高中數(shù)學 第四章 函數(shù)應用 4.1 函數(shù)與方程 把根鎖住素材 北師大版必修1（通用）

1、把根（零點）鎖住有這樣一類問題：已知一個含參方程（函數(shù)），它的根（零點）在區(qū)間上，求其中參數(shù)的取值范圍.換言之，求出了參數(shù)的取值范圍，就把方程的根（函數(shù)的零點）牢牢地鎖在區(qū)間上，故我們把這類問題稱為“鎖根（零點）問題”，下面就來探討一下如何把方程的根（函數(shù)的零點）鎖住.一、用鎖根已知函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，且它的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，若函數(shù)在內有零點，則.利用這個結論，我們可以在已知方程（函數(shù)）在區(qū)間內有根（零點）的前提下，解不等式求參數(shù)的取值范圍.例1 若函數(shù)的零點在區(qū)間內，則的取值范圍是 .分析：無論還是，若函數(shù)在區(qū)間上有零點，都會有，解此不等式，即得的取值范圍.解：依題意，可得，即，

2、即，解得，即的取值范圍是.評注：利用鎖零點，是建立在函數(shù)是單調函數(shù)的基礎上的，因為一次函數(shù)在區(qū)間內一定是單調函數(shù)，故直接利用鎖零點即可.例2 若方程有兩個實根，一個在內，另一個在內，求的取值范圍.例2圖分析：方程的根即為對應函數(shù)的零點，因此可借助函數(shù)圖象，依據(jù)解答本題.解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示.通過觀察圖象，易得若使方程有兩個實根，一個在內，另一個在內，須滿足，解得，的取值范圍是.評注：其它有關二次函數(shù)零點（方程的根）的分布問題，可仿此法求解，利用只能鎖二次函數(shù)變號零點，對于不變號零點，需用例3的方法鎖根.二、用函數(shù)性質鎖根例3 若方程的兩個根都大于1，求實數(shù)的取值范圍. 分析：因為方程一

3、次項系數(shù)含有參數(shù)，的符號不確定，故函數(shù)的根是否是變號零點也無法確定，因此不能再用例2的方法求解，可利用二次函數(shù)的性質，考查、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值三方面.解答時，別忽視了兩根相等的情形（即的情形）.解：設，它的對稱軸為直線，若使方程的兩個根都大于1，須滿足，解得，故的取值范圍是.評注：利用、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值鎖根，是一種鎖定一元二次方程根的通法，上述例2也可以用此法解答，題中的條件可借助函數(shù)圖象得出.由例2和例3可以看出，圖象在鎖根過程中的地位舉足輕重，一些重要的信息都是通過觀察圖象而獲得的.三、用函數(shù)圖象鎖根例4 若方程的根在區(qū)間內，則的取值范圍是 .例4圖分析：因本題中的函數(shù)不再是二次函數(shù)，顯然不能再用上面的方法解答，鑒于的情況只有兩種：，故考慮借助函數(shù)圖象直觀確定. 解：如圖，在同一坐標系中，分別作出函數(shù)、的圖象.觀察圖象，可得只有當時，函數(shù)和的圖象的交點的橫坐標在區(qū)間內，即程的根在區(qū)間內.所以，的取值范圍是.評注：對于不能確定零點類型或不便于用鎖根的問題，可借助函數(shù)圖象解答.還有一