隨機過程第二章課件

1、第二章 隨機過程的概念與基本類型,隨機過程的定義和統(tǒng)計描述 隨機過程分布律和數(shù)字特征 復(fù)隨機過程 隨機過程基本類型,1,學習交流PPT,隨機變量,在每次試驗的結(jié)果中，以一定的概率取某個事先未知，但為確定的數(shù)值。,在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常要涉及到在試驗過程中隨時間t而改變的隨機變量。例如，接收機的噪聲電壓，,此外，還包括生物群體的增長問題； 電話交換機在一定時間段內(nèi)的呼叫次數(shù)； 一定時期內(nèi)的天氣預(yù)報； 固定點處海平面的垂直振動；等等,2,學習交流PPT,在第Wi次試驗中測量獲得的噪聲電壓Xt是一個樣本函數(shù),3,學習交流PPT,定義2.1,設(shè)（,F,P）是概率空間，T是給定的參數(shù)集，若對每個tT，由

2、一個隨機變量X(t,e)與之對應(yīng)，則稱隨機變量族X(t,e),t T是（,F,P）上的隨機過程。,隨機過程X(t,e),t T可以認為是一個二元函數(shù)。 對固定的t，X(t,e)是（,F,P）上的隨機變量； 對固定的e， X(t,e)是是隨機過程X(t,e),t T的一個樣本函數(shù)。,4,學習交流PPT,X(t)通常表示為在時刻t所處的狀態(tài)。X(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間或相空間。,通常我們可以根據(jù)隨機變量X(t)在時間和狀態(tài)上的類型區(qū)分隨機過程的類型。,在時間和狀態(tài)上都連續(xù),連續(xù)型隨機過程,5,學習交流PPT,在時間上連續(xù)， 狀態(tài)上離散,離散型隨機過程,6,學習交流PPT,在時間

3、上離散， 狀態(tài)上連續(xù),連續(xù)型隨機序列,7,學習交流PPT,在時間上離散， 狀態(tài)上離散,離散型隨機序列,8,學習交流PPT,有限個隨機變量,統(tǒng)計規(guī)律,聯(lián)合分布函數(shù),隨機過程,統(tǒng)計規(guī)律,有限維分布函數(shù)族,設(shè)XT=X(t),tT是隨機過程，對任意n1和t1,t2, ,tn T，隨機向量(X(t1),X(t2), ,X(tn)的聯(lián)合分布函數(shù)為,這些分布函數(shù)的全體,稱為XT=Xt,t T的有限維分布函數(shù)。,9,學習交流PPT,有限維分布函數(shù)的性質(zhì),對稱性,對于t1,t2, ,tn的任意排列,相容性,當mn時，,10,學習交流PPT,有限維分布函數(shù)族,對稱性,相容性,Kolmogorov存在定理,設(shè)已給參

4、數(shù)集T及滿足對稱性和相容性條件的分布函數(shù)族F，則必存在概率空間（,F,P）及定義在其上的隨機過程X(t),tT，它的有限維分布函數(shù)族是F。,11,學習交流PPT,設(shè)XT=X(t),tT是隨機過程，如果對任意tT，EX(t)存在，則稱函數(shù),為XT的均值函數(shù)，反映隨機過程在時刻t的平均值。,若對任意tT，E(X(t)2存在，則稱XT為二階矩過程，而稱,為XT的協(xié)方差函數(shù)，反映隨機過程在時刻t和s時的線性相關(guān)程度。,為XT的方差函數(shù)，反映隨機過程在時刻t對均值的偏離程度。,為XT的相關(guān)函數(shù)，反映隨機過程在時刻t和s時的線性相關(guān)程度。,數(shù)字特征,12,學習交流PPT,對于二階矩隨機過程，其協(xié)方差函數(shù)和

5、相關(guān)函數(shù)一定存在，且有如下關(guān)系：,例題2.5 設(shè)隨機過程,其中，Y和Z是相互獨立的隨機變量，且EY=EZ0，DY=DZ=2， 求X(t)的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。,例題2.6 設(shè)隨機過程X(t)=Y+Zt，t0，其中Y,Z是相互獨立的N(0,1)隨機變量，求X(t),t0的一、二維概率密度族。,13,學習交流PPT,兩個隨機過程之間的關(guān)系,互協(xié)方差函數(shù),互相關(guān)函數(shù),定義： 設(shè)X(t),tT，Y(t), tT是兩個二階矩過程，則稱,為X(t),tT與Y(t), tT的互協(xié)方差函數(shù)，稱,為X(t),tT與Y(t), tT的互相關(guān)函數(shù)。,14,學習交流PPT,兩個隨機過程X(t),tT與Y(t), t

6、T的互不相關(guān)定義,互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,例題2.8： 設(shè)X(t)為信號過程，Y(t)為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。,例題2.7 設(shè)有兩個隨機過程X(t)=g1(t+)和Y(t)=g2(t+)，其中g(shù)1(t)和g2(t)都是周期為L的周期方波，是在(0,L)上服從均勻分布的隨機變量，求互相關(guān)函數(shù)RXY(t,t+)的表達式。,15,學習交流PPT,復(fù)隨機過程,定義： 設(shè)Xt, tT，Yt, tT是取實數(shù)值的兩個隨機過程，若對任意tT,其中 ，則稱Zt, tT為復(fù)隨機過程。,復(fù)隨機過程的數(shù)字特征函數(shù),均值函數(shù),方差函數(shù),相關(guān)函數(shù),協(xié)方差函數(shù)

7、,相互之間的關(guān)系,16,學習交流PPT,復(fù)隨機過程的性質(zhì),復(fù)隨機過程XT,tT的協(xié)方差函數(shù)B(s,t)具有性質(zhì)： （1）對稱性（埃米特性）， （2）非負定性，對任意ti T及復(fù)數(shù)ai，i=1,2, ,n，n1，有,說明： 1. 如果函數(shù)f(s,t)具有非負定性，那么它必具有埃米特性。 2. 若f(s,t)為一非負定函數(shù)，則必存在一個二階矩過程（并可要求它為正態(tài)過程）以給定的f(s,t)為協(xié)方差函數(shù)。,17,學習交流PPT,兩個復(fù)隨機過程Xt，Yt的互相關(guān)函數(shù)定義為,互協(xié)方差函數(shù)定義為,例題2.9 設(shè)隨機過程 ，其中X1,X2, ,Xn是相互獨立的，且服從N(0,k2)的隨機變量，w1,w2,

8、,wn是常數(shù)，求Zt,t0的均值函數(shù)m(t)和相關(guān)函數(shù)R(s,t)。,18,學習交流PPT,隨機過程的幾種基本類型,二階矩過程 正交增量過程 獨立增量過程 馬爾可夫過程 正態(tài)過程 維納過程 平穩(wěn)過程,19,學習交流PPT,二階矩過程,20,學習交流PPT,定義： 設(shè)X(t),tT是零均值的二階矩過程，若對任意的t1t2t3t4 T，有,則稱X(t)是正交增量過程。,例題 設(shè)X(t),tT是正交增量過程，T=a,b為有限區(qū)間，且規(guī)定X(a)=0，當astb時，求其協(xié)方差函數(shù)。,正交增量過程,21,學習交流PPT,定義： 設(shè)X(t),tT是隨機過程，若對任意的正整數(shù)n和t1t2tn T，隨機變量X

9、(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)是互相獨立的，則稱X(t),tT是獨立增量過程。,特點： 獨立增量過程在任一個時間間隔上過程狀態(tài)的改變，不影響任一個與它不相重疊的時間間隔上狀態(tài)的改變。,獨立增量過程,22,學習交流PPT,正交增量過程,獨立增量過程,定義依據(jù)： 不相重疊的時間區(qū)間上增量的統(tǒng)計相依性,互不相關(guān),相互獨立,正交增量過程,獨立增量過程,正交增量過程,獨立增量過程,二階矩存在，均值函數(shù)恒為零,23,學習交流PPT,定義： 設(shè)X(t),tT是獨立增量過程，若對任意st，隨機變量X(t)-X(s)的分布僅依賴于t-s，則稱X(t),tT是平穩(wěn)獨立

10、增量過程。,例題2.10 考慮一種設(shè)備一直使用到損壞為止，然后換上同類型的設(shè)備。假設(shè)設(shè)備的使用壽命是隨機變量，令N(t)為在時間段0,t內(nèi)更換設(shè)備的件數(shù)，通?？梢哉J為N(t)，t0是平穩(wěn)獨立增量過程。,平穩(wěn)獨立增量過程,24,學習交流PPT,定義： 設(shè)X(t),tT是隨機過程，若對任意正整數(shù)n及t10，且其條件分布,則稱X(t),tT是馬爾可夫過程。,馬爾可夫性,系統(tǒng)在已知現(xiàn)在所處狀態(tài)的條件下，它將來所處的狀態(tài)與過去所處的狀態(tài)無關(guān)。,馬爾可夫過程,25,學習交流PPT,定義： 設(shè)X(t),tT是隨機過程，若對任意正整數(shù)n及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是n維正

11、態(tài)隨機變量，則稱X(t),tT是正態(tài)過程或高斯過程。,特點： 在通信中應(yīng)用廣泛； 正態(tài)過程只要知道其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)，即可確定其有限維分布。,正態(tài)過程,26,學習交流PPT,定義： 設(shè)W(t),-0 則稱W(t),-t 為維納過程，也稱布朗運動過程。,定理： 設(shè)W(t),-t 是參數(shù)為2的維納過程，則 對任意t(-, )，W(t) N(0,2|t|); 對任意-a s,t ,證明,維納過程,維納過程是正態(tài)過程的一種特殊形式,27,學習交流PPT,定義： 設(shè)X(t),tT是隨機過程，如果對任意常數(shù)和正整數(shù)n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)與(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相同的聯(lián)合分布，則稱X(t),tT為嚴平穩(wěn)過程或俠義平穩(wěn)過程。,定義： 設(shè)X(t),tT是隨機過程，如果 X(t),tT是二階矩過程； 對任意tT，mX(t)=EX(t)=常數(shù)； 對任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)則稱X(t),tT為廣義平穩(wěn)過程，簡稱為平穩(wěn)過程。,平穩(wěn)過程,28,學習交流PP