2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理（北京卷解析版）（通用）

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理（北京卷，解析版）本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題 共40分）注意事項： 1答第I卷前，考生務(wù)必將答題卡上的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆填寫，用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號對應(yīng)的信息點涂黑。 2每小題選出答案后，將答題卡上對應(yīng)題目的答案選中涂滿涂黑，黑度以蓋住框內(nèi)字母為準(zhǔn)，修改時用橡皮擦除干凈。在試卷上作答無效。一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的

2、點位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系.屬于基礎(chǔ)知識的考查. ，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為，故選B.2已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么 （ ） A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向【答案】D【解析】本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 取a，b，若，則cab，dab， 顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D.3為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點 （ ） A向左平移

3、3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度【答案】C【解析】本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. A，B，C，D.故應(yīng)選C.4若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60角，則到底面的距離為 （ ） A B1 C D【答案】D【解析】本題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. （第4題解答圖）屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 依題意，如圖，故選D.5“”是“”的 （ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條

4、件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 當(dāng)時， 反之，當(dāng)時，有， 或，故應(yīng)選A.6若為有理數(shù)），則 （ ） A45 B55 C70 D80【答案】C【解析】本題主要考查二項式定理及其展開式. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. ， 由已知，得，.故選C.7用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為 （ ） A324 B328 C360 D648【答案】B【解析】本題主要考查排列組合知識以及分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理知識. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 首先應(yīng)考慮“0”

5、是特殊元素，當(dāng)0排在末位時，有（個）， 當(dāng)0不排在末位時，有（個）， 于是由分類計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個）.故選B.8點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ） A直線上的所有點都是“點” B直線上僅有有限個點是“點” C直線上的所有點都不是“點” D直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”【答案】A【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設(shè)，則，（第8題解答圖）消去n,整理得關(guān)于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有實數(shù)解，

6、應(yīng)選A.2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）第卷（共110分）注意事項：1用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。題號二三總分151617181920分?jǐn)?shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。9_.【答案】【解析】本題主要考極限的基本運算，其中重點考查如何約去“零因子”. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. ，故應(yīng)填.10若實數(shù)滿足則的最小值為_.【答案】【解析】本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎(chǔ)知. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. 如圖，當(dāng)時，為最小值.故應(yīng)填.（第10題解答圖）11設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在

7、點處的切線的斜率為1，則該曲線在處的切線的斜率為_.【答案】【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與曲線在某一點處切線的斜率的概念. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.取，如圖，采用數(shù)形結(jié)合法，易得該曲線在處的切線的斜率為.故應(yīng)填.12橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則_；的小大為_. （第11題解答圖）【答案】 【解析】本題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. ，又， （第12題解答圖），又由余弦定理，得，故應(yīng)填.13若函數(shù) 則不等式的解集為_.【答案】【解析】本題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查. （1）由.

8、 （2）由. 不等式的解集為，應(yīng)填.14已知數(shù)列滿足：則_；=_.【答案】1，0【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識.屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，. 應(yīng)填1，0.三 、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（本小題共13分） 在中，角的對邊分別為，. （）求的值；（）求的面積.【解析】本題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識，主要考查基本運算能力（）A、B、C為ABC的內(nèi)角，且，. （）由（）知， 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面積. 16（本小題共14分） 如圖，在三棱錐中，底面，點，分別在棱上，且（）求

9、證：平面；（）當(dāng)為的中點時，求與平面所成的角的大??；（）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP為等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，與平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE

10、平面PAC，DEAE，DEPE，AEP為二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一點E，使得AEPC，這時，故存在點E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖，以A為原煤點建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，由已知可得 . （）， ，BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D為PB的中點，DE/BC，E為PC的中點，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，.與平面所成的角的大小.（）同解法1.17（本小題共13分）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.

11、（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率； （）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望.【解析】本題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率知識、考查離散型隨機變量的分布列和期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率與統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.（）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A，因為事件A等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.（）由題意，可得可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）. 事件“”等價于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈”（0，1，2，3，4），即的分布列是02468的期望是

12、.18（本小題共13分）設(shè)函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍. 【解析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力（）, 曲線在點處的切線方程為.（）由，得， 若，則當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減， 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增， 若，則當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減， （）由（）知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增， 綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時，的取值范圍是.19（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動

13、點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值. 【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點在圓上， 圓在點處的切線方程為，化簡得. 由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，且， 設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則， ，且， . 的大小為 【解法2】（）同解法1.（）點在圓上， 圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則， ， 的大小為. （且，從而當(dāng)時，方程和方程的判別式均大于零）.20（本小題共13分） 已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時，成等比數(shù)列. 【解析】