第8章 數(shù)字信號最佳接收原理.ppt

1、1,第八章 數(shù)字信號最佳接收原理,謝 逸 中山大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2012. Spring,2,內(nèi)容,數(shù)字信號的統(tǒng)計(jì)表述、最佳接收準(zhǔn)則 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)、誤碼率 隨相數(shù)字信號的最佳接收 起伏數(shù)字信號的最佳接收 實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較 數(shù)字信號的匹配濾波接收 最佳基帶傳輸系統(tǒng),3,8.1 數(shù)字信號接收的統(tǒng)計(jì)表述,在數(shù)字信號的最佳接收分析中，從數(shù)字信號接收統(tǒng)計(jì)模型出發(fā)，依據(jù)某種最佳接收準(zhǔn)則，推導(dǎo)出相應(yīng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)，然后再分析其性能。 在噪聲背景下數(shù)字信號接收過程是一個(gè)統(tǒng)計(jì)判決問題。數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型：,判決 規(guī)則,r,n,消息空間,信號空間,噪聲空間,觀察空間,判決空

2、間,4,離散消息源可以用概率場來表述,消息是各種物理量， 本身不能直接在數(shù)字通信系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸，因此需要將消息變換為相應(yīng)的電信號s(t)，用參數(shù)S來表示。將消息變換為信號可以有各種不同的變換關(guān)系，通常最直接的方法是建立消息與信號之間一一對應(yīng)的關(guān)系，即消息xi與信號si(i=1, 2， ， m)相對應(yīng)。 這樣，信號集合S也由m個(gè)狀態(tài)所組成，即,5,若消息各狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等， 則有 P(si)是描述信號發(fā)送概率的參數(shù)，通常稱為先驗(yàn)概率， 它是信號統(tǒng)計(jì)檢測的第一數(shù)據(jù)。,6,信道特性是加性高斯噪聲信道，噪聲空間n是加性高斯噪聲。在前面各章分析系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)，用噪聲的一維概率密度函數(shù)來描述噪聲的統(tǒng)計(jì)

3、特性, 在本章最佳接收中，為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，采用噪聲的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 式中，n1, n2, , nk為噪聲n在各時(shí)刻的可能取值。,n 代表信道噪聲的取值，n為零均值高斯型噪聲。,7,若噪聲是高斯白噪聲， 則它在任意兩個(gè)時(shí)刻上得到的樣值都是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的； 若噪聲是帶限高斯型的，按抽樣定理對其抽樣，則它在抽樣時(shí)刻上的樣值也是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。根據(jù)隨機(jī)信號分析，若隨機(jī)信號各樣值是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則其k維聯(lián)合概率密度函數(shù)等于其k個(gè)一維概率密度函數(shù)的乘積，即 式中，f(ni)是噪聲n在ti時(shí)刻的取值ni的一維概率密度函數(shù)，,

4、8,(噪聲的)每個(gè)抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其一維概率密度可以寫為 式中，n 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差； n2 噪聲的方差,平均功率。 ni: 噪聲幅度,9,噪聲抽樣電壓的k維聯(lián)合概率密度 在一個(gè)碼元時(shí)間T 內(nèi)接收的噪聲平均功率： 或 將上式代入聯(lián)合概率密度式，得到 式中， 需要注意：f (n) 不是時(shí)間函數(shù)。n是一個(gè)k 維矢量，可以看作是k 維空間中的一個(gè)點(diǎn)。 f (n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量 。,噪聲方差: 噪聲平均功率,10,接收電壓r(t) = s(t) + n(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)： 當(dāng)發(fā)送碼元“0”時(shí)： n(t) = r(t) s0(t)代入上式 式中，r (t) 接收信號

5、和噪聲電壓之和； s0 (t) 發(fā)送碼元“0”時(shí)的信號波形。 當(dāng)發(fā)送碼元“1”時(shí)： 式中， s1 (t) 發(fā)送碼元“1”時(shí)的信號波形。,11,8.2 數(shù)字信號的最佳接收準(zhǔn)則,什么是“最佳接收” 類似于香農(nóng)定理指出了特定帶寬和信噪比條件下的傳信率的極限， “最佳接收”告訴人們在特定的發(fā)送波形和噪聲情況下，接收機(jī)所能達(dá)到的最佳接收效果的極限，即極限狀態(tài)下的誤碼率如何 即“最佳接收”是一種理論，是一種努力方向，但在實(shí)際中并不一定這么去設(shè)計(jì)接收機(jī)。,12,最佳接收準(zhǔn)則,“最佳”有不同的標(biāo)準(zhǔn)，我們把這些標(biāo)準(zhǔn)稱為“最佳接收準(zhǔn)則”，常見的準(zhǔn)則有 最大輸出信噪比準(zhǔn)則 經(jīng)過對信號特殊處理，使得輸出信號在特定的時(shí)

6、刻達(dá)到最大信噪比 最小均方差準(zhǔn)則 因?yàn)椤胺讲睢贝碇嗨贫?，所以接收信號與哪個(gè)信號方差最小就表示發(fā)送的是哪個(gè)信號 最小誤碼率準(zhǔn)則 使得差錯(cuò)的概率最?。◤母怕史植济芏热胧郑?數(shù)字通信系統(tǒng)中的最佳接收機(jī)一般是在最小誤碼概率準(zhǔn)則下建立的。在數(shù)字通信系統(tǒng)中，我們期望錯(cuò)誤接收的概率愈小愈好，因此采用最小誤碼概率準(zhǔn)則是直觀的和合理的,13,8.2 數(shù)字信號的最佳接收準(zhǔn)則 “最佳”的含義 指錯(cuò)誤概率最小。 最佳接收的判決規(guī)則 接收矢量r 看作是k維空間中一點(diǎn) 對二進(jìn)制, k維空間劃分為區(qū)域A0和A1 判決規(guī)則： 若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”； 若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“

7、1”。 總誤碼率： 式中， 發(fā)送“1”時(shí), r 落在A0的條件概率； 發(fā)送“0”時(shí)，r落在A1的條件概率。 ,14,15,區(qū)域A0和A1的劃分 可以改寫為 由于P(1)是確定的，故為了使誤碼率最小，需使上式中的積分值最小。若在此積分空間A1中被積因子在各點(diǎn)上的值都最小，則積分值才最小。這就要求在A1內(nèi)所有點(diǎn)上被積因子滿足條件： 或者要求： 當(dāng)P(1)=P(0)時(shí)，要求在A1內(nèi)所有點(diǎn)上： 當(dāng)接收矢量r 落在A1內(nèi)時(shí)，有f0(r)f1(r)，按照上述判決規(guī)則,應(yīng)該判為發(fā)送碼元是“1”。,16,類似地，可以證明，當(dāng)接收矢量r 落在A0內(nèi)時(shí)，有f1(r) f0(r)， 按照上述判決規(guī)則，應(yīng)該判為發(fā)送碼

8、元是“0”。 綜上所述，最佳接收準(zhǔn)則歸納如下： 二進(jìn)制系統(tǒng)：應(yīng)將接收矢量空間劃分為A0和A1兩個(gè)區(qū)域： 在區(qū)域A0內(nèi)所有點(diǎn)上： 在區(qū)域A1內(nèi)所有點(diǎn)上： 當(dāng)P(1)=P(0)時(shí)，則要求 在區(qū)域A0內(nèi)所有點(diǎn)上： 在區(qū)域A1內(nèi)所有點(diǎn)上： 對接收矢量作如下判決：當(dāng)P(1)=P(0)時(shí) 若接收矢量 r 使 f1(r) f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量 r 使 f0(r) f1(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。,17,8.3確知信號的最佳接收機(jī),在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機(jī)輸入信號根據(jù)其特性的不同可以分為兩大類，一類是確知信號，另一類是隨參信號。 確知信號是指一個(gè)信號出現(xiàn)后，它的所有參數(shù)(如幅度、頻

9、率、 相位、到達(dá)時(shí)刻等)都是確知的。如數(shù)字信號通過恒參信道到達(dá)接收機(jī)輸入端的信號。 隨參信號中，根據(jù)信號中隨機(jī)參量的不同又可細(xì)分為隨機(jī)相位信號、隨機(jī)振幅信號和隨機(jī)振幅隨機(jī)相位信號(又稱起伏信號)。本節(jié)討論確知信號的最佳接收問題。 信號統(tǒng)計(jì)檢測是利用概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的工具來設(shè)計(jì)接收機(jī)。所謂最佳接收機(jī)設(shè)計(jì)是指在一組給定的假設(shè)條件下，利用信號檢測理論給出滿足某種最佳準(zhǔn)則接收機(jī)的數(shù)學(xué)描述和組成原理框圖，而不涉及接收機(jī)各級的具體電路。本節(jié)分析中所采用的最佳準(zhǔn)則是最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則。,18,二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 設(shè)到達(dá)接收機(jī)輸入端的兩個(gè)確知信號分別為s1(t)和s2(t)，它們的持續(xù)時(shí)間為(0, T)

10、，且有相等的能量，即,噪聲n(t)是高斯白噪聲，均值為零，單邊功率譜密度為n0。要求設(shè)計(jì)的接收機(jī)能在噪聲干擾下以最小的錯(cuò)誤概率檢測信號。 根據(jù)上一節(jié)的分析我們知道，在加性高斯白噪聲條件下，在觀察時(shí)間(0，T)內(nèi)，接收機(jī)輸入端的信號為s1(t)和s2(t)， 合成波為,目的：如何設(shè)計(jì)“最佳接收機(jī)”使輸出具有最小誤碼率,19,20,碼元等概率、等能量條件下,VT=0,確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)： 即，若 則判為“0” 若 則判為“1”,對于確知信號，s1(t) s2(t)的波形都是已知的，因此，可以利用上述關(guān)系判決收到的受干擾信號r(t)是“0”還是“1”,由上述公式，可以得到二進(jìn)制等先驗(yàn)概率最佳接

11、收機(jī),21,二進(jìn)制等先驗(yàn)概率最佳接收機(jī)原理方框圖,其中比較器是比較抽樣時(shí)刻t=T時(shí)上下兩個(gè)支路樣值的大小。這種最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)是按比較觀察波形r(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)性而構(gòu)成的，因而稱為相關(guān)接收機(jī)。其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。接收過程是分別計(jì)算觀察波形r(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)函數(shù)，在抽樣時(shí)刻t=T，r(t)與哪個(gè)發(fā)送信號的相關(guān)值大就判為哪個(gè)信號出現(xiàn)。,相關(guān)器,22,8.4 二進(jìn)制確知信號最佳接收機(jī)誤碼性能 由上一節(jié)分析可知，相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)與匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)是等價(jià)的，因此可以從兩者中的任一個(gè)出發(fā)來分析最佳接收機(jī)的誤碼性能。下面從相關(guān)器形式的最佳接收

12、機(jī)角度來分析這個(gè)問題。 輸出總的誤碼率為,其中, P(s1)和P(s2)是發(fā)送信號的先驗(yàn)概率。Ps1(s2)是發(fā)送s1(t)信號時(shí)錯(cuò)誤判決為s2(t)信號出現(xiàn)的概率；Ps2(s1)是發(fā)送s2(t)信號時(shí)錯(cuò)誤判決為s1(t)信號出現(xiàn)的概率。分析Ps1(s2)與Ps2(s1)的方法相同，我們以分析Ps1(s2)為例。,23,8.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收原理,匹 配 濾 波 器 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，濾波器是其中重要部件之一， 濾波器特性的選擇直接影響數(shù)字信號的恢復(fù)。 在數(shù)字信號接收中， 濾波器的作用有兩個(gè)方面， 使濾波器輸出有用信號成分盡可能強(qiáng)； 使濾波器輸出噪聲成分盡可能小。,24,對最佳線性濾波

13、器的設(shè)計(jì)有兩種準(zhǔn)則： 一種是使濾波器輸出的信號波形與發(fā)送信號波形之間的均方誤差最小，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器； 另一種是使濾波器輸出信噪比在某一特定時(shí)刻達(dá)到最大，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器。 在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。,25,解調(diào)器中抽樣判決以前各部分電路可以用一個(gè)線性濾波器來等效. 由數(shù)字信號的判決原理我們知道，抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，與濾波器輸出信號波形和發(fā)送信號波形之間的相似程度無關(guān)，也即與濾波器輸出信號波形的失真程度無關(guān)， 而只取決于抽樣時(shí)刻信號的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比， 即信噪比。信噪比越大，錯(cuò)誤判決的概率就越??；反之，信噪比越小

14、，錯(cuò)誤判決概率就越大。,26,當(dāng)選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí)，該濾波器就稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。 設(shè)輸出信噪比最大的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)為H(), 濾波器輸入信號與噪聲的合成波為 式中， s(t)為輸入數(shù)字信號， 其頻譜函數(shù)為S()。 n(t)為高斯白噪聲， 其雙邊功率譜密度為 。,問題：設(shè)計(jì)濾波器，使輸出信噪比最大,27,8.8.1 數(shù)字信號的匹配濾波接收法 設(shè)： H(f) 接收濾波器的傳輸函數(shù)； h(t) 接收濾波器的沖激響應(yīng)； s(t) 接收信號； S(f) 接收信號的頻譜密度； n(t) 高斯白噪聲；Pn(f) = n0/2 噪聲雙邊功率譜密度; 若濾波

15、器輸入碼元為 則線性濾波器的輸出為 式中， 輸出噪聲功率：,隨機(jī)過程經(jīng)過線性系統(tǒng),輸出功率譜密度等于輸入功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)的模的平方,雙邊功率普密度,28,在抽樣時(shí)刻 t0 上，輸出信號瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為 求r0的最大值 利用施瓦茲(Schwarz)不等式： 若 成立（其中k為整數(shù)），則上式的等號成立。 令 則有 當(dāng) 時(shí)，上式的等號成立，r0最大。,29,給出最大信噪比r0，它與信號頻譜共軛匹配（除了常數(shù)因子外） ，故稱之為匹配濾波器。 匹配濾波器的特性還可以用其沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)來描述： 由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng) h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時(shí)間

16、軸上（向右）平移了t0。,30,匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，即其h(t)應(yīng)該滿足條件（因果）： 即要求滿足條件 或滿足條件 上式的條件說明：濾波器輸入信號碼元s(t)在抽樣時(shí)刻t0之后必須為零。 一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = T。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為 這時(shí)，匹配濾波器輸出信號碼元的波形，可以寫為 上式表明，匹配濾波器輸波形是輸入碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。,31,【例8.1】設(shè)接收信號碼元s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。 【解】s(t)的頻譜為 由式 令k = 1，可得其匹配濾波器傳輸函數(shù)為 由式 令k

17、= 1，得到此匹配濾波器沖激響應(yīng)為 ，由 畫出曲線如右。,32,此匹配濾波器的方框圖：由 (1 / j 2 f ) 是理想積分器的傳輸函數(shù) exp( -j 2 f T) 是延遲時(shí)間為T 的延遲電路的傳輸函數(shù) 方框圖如下：,33,【例8.2】 設(shè)接收信號s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。 【解】s(t)的頻譜密度為 故其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 上式中，已令t0 = T。,(a) 信號波形,34,此匹配濾波器的沖激響應(yīng): 為了便于畫出波形圖，令 式中，n = 正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為 h(t)的曲線示于右圖。 匹配濾波器輸出波形可以由如下卷積公式求出 由于s(t)

18、和h(t)在區(qū)間(0, T)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算： 計(jì)算結(jié)果如下：,(c) 輸出波形,(b) 沖激響應(yīng),35,用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路方框圖 ：,S1(t),S2(t),36,8.8.2 數(shù)字信號的相關(guān)接收法 設(shè)：匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù) 匹配濾波器是物理可實(shí)現(xiàn)的： 輸入信號碼元 x(t) 限定在( 0, T ) 則輸出信號波形y(t)按照式 可以寫成： 在抽樣時(shí)刻T，輸出電壓等于： 可以看出，上式中的積分是一種相關(guān)運(yùn)算，即將輸入x(t)與和s(t)作相關(guān)運(yùn)算。只有輸入信號x(t) = s(t)時(shí)，在時(shí)刻t = T才有最大的輸出信噪比。 按照上述原理，可以得出相關(guān)接收法。,37,相關(guān)接收法方框圖 相關(guān)接收法判決準(zhǔn)則：,38,【例8.3】設(shè)有一個(gè)信號碼元如例8.2中所給出的s(t)。試比較它分別通過匹配濾波器和相關(guān)接收器時(shí)的輸出波形。 【解】根據(jù) 此信號碼元通過相關(guān)接收器后，輸出信號波形等于 上式中，假定f0很大，故結(jié)果近似等于t / 2，即與 t 成正比。 輸出波形： 只有當(dāng) t = T 時(shí)， 兩者的抽樣值才相等。,39,