2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案：第22講 正弦定理和余弦定理(含解析)

1、第22講正弦定理和余弦定理考試說(shuō)明 1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.考情分析考點(diǎn)考查方向考例考查熱度利用正弦定理、余弦定理解三角形直接使用定理解三角形2017全國(guó)卷11,2017全國(guó)卷16,2016全國(guó)卷13,2016全國(guó)卷8,2013全國(guó)卷17與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題求三角形面積、已知面積求三角形元素2017全國(guó)卷17,2017全國(guó)卷17,2017全國(guó)卷17,2016全國(guó)卷17,2015全國(guó)卷17,2014全國(guó)卷4三角形中范圍和最值問(wèn)題角的三角函數(shù)以及面積的最值和范圍2015全國(guó)卷16,2014全國(guó)卷16,

2、2013全國(guó)卷17真題再現(xiàn) 2017-2013課標(biāo)全國(guó)真題再現(xiàn)1.2017全國(guó)卷 ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=()A.B.C.D.解析 B因?yàn)閟in B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=(sin A+cos A)sin C=0,所以sin A=-cos A,得A=.又由正弦定理=,得=,解得sin C=,所以C=.2.2016全國(guó)卷 在ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cos A=()A.B.C.-D.-解析 C如圖3-22-

3、1所示,作ADBC交BC于點(diǎn)D,設(shè)BC=3,則AD=BD=1,AB=,AC=.由余弦定理得32=()2+()2-2cos A,解得cos A=-.3.2014全國(guó)卷 鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=()A.5B.C.2D.1解析 B根據(jù)三角形面積公式,得BABCsin B=,即1sin B=,得sin B=,其中CA.若B為銳角,則B=,所以AC=1=AB,易知A為直角,此時(shí)ABC為直角三角形,所以B為鈍角,即B=,所以AC=.4.2017全國(guó)卷 ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.答案 解析 因?yàn)?bcos

4、B=acos C+ccos A,由正弦定理有2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=,得B=.5.2016全國(guó)卷 ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=.答案 解析 cos A=,cos C=,且A,C為三角形的內(nèi)角,sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=. 由正弦定理得=,解得b=.6.2015全國(guó)卷 在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,則AB的取值范圍是.答案 (-,+)解析 如圖3-2

5、2-2所示.MBABEB,在BMC中,CB=CM=2,BCM=30,由余弦定理知MB2=22+22-222cos 30=8-4=(-)2,所以MB=-.在EBC中,設(shè)EB=x,由余弦定理知4=x2+x2-2xxcos 30,得x2=8+4=(+)2,所以x=+,即EB=+,所以-AB0,所以2sin B=sin A,再根據(jù)正弦定理得2b=a,故選A.2.2017北京卷 在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.解:(1)在ABC中,因?yàn)锳=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=. (2)因?yàn)閍=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2b

6、ccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=bcsin A=83=6.3.2017山東卷 在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解:因?yàn)?-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0AB解析 根據(jù)正弦定理知,在ABC中有sin A=sin Ba=bA=B,sin Asin BabAB.6.45解析 由正弦定理知=,則sin B=.又ab,則AB,所以B為銳角,故B=45.7.解析 易知c=,ABC的面積等于23=.8.直角三角形或等腰三角形解析

7、 由已知有cos C(sin A-sin B)=0,所以有cos C=0或sin A=sin B,解得C=90,或A=B.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式,化簡(jiǎn)條件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,結(jié)合sin A0得到cos B,從而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值.解:(1)2c-a=2bcos A,根據(jù)正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,代入式,得2sin Bcos A=2sin Bc

8、os A+2cos Bsin A-sin A,化簡(jiǎn)得(2cos B-1)sin A=0.A是三角形的內(nèi)角,sin A0,2cos B-1=0,解得cos B=,B(0,),B=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac.(a+c)2-3ac=12,12(a+c)2-(a+c)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào),a+c4,即a+c的最大值為4.變式題(1)A(2)解析 (1)(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,可化為b2+c2-a2=bc.由余弦定理可得cos A=,又A為銳角,A=.a=

9、,由正弦定理可得=2,b2+c2=(2sin B)2+2sin-B2=4+2sin2B-,B,2B-,sin2B-,1,可得b2+c2=4+2sin2B-(5,6.(2)設(shè)AB=a,AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,AD=a,BD=,BC=.在ABD中,cosADB=,sinADB=,sinBDC=.在BDC中,=,sin C=.例2思路點(diǎn)撥 設(shè)BAD=,DAC=,則由+C=90,可得+B=90,利用正弦定理得到關(guān)系式,再結(jié)合范圍得到結(jié)論. 等腰三角形或直角三角形解析 設(shè)BAD=,DAC=,則由+C=90,得+B=90.在ABD中,由正弦定理得=,即=,同理得=.BD=DC,=,sin

10、sin C=sin sin B.+C=90,+B=90,sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,B,C(0,),B=C或B+C=90,ABC是等腰三角形或直角三角形.變式題等腰三角形解析 由已知等式得a=2c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故ABC為等腰三角形.例3思路點(diǎn)撥 (1)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,余弦定理、正弦定理、兩角和差的三角函數(shù)公式將已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)整理;(2)利用正弦定理可求出b的值,進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解.解:(1)cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin2C+sin Asin

11、 B=sin2A+sin2B,由正弦定理得c2+ab=a2+b2,cos C=,0C,C=.sin(A-B)=cos(A+B),sin Acos B-cos Asin B=cos Acos B-sin Asin B,sin A(sin B+cos B)=cos A(sin B+cos B),sin A=cos A,由A為銳角,可得A=,B=-A-C=.(2)a=,A=,B=,由正弦定理可得b=,三角形ABC的面積S=absin C=.變式題解:(1)由a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),即a2+b2-c2=ab.所

12、以cos C=,又C(0,),所以C=.(2)由(1)知a2+b2-c2=ab,所以(a+b)2-3ab=c2=7.又S=absin C=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2=7+3ab=25,即a+b=5.所以ABC周長(zhǎng)為a+b+c=5+.【備選理由】正、余弦定理,三角形面積公式及三角恒等變換的綜合(或其中兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合)已經(jīng)是高考中考查三角函數(shù)和解三角形最主流的方式,下面三例均為此種類型,可在相應(yīng)考點(diǎn)選用.1配合例1使用 2017石家莊模擬 在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且cos 2B-cos 2A=2sin C(sin A-sin C).(1)求角B的大小;(2)若b=,求2a+c的取值范圍.解:(1)由cos 2B-cos 2A=2sin C(sin A-sin C),可得sin2A-sin2B+sin2C=sin Asin C.根據(jù)正弦定理得a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得cos B=,0BB=,而,CDE只能為鈍角,cosCDE=-,cosDAB=cosCDE-=cosCDEcos+sinCDEsin=-+=.3配合例3使用 2017大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬 在ABC中,角A,B,C