江蘇省海安中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測(cè)試試題三（含解析）（通用）

1、江蘇省海安中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測(cè)試試題三（含解析）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1設(shè)全集，2，3，4，若，2，則集合解：全集，2，3，4，若，2，則集合，故答案為：，2已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的模為解：復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），故答案為：3已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為，方差為，則數(shù)據(jù)，的方差為_(kāi).故答案為：4如圖是一個(gè)算法的偽代碼，其輸出的結(jié)果為解：模擬執(zhí)行偽代碼，可得：故答案為：5從0、2中選一個(gè)數(shù)字從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中無(wú)重復(fù)的個(gè)數(shù)為解：從0、2中選一個(gè)數(shù)字0，則0不只能排在百位，從1、3、5中

2、選兩個(gè)數(shù)字之一排在百位，共有種；從0、2中選一個(gè)數(shù)字2，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字全排列，共有種；故共有種故答案為：306在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為解：因?yàn)?，所以，所以漸近線方程為故答案為：7將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則的值為解：由將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，可得把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得函數(shù)的圖象，故，則，故答案為：48設(shè)定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間，上是單調(diào)減函數(shù)，且（2），則實(shí)數(shù)的取值范圍是解：根據(jù)題意，是在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間，上是單調(diào)減函數(shù)，則其在區(qū)間上遞減，則函數(shù)在上為減函數(shù)，（2）（2），解可得：；即實(shí)數(shù)的取值范圍

3、是；故答案為：9在銳角三角形中，則的值為解：銳角三角形中，則，故答案為：7910設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，則的值為解：由，可得解法1：當(dāng)時(shí)，由，得，即，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為6的等差數(shù)列，解法2：當(dāng)時(shí)，由，可得，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，11.設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的最小值為解：由正實(shí)數(shù)，滿足，化為，化為，解得因此實(shí)數(shù)的最小值為故答案為：12如圖，正四棱柱的體積為27，點(diǎn)，分別為棱，上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，則四棱錐的體積為解：連接，正四棱柱的體積為27，點(diǎn)，分別為棱，上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，四棱錐的體積故答案為：913已知向量，滿足，且與的夾角的正切為，與的夾角的正切為，則的值為解：可設(shè)，由

4、題意可得，則，即為，又，為銳角，可得，同理可得，由正弦定理可得，即有，則故答案為：14已知，若同時(shí)滿足條件：，或；，則的取值范圍是解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，又，或在時(shí)恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開(kāi)口只能向下，且二次函數(shù)與軸交點(diǎn)都在的左面則即成立的范圍為又，此時(shí)恒成立在有成立的可能，則只要比，中的較小的根大即可，當(dāng)時(shí)，較小的根為，不成立，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)根同為，不成立，當(dāng)時(shí)，較小的根為，即成立綜上可得成立時(shí)故答案為：二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知的面積為，且，向量和向量是共線向量（1）求角；（2）求的邊長(zhǎng)解：（1

5、），即，（2）由得：，16（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面為矩形，且，分別為，中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若平面平面，求證：平面平面證明：（1）方法一：取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且所以，且所以四邊形為平行四邊形所以 又平面，平面，所以平面 方法二：連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，所以，又，所以所以又為的中點(diǎn)，所以（5分）又平面，平面，所以平面 方法三：取的中點(diǎn)，連接，在矩形中，為的中點(diǎn)，所以，且所以四邊形為平行四邊形，所以又平面，平面，所以平面 因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以又平面，平面，所以平面又，平面，所以平面平面 因

6、為平面，所以平面 （2）設(shè)，相交于在矩形中，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)所以又，所以，所以又，所以由的內(nèi)角和為，得即 因?yàn)槠矫嫫矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以平面?又平面，所以平面平面 17（本小題滿分14分）如圖，是兩條海岸線，為海中一個(gè)小島，為海岸線上的一個(gè)碼頭已知，到海岸線，的距離分別為，現(xiàn)要在海岸線上再建一個(gè)碼頭，使得在水上旅游直線經(jīng)過(guò)小島（1）求水上旅游線的長(zhǎng)；（2）若小島正北方向距離小島處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波，從水波生成時(shí)的半徑為為大于零的常數(shù)）強(qiáng)水波開(kāi)始生成時(shí)，一游輪以的速度自碼頭開(kāi)往碼頭，問(wèn)實(shí)數(shù)在什么范圍取值時(shí)，強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行解：（1）以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 為 軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示則

7、由題設(shè)得：，直線 的方程為，由，及 得，直線 的方程為，即，由 得 即，即水上旅游線 的長(zhǎng)為（2）設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓，由題意可得，生成 小時(shí)時(shí)，游輪在線段 上的點(diǎn) 處，則，強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行即，當(dāng) 時(shí)，上式恒成立，當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，所以，在 時(shí) 恒成立，亦即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行18（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，且交橢圓于點(diǎn)求證：為定值；設(shè)與以為直徑的圓的另一交點(diǎn)為，問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由解：（1）由題意可得且，解得，即有橢圓方程為；（2）證明：由，設(shè)

8、，可得，代入橢圓方程可得，由，可得，則為定值；直線過(guò)定點(diǎn)理由如下：由題意可得，由與以為直徑的圓的另一交點(diǎn)為，可得，即有則直線，即，故直線過(guò)定點(diǎn)19（本小題滿分16分）已知數(shù)列滿足：（常數(shù)，數(shù)列滿足：（1）求，的值；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）問(wèn)：數(shù)列的每一項(xiàng)能否均為整數(shù)？若能，求出的所有可能值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由已知可知：，把數(shù)列的項(xiàng)代入，求得，；（2）由，可知：則：有：，即：，；（3）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，則由（2）可知：，由，可知，2當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，利用，結(jié)合式，可知的每一項(xiàng)均為整數(shù)；當(dāng)時(shí)，變?yōu)?，用?shù)學(xué)歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)時(shí)，結(jié)論顯然成立，假設(shè)時(shí)結(jié)論成立

9、，這時(shí)為偶數(shù)，為整數(shù)，故為偶數(shù)，為整數(shù)，時(shí)，命題成立故數(shù)列是整數(shù)列綜上所述，為1，2時(shí)，數(shù)列是整數(shù)列20（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，滿足：對(duì)任意的，解：（1）當(dāng)時(shí)，令，列表分析10單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2），其中，令，分析的零點(diǎn)情況，令，列表分析，0單調(diào)遞減單調(diào)遞增，而，若，則，故在，內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；若，則，因此在，有兩個(gè)零點(diǎn)，在，內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；若，則，因此在，有一個(gè)零點(diǎn)，在，內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)，時(shí)，在，內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，在，內(nèi)

10、有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，在，內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)（3）猜想：，恒成立證明如下：由（2）得在，上單調(diào)遞增，且（1），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以故在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為 由， 0單調(diào)遞減單調(diào)遞增知，（1），又，而時(shí)，所以（1）即，所以對(duì)任意的正數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，使補(bǔ)充證明令，所以在，上單調(diào)遞增所以時(shí)，（1），即補(bǔ)充證明令，所以在，上單調(diào)遞減所以時(shí)，（1），即海安中學(xué)2020屆高三階段測(cè)試三數(shù)學(xué)附加題21選做題，本題包括三小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)區(qū)域作答A.已知二階矩陣，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，屬于特征值的一個(gè)特征向量為求矩陣解：由特征值、特征向量定義可知，即，得 同理可得 解得，因此矩陣 B

11、在極坐標(biāo)系中，已知 1， ， 9， ，線段的垂直平分線與極軸交于點(diǎn)，求的極坐標(biāo)方程及的面積解：由題意，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，在直角三角形中，所以，的極坐標(biāo)方程為， 令，得，即（8分）所以，的面積為：22已知實(shí)數(shù)，滿足，求證：證明：由，可得，要證，即證，由于，即證，即為，顯然成立故原不等式成立23如圖，在四棱錐中，已知棱，兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1，2，2若，且向量與夾角的余弦值為（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求直線與平面所成角的正弦值解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；則：，0，0，2，0，；，可得，2，（1），2，2，向量與夾角的余弦值為可得，解得（舍去）或?qū)崝?shù)的值為2；（2），2，2，平面的法向量，則且，即：，不妨去，平面的法向量，1，又，0，故直線與平面所成角的