經(jīng)典相似三角形練習(xí)題

1、經(jīng)典練習(xí)題一解答題（共30小題）5已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN6如圖，E是ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明7如圖，在43的正方形

2、方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上（1）填空：ABC=_，BC=_；（2）判斷ABC與DEC是否相似，并證明你的結(jié)論8如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由9如圖，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形（1）列出從這四

3、個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明10如圖ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，連接AE（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求BEC與BEA的面積之比11如圖，在ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q（1）求四邊形AQMP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于B

4、C的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論14已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？15如圖，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，PBQ與ABC相似18如圖在ABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以

5、2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與CBA相似？19如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似21如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似23陽

6、光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺，標桿，一副三角尺，小平面鏡請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案（1）所需的測量工具是：_；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x24問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為

7、球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與O相切于點M請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）26如圖，李華晚上在路燈下散步已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=OP=l，兩燈柱之間的距離OO=m（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；（3）若李華在點A朝著影子

8、（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v227如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3（1）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關(guān)系；（不必證明）（2）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與

9、（2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件證明你的結(jié)論；（4）類比（1），（2），（3）的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論29已知：如圖RtABCRtBDC，若AB=3，AC=4（1）求BD、CD的長；（2）過B作BEDC于E，求BE的長30（1）已知，且3x+4z2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：兩相似三角形對應(yīng)高的比為3：10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長參考答案與試題解析一解答題（共30小題）5已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：B

10、E=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN解答：（1）證明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N分別是BE，CD的中點，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN為等腰三角形（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立（3）證明：在圖中正確畫出線段PD，由（1）同理可證ABMACN，CAN=BAMBAC

11、=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形PBD和AMN都為頂角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN6如圖，E是ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給予證明解答：解：相似三角形有AEFBEC；AEFDCF；BECDCF（3分）如：AEFBEC在ABCD中，ADBC，1=B，2=3（6分）AEFBEC（7分）7如圖，在43的正方形方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上（1）填空：ABC=135，BC=；（2）判

12、斷ABC與DEC是否相似，并證明你的結(jié)論解答：解：（1）ABC=135，BC=；（2）相似；BC=，EC=；，；又ABC=CED=135，ABCDEC8如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經(jīng)過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由考點：相似三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：動

13、點型。分析：（1）關(guān)于動點問題，可設(shè)時間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（62x）x=36，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經(jīng)檢驗，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的（4分）（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似，由矩形

14、ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）經(jīng)檢驗，t=或t=都符合題意，所以動點M，N同時出發(fā)后，經(jīng)過秒或秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似（8分）9如圖，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明解答：解：（1）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：，（2分）其中有兩組（，）是相似的選取到的二個三角形是相似三角形

15、的概率是P=（4分）證明：（2）選擇、證明在AOB與COD中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD（8分）選擇、證明四邊形ABCD是等腰梯形，DAB=CBA，在DAB與CBA中有AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA，（6分）ADO=BCO又DOA=COB，DOACOB（8分）10附加題：如圖ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，連接AE（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求BEC與BEA的面積之比解答：解：（1）AD=DE，AE=CECEBD

16、，BDC=60，在RtCED中，ECD=30CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30=ECDAE=CE（2）圖中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延長線于F，設(shè)AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30，sinAEF=，AF=AEsinAEF=11如圖，在ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q（1）求四邊形AQMP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位

17、置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論解答：解：（1）ABMP，QMAC，四邊形APMQ是平行四邊形，B=PMC，C=QMBAB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）當點M中BC的中點時，四邊形APMQ是菱形，點M是BC的中點，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位線AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，平行四邊形APMQ是菱形14已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、

18、Q分別是AB、BC上運動的兩點若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何動點問題；分類討論。分析：要使以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似，則要分兩兩種情況進行分析分別是PBQBDC或QBPBDC，從而解得所需的時間解答：解：設(shè)經(jīng)x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90，（1）當1=2時，有：，即；（2）當1=3時，有：，即，經(jīng)過秒或2秒，PBQBCD點評：此題考查了相似三角形的判定及矩形的性質(zhì)等知識點的綜合運用15

19、如圖，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，PBQ與ABC相似考點：相似三角形的判定；一元一次方程的應(yīng)用。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：動點型。分析：設(shè)經(jīng)過t秒后，PBQ與ABC相似，根據(jù)路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=102t，然后利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可解答：解：設(shè)經(jīng)過秒后t秒后，PBQ與ABC相似，則有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，當PBQABC時，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4

20、t：20，解得t=2.5（s）（6分）當QBPABC時，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，經(jīng)過2.5s或1s時，PBQ與ABC相似（10分）解法二：設(shè)ts后，PBQ與ABC相似，則有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分兩種情況：（1）當BP與AB對應(yīng)時，有=，即=，解得t=2.5s（2）當BP與BC對應(yīng)時，有=，即=，解得t=1s所以經(jīng)過1s或2.5s時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與ABC相似18如圖在ABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動

21、若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與CBA相似？考點：相似三角形的判定。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；動點型。分析：此題要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)，即經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動的長度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出分式方程求解解答：解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ=（82x）cm，CP=xcm，（1分）C=C=90，當或時，兩三角形相似（3分）（1）當時，x=；（4分）（2）當時，x=（5分）所以，經(jīng)過秒或秒后，兩三角形相似（6分）點評：本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法19如圖所示，梯形A

22、BCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似考點：相似三角形的判定；梯形。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：分類討論。分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要認真審題，選擇適宜的判定方法解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解解答：解：（1）若點A，P，D分別與點B，C，P對應(yīng)，即APDBCP，=，=，AP27AP+6=0，AP=1或AP=6，檢測：當AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，=，又A=B=90，APDBCP當AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90，APDB

23、CP（2）若點A，P，D分別與點B，P，C對應(yīng)，即APDBPC=，=，AP=檢驗：當AP=時，由BP=，AD=2，BC=3，=，又A=B=90，APDBPC因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、6處點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為：有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等21如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出

24、發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似考點：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何動點問題；分類討論。分析：若以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，有四種情況：APQBAC，此時得AQ：BC=AP：AB；APQBCA，此時得AQ：AB=AP：BC；AQPBAC，此時得AQ：BA=AP：BC；AQPBCA，此時得AQ：BC=AP：BA可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對應(yīng)成比例線段求出t的值解答：解：以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，所以ABCPAQ或ABCQAP，當ABCPAQ時，所以，解得：t=6；當ABCQAP時，

25、所以，解得：t=；當AQPBAC時，=，即=，所以t=；當AQPBCA時，=，即=，所以t=30（舍去）故當t=6或t=時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似23陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺，標桿，一副三角尺，小平面鏡請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設(shè)計一種測量方案（1）所需的測量工具是：；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x考點：相似三角形的應(yīng)用。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：方案型；開放型。分析：樹比較高不易直接到達，因而可以利用三角形相

26、似解決，利用樹在陽光下出現(xiàn)的影子來解決解答：解：（1）皮尺，標桿；（2）測量示意圖如圖所示；（3）如圖，測得標桿DE=a，樹和標桿的影長分別為AC=b，EF=c，DEFBAC，（7分）24問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm乙組：如圖2，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm任務(wù)要求：（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；（2

27、）如圖3，設(shè)太陽光線NH與O相切于點M請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由題意可知：BAC=EDF=90，BCA=EFDABCDEF，即，（2分）DE=1200（cm）所以，學(xué)校旗桿的高度是12m（3分）（2）解法一：與類似得：，即，GN=208（4分）在RtNGH中，根據(jù)勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，NH=260（5分）設(shè)O的半徑為rcm，連接OM，NH切O于M，OMNH（6分）則OMN=HGN=90，又ONM=HNG，OMNHGN，（7分），又ON=

28、OK+KN=OK+（GNGK）=r+8，解得：r=12景燈燈罩的半徑是12cm（8分）解法二：與類似得：，即，GN=208（4分）設(shè)O的半徑為rcm，連接OM，NH切O于M，OMNH（5分）則OMN=HGN=90，又ONM=HNG，OMNHGN，即，（6分）MN=r，又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8（7分）在RtOMN中，根據(jù)勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r29r36=0，解得：r1=12，r2=3（不合題意，舍去），景燈燈罩的半徑是12cm（8分）26如圖，李華晚上在路燈下散步已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=OP=l，兩燈柱之間的距離OO=m（1）若李華距燈柱

29、OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v2解答：解：（1）由已知：ABOP，ABCOPC，OP=l，AB=h，OA=a，解得：（2）ABOP，ABCOPC，即，即同理可得：，=是定值（3）根據(jù)題意設(shè)李華由A到A，身高為AB，AC代表其影長（如圖）由（1）可知，即，同理可得：，由等比性質(zhì)得：，當李華從A走到A的時候，他的影子也從C移到C，因此速度與路程成正比，所以人影頂端在地面上移動的速度為27如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3（1）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關(guān)系；（不必證明）（2）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S