2020高中數(shù)學(xué) 1.1.1任意角學(xué)案 新人教A版必修4（通用）

1、20202020 高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.1.11.1.1 任意角學(xué)案任意角學(xué)案 新人教新人教 A A 版必修版必修 4 4 【學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求】 1理解正角、負(fù)角、零角與象限角的概念 2掌握終邊相同角的表示方法 【學(xué)法指導(dǎo)學(xué)法指導(dǎo)】 1解答與任意角有關(guān)的問題的關(guān)鍵在于抓住角的四個(gè)“要素”：頂點(diǎn)、始邊、終邊和旋轉(zhuǎn)方 向 2確定任意角的大小要抓住旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量 3學(xué)習(xí)象限角時(shí)，注意角在直角坐標(biāo)系中的放法，在這個(gè)統(tǒng)一前提下，才能對終邊落在坐標(biāo) 軸上的角、象限角進(jìn)行定義. 1角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面內(nèi) 繞著 從一個(gè)位置 到另一個(gè)位置所成 的圖形 (2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如

2、下三類： 類型定義圖示 正角 按 形成的角 負(fù)角 按 形成的角 零角 一條射線 ， 稱它形成了一個(gè)零角 2象限角 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除端 點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個(gè)角是 如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限 3終邊相同的角 所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S| ， 即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與 的和. 探究點(diǎn)一探究點(diǎn)一 角的概念的推廣 我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過角的概念，角可以看作從同一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的平面圖形這 種定義限制了角的范圍，也不能表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量因此，從“旋轉(zhuǎn)”的角度，對 角作

3、重新定義如下：一條射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所形成的圖形叫作角，射線OA 叫角的始邊，OB叫角的終邊，O叫角的頂點(diǎn) 問題問題 1 1 正角、負(fù)角、零角是怎樣規(guī)定的？ 答答 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角，如果一條 射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角 問題問題 2 2 根據(jù)角的定義，圖中角120； ； ； ； . 問題問題 3 3 經(jīng)過 10 小時(shí)，分別寫出時(shí)針和分針各自旋轉(zhuǎn)所形成 的角 答 經(jīng)過 10 小時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成的角是300，分針旋轉(zhuǎn)形成的角是3 600. 問題問題 4 4 如果你的手表快了 1.25 小時(shí)，只需將分針旋轉(zhuǎn)多少度就可以

4、將它校準(zhǔn)？ 答 將分針旋轉(zhuǎn) 450或3 870即可校準(zhǔn) 探究點(diǎn)二 終邊相同的角 今后我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角為了討論問題的方便，我們使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角 的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角如 果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限按照上述方法，在平面直角坐 標(biāo)系中，角的終邊繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 360后回到原來的位置終邊相同的角相差 360的整數(shù) 倍因此，所有與角 終邊相同的角(連同角 在內(nèi))的集合 S|k360， kZ 根據(jù)終邊相同的角的概念，回答下列問題： 問題問題 1 1 已知集合S|k36060，kZ，則240 S,300 S，1

5、020 S.(用符號(hào)：或填空) 問題問題 2 2 集合S|k36030，kZ表示與角 終邊 相同的角，其中最小的正角是 . 問題問題 3 3 已知集合S|45k180，kZ，則角的終 邊落在 上 探究點(diǎn)三探究點(diǎn)三 象限角與終邊落在坐標(biāo)軸上的角 問題問題 1 1 終邊落在坐標(biāo)軸上的角經(jīng)常用到，下表是終邊落在 x 軸、y 軸各半軸上的角，請完成 下表. 終邊所在的位置角的集合 x 軸正半軸 x 軸負(fù)半軸 y 軸正半軸 y 軸負(fù)半軸 問題問題 2 2 下表是終邊落在各個(gè)象限的角的集合，請補(bǔ)充完整. 終邊所在的象 限 角 的集合 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 問題問題 3 3 寫出終邊落在

6、x 軸上的角的集合 S. 答 S|k360，kZ|k360180，kZ |2k180，kZ|(2k1)180，kZ |n180，nZ 問題問題 4 4 寫出終邊落在 y 軸上的角的集合 T. 答 T|902k180，kZ|901802k180，kZ |902k180，kZ|90(2k1)180，kZ |90n180，nZ 【典型例題典型例題】 例例 1 1 在 0360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角 (1)150；(2)650；(3)95015. 解解 (1)因?yàn)?50360210，所以在 0360范圍內(nèi)，與150角終邊相同的 角是 210角，它是第三象限角 (2)

7、因?yàn)?650360290，所以在 0360范圍內(nèi)，與 650角終邊相同的角是 290角，它是第四象限角 (3)因?yàn)?5015336012945，所以在 0360范圍內(nèi)，與95015 角終邊相同的角是 12945角，它是第二象限角 小結(jié) 解答本題可先利用終邊相同的角的關(guān)系：k360，kZ，把所給的角化歸 到 0360范圍內(nèi)，然后利用 0360范圍內(nèi)的角分析該角是第幾象限角 跟蹤訓(xùn)練 1 判斷下列角的終邊落在第幾象限內(nèi)： (1)1 400； (2)2 010. 解 (1)1 4003360320，320是第四象限角， 1 400也是第四象限角 例 2 寫出終邊落在直線 yx 上的角的集合 S，并把

8、 S 中適合不等式360720的元 素 寫出來 解 直線yx與x軸的夾角是 45，在 0360范圍內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個(gè)： 45，225.因此，終邊在直線yx上的角的集合： S|45k360，kZ Z|225k360，kZ Z |452k180，kZ Z|45(2k1)180，kZ Z |45k180，kZ Z S中適合360720的元素是： 45018045；451180225； 小結(jié)小結(jié) 當(dāng)角的集合的表達(dá)式分兩種或兩種以上情形時(shí)，能合并的盡量合并，注意，把最后角 的集合化成簡約的形式 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 2 2 求終邊在直線yx上的角的集合S. 解 由于直線yx是第二、四象限的角平分

9、線，在 0360間所對應(yīng)的兩個(gè)角分別是 135和 315， 從而S|k360135，kZ Z|k360315，kZ Z |2k180135，kZ Z|(2k1)180135，kZ Z |k180135，kZ Z 例例 3 3 已知是第二象限角，試確定 2，的終邊所在的位置 2 解 因?yàn)槭堑诙笙藿牵?所以k36090k360180，kZ Z. 所以 2k36018022k360360，kZ Z， 所以2的終邊在第三或第四象限或終邊在y軸的非正半軸上 因?yàn)閗36090k360180，kZ Z， 所以k18045k18090，kZ Z， 2 所以當(dāng)k2n，nZ Z 時(shí)，n36045n36090，

10、2 即的終邊在第一象限； 2 當(dāng) k2n1，nZ 時(shí)，n360225n360270， 2 即的終邊在第三象限 2 所以的終邊在第一或第三象限 2 小結(jié) 若已知角是第幾象限角，判斷，等是第幾象限角，主要方法是解不等式并對k 2 3 進(jìn)行分類討論，考查角的終邊的位置 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 3 3 已知為第三象限角，則所在的象限是 ( ) 2 A第一或第二象限 B第二或第三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限 解析 由于k360180k360270，kZ Z， 得 36090 360135，kZ Z. k 2 2 k 2 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第二象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第四象限角. 2 2 課后小練課后小練 1361的終邊落在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2下列各角中與 330角終邊相同的角是( ) A510 B150 C150 D390 3經(jīng)過 10 分鐘，分針轉(zhuǎn)了_度 4寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S. 課后小結(jié)課后小結(jié) 1對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下 定義，理解這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)” ， “旋轉(zhuǎn)幅度”決定角 的“絕對值大小” 2關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識(shí) 一般地，