱 為 的估計(jì)量， 為 的估計(jì)值。簡記為 ，這類對(duì)于參數(shù)值的估計(jì)稱為點(diǎn)估計(jì)。,定義2 矩是描述隨機(jī)變量最簡單的數(shù)字特征，是以均值為基礎(chǔ)的數(shù)字特征，均值是一階矩，方差是二階中心矩?？傮w期望值（均值） 、總體方差 與總體標(biāo)準(zhǔn)差 的矩估計(jì)量分別是,二、矩估計(jì)法,例1 對(duì)糖尿病患者隨機(jī)選取10名經(jīng)檢驗(yàn)空腹血糖水平的測定值(mmol/L)為5.47，6.17，6.42，6.56，6.62，6.81，7.12，7.20，8.41，8.53。假定該

3、批患者的空腹血糖值服從正態(tài)分布 ，其中 ， 分別是正態(tài)總體的均值和方差。試求該批患者空腹血糖均值和方差的點(diǎn)估計(jì)值。,解 由10名空腹血糖的實(shí)測值計(jì)算得： 樣本均值 =6.331 樣本方差 =4.657 故 的點(diǎn)估計(jì)值是的點(diǎn)估計(jì)值是 的點(diǎn)估計(jì)值是,三、估計(jì)量優(yōu)良的衡量標(biāo)準(zhǔn) (一)無偏性 定義3 設(shè)參數(shù) 的估計(jì)量 的數(shù)學(xué)期望 存在且等于 ，即 ，稱是 的無偏估計(jì)量，否則稱為有偏估計(jì)量。,例2 設(shè)總體X服從任意分布，且總體X的均值 ，方差 ， 是取自該總體的樣本，證明 （1）樣本均值 是總體均值 的無偏估計(jì)量； （2）樣本方差 是總體方差的無偏估計(jì)量。,證 樣本 相互獨(dú)立，與總體服從相同分布，可以得

4、 （1）根據(jù)數(shù)學(xué)期望性質(zhì)可得 所以， 是 的無偏估計(jì)量： （2） 根據(jù)樣本方差公式可得,利用關(guān)于方差的定理得 因此使用數(shù)學(xué)期望的定理得,所以， 是 的無偏估計(jì)量：,（二）有效性,定義4 設(shè) 與 都是參數(shù) 的無偏估計(jì)量，如果 則稱比更有效。 例4 設(shè) 與 都是總體均值 的無偏估計(jì)量，證明樣本均值 比總體均值 的另一個(gè)無偏估計(jì)量 更有效。,任務(wù)2 區(qū)間估計(jì)概述 定義5 設(shè)總體X的分布函數(shù) 中含有未知參數(shù) ，對(duì)于給定的概率 值，由樣本 確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 和 且 ，有 則稱隨機(jī)區(qū)間 為參數(shù) 的置信度為 的置信區(qū)間。,任務(wù)3 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),一、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì) 對(duì)正態(tài)總體均值 的區(qū)間估計(jì)

5、分為正態(tài)總體方差 已知和未知兩種情況。 （一） 已知時(shí)正態(tài)總體均值 的區(qū)間估計(jì) 因?yàn)?對(duì)于給定的置信度 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值表可得臨界值 使得： 可得 由此得,于是得到總體均值 的置信度為 的置信區(qū)間為： 簡寫為 ：,案例1 某藥廠隨機(jī)抽取12名新入學(xué)的學(xué)生，用某批號(hào)結(jié)核菌素作皮試，皮膚浸潤直徑為正態(tài)總體 ，測得該12名新生皮膚浸潤直徑分別為（單位：mm）： 8.8 9.1 8.7 10.3 7.6 8.4 9.3 11.2 10.7 11.6 8.2 8.7 試求該批號(hào)結(jié)核菌素皮試平均浸潤直徑的均值 的95%置信區(qū)間。,解 計(jì)算樣本均值 因?yàn)橹眯哦?得 ，查附表2得 ，又n=12， 故 所

6、以該批號(hào)結(jié)合菌素皮膚平均浸潤直徑的均值 的95%置信區(qū)間為（8.77，10.03）。,（二） 未知時(shí)正態(tài)總體均值 的區(qū)間估計(jì) 由于 未知，可以用 的無偏估計(jì) 代替 ，得到樣本統(tǒng)計(jì)量：,由于t分布曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)于已給的置信度 ，結(jié)合其自由度df=n-1，查t分布的臨界值表，得臨界值 ，使得： 于是 即,即 故總體均值 的置信度為 的置信區(qū)間為 : 簡寫為 :,案例2 某醫(yī)師為了認(rèn)證某新研制的安眠藥的療效，從已確認(rèn)的神經(jīng)衰弱的病人中隨機(jī)抽取25例病人服用該種新藥，計(jì)算得到平均睡眠時(shí)間為6.42小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為2.17小時(shí)。如果該藥治療的平均睡眠時(shí)間近似服從正態(tài)分布，試求該藥治療的平均睡眠時(shí)間的

7、95%置信區(qū)間。 解 已知 ,自由度 df=n-1=25-1, 查附表4得 :,由此得 : 所以該藥治療的平均睡眠時(shí)間的95%的置信區(qū)間為 (5.52,7.32),二、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì),設(shè)總體 ,未知參數(shù) ,求未知參數(shù) 的 置信區(qū)間。 由于 分布曲線不關(guān)于Y 軸對(duì)稱，對(duì)于已給的置信度 可選取適當(dāng)?shù)呐R界值 , 使得,可得,即 所以得總體方差 的置信度為 的置信區(qū)間為:,案例3 某藥廠對(duì)某批已打包藥品進(jìn)行隨機(jī)抽檢，測得9包藥的重量（kg）如下：49.2 48.9 50.2 51.4 47.9 51.5 49.2 50.4 48.5 ，試求該批成包藥品重量總體方差90%的置信區(qū)間。 解 由樣本

8、數(shù)據(jù)計(jì)算得 ,而n=9, 因 查附表3得臨界值：,則 故總體方差的90%的置信區(qū)間為（0.818，4.640）。,學(xué)習(xí)小結(jié) 一、學(xué)習(xí)內(nèi)容,二、學(xué)習(xí)指南 1估計(jì)未知參數(shù)分點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。在點(diǎn)估計(jì)中最常用的是矩估計(jì)法，使用的是替換原則，即總體期望值 、總體方差 與總體標(biāo)準(zhǔn)差 的矩估計(jì)量分別是是 2矩估計(jì)方法直觀而又簡單，適用廣，使用方便。對(duì)于同一參數(shù)，使用的估計(jì)方法不同，從而求出的估計(jì)量可能不相同，這就涉及用無偏性和有效性作為標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)估計(jì)量的優(yōu)良性問題。 3樣本均值與樣本方差分別是總體均值與總體方差的無偏、有效和一致估計(jì)量。,4點(diǎn)估計(jì)由于樣本的隨機(jī)性，不能明確其與真值的誤差與估計(jì)的可靠性，因而使用更加廣泛的是參數(shù)的區(qū)間估計(jì)法。由于以置信區(qū)間 按置信度 對(duì)總體X的一個(gè)待估計(jì)參數(shù) 進(jìn)行估計(jì)，解決了參數(shù)估計(jì)的精確度和可靠度問題。在區(qū)間估計(jì)中，精確度（區(qū)間