黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)10月第二次調(diào)研考試試題 文（含解析）（通用）

1、黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)10月第二次調(diào)研考試試題 文（含解析）一：選擇題。1.已知集合，則 ( ).A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】求解一元二次不等式的解集，化簡(jiǎn)集合的表示，最后運(yùn)用集合交集的定義，結(jié)合數(shù)軸求出.【詳解】因?yàn)椋裕时绢}選B.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的運(yùn)算，正確求解一元二次不等式的解集、運(yùn)用數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.2.若，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（）A. 1 B. -1C. -2D. -4【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)相乘化簡(jiǎn)得，得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為.【詳解】，所以復(fù)數(shù)實(shí)部為，虛部為，所以和為，故選D.【點(diǎn)睛】本

2、題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的概念，考查基本運(yùn)算求解能力.3.下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】先從解析式得到函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，與函數(shù)奇偶性與單調(diào)性均相同.【詳解】因函數(shù)為偶函數(shù)，排除B,C；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，與函數(shù)在單調(diào)性相同，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，特別注意偶函數(shù)在軸兩邊的對(duì)稱性相反.4.已知是等差數(shù)列，且，則=（）A. -12 B. -11 C. -6 D. -5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的第一項(xiàng)和第四項(xiàng)求得公差，再求出數(shù)列的第項(xiàng)

3、，進(jìn)而求出.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以公差，所以，解得：，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查基本量法，求解過程中要注意整體思想的應(yīng)用.5.已知菱形的邊長(zhǎng)為2，,點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn)，則（）A. B. C. 1 D. 2 【答案】A【解析】【分析】取為基底，再把轉(zhuǎn)化成基底運(yùn)算.【詳解】如圖，作，因?yàn)槭巧峡拷娜确贮c(diǎn)，所以也都是三等分點(diǎn)，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解過程中要注意基底選擇的合理性，即一般是選擇模和夾角已知的兩個(gè)向量作為基底.6.在中，角的對(duì)邊分別是，若，且三邊成等比數(shù)列，則的值為（ ）A.B.C. 1D. 2【答案】

4、C【解析】【分析】先利用正弦定理邊角互化思想得出，再利余弦定理以及條件得出可得出是等邊三角形，于此可得出的值?！驹斀狻?，由正弦定理邊角互化的思想得，則、成等比數(shù)列，則，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，則是等邊三角形，故選：C。【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)等式結(jié)構(gòu)以及已知元素類型合理選擇正弦定理與余弦定理求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題。7.關(guān)于函數(shù)，下列敘述有誤的是（）A. 其圖象關(guān)于直線對(duì)稱B. 其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. 其值域是D. 其圖象可由圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到【答案】D【解析】【分析】將代入，取得最值；為的對(duì)稱中心，再向上平移1個(gè)單位；

5、由，得原函數(shù)的值域。【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，所以為函數(shù)的對(duì)稱軸；對(duì)B，為的對(duì)稱中心，函數(shù)向上平移1個(gè)單位后得，所以為的對(duì)稱中心；對(duì)C，由，所以，所以值域?yàn)?；?duì)D，函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍和到的解析式為：，而不是，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在三角變換過程中，注意橫坐標(biāo)的伸縮變換只與自變量有關(guān).8.在九章算術(shù)中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，且，為AD的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】作出異面直線所成的角，利用余弦定理計(jì)算出這個(gè)角的余弦值.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，連接，由于分別是中點(diǎn)，是三角形的中位線，

6、故，所以是兩條異面直線所成的角.根據(jù)鱉臑的幾何性質(zhì)可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的余弦值的求法，考查空間想象能力，考查中國(guó)古典數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.9.已知三棱錐中，平面，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出三棱錐的直觀圖，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，確定外接球球心的位置，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，求出底面外接圓的半徑，再列出球半徑的方程，求出代入表面積公式.【詳解】設(shè)的外心為，過作平面，取的中點(diǎn)，作與相交于點(diǎn)，則為外接球的球心為.，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題以三棱錐內(nèi)接于球?yàn)楸尘埃笄虻谋?/p>

7、面積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，根據(jù)幾何體的特點(diǎn)確定球心的位置是解題的關(guān)鍵.10.在正方體中，為棱上一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)，且平面與交于點(diǎn)，則與平面所成角的正切值為（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面平面，可知所求角為；假設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，求解出和，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫嫠耘c平面所成角即為與平面所成角可知與平面所成角為.設(shè)，則， 平面面且面，可知?jiǎng)t，即 ， 在中， 故與平面所成角的正切值為本題正確選項(xiàng)： 【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的直線與平面所成角問題，關(guān)鍵是能夠通過位置關(guān)系確定所成角，再利用直角三角形求得結(jié)果.11.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)的

8、和是（ ）A. 290B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】由得為等差數(shù)列，求得，得利用裂項(xiàng)相消求解即可【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，整理得，所以是公差為4的等差數(shù)列，又，所以，從而，所以，數(shù)列的前10項(xiàng)的和.故選.【點(diǎn)睛】本題考查遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，裂項(xiàng)相消求和，熟記公式，準(zhǔn)確得是等差數(shù)列是本題關(guān)鍵，是中檔題12.已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合對(duì)任意，總存在，使，等價(jià)為的值域是值域的子集，分別研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的值域即可.【詳解】對(duì)任意，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，若?duì)任意的，總存在，使，設(shè)

9、函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t滿足，即可，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，則此時(shí)，當(dāng)時(shí)，（1）當(dāng)，即時(shí)，滿足條件成立；（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，要使成立，則此時(shí)當(dāng)時(shí)，所以解得：，綜上所述：或，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集，若懂得借助函數(shù)圖象進(jìn)行分析，則更容易看出問題的本質(zhì).二、填空題13.已知，則在方向上的投影為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影的定義求解即可.【詳解】由數(shù)量積定義可知在方向上的投影為，則故答案【點(diǎn)睛】本題主要考查了投影和數(shù)量積公式，掌握在方向上的投影為是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14.若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積為_.【答案】4.

10、【解析】分析】設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，在直角三角形POA中，求得高,利用體積公式，即可求解【詳解】由題意，如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=，在直角三角形POA中，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐體積的計(jì)算，其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì)，以及棱錐的體積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力15.化簡(jiǎn)=_；【答案】-4【解析】【分析】對(duì)式子進(jìn)行通分，利用倍角公式得，利用輔助角公式得，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得值為.【詳解】原式，故填：.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換公式的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，特別注意變換過程中符號(hào)不能弄錯(cuò).1

11、6.已知數(shù)列是首項(xiàng)為-6，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足且，則數(shù)列的最大值為_.【答案】【解析】【分析】先求等差數(shù)列，利用累加法求出，令，由式子得的最大值在中取得，利用數(shù)列的單調(diào)性得為的最大值.【詳解】由已知易得：，因?yàn)?，所以累加得：，又，所以，所以，顯然前7項(xiàng)的值小于等于0，從第8項(xiàng)起大于0，所以當(dāng)時(shí)，所以，所以，故填：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列前項(xiàng)和、數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，考查累加法的應(yīng)用，數(shù)列的最大項(xiàng)要樹立函數(shù)單調(diào)性的思想意識(shí).三、解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若，求的值.【答案】（1）;（

12、2）【解析】【分析】（1）由降冪公式、誘導(dǎo)公式得、輔助角公式化簡(jiǎn)，代入周期公式；（2）根據(jù)得到，再由斜弦定理和正弦定理得到關(guān)于的方程，再求得的值.【詳解】（1），所以.（2）因?yàn)?，因?yàn)?，所?因?yàn)?，因?yàn)?，所以，?lián)立方程得：.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中的降冪公式、誘導(dǎo)公式、輔助角公式、解三角形中的正、余弦定理的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，注意由方程得到，要加上這一條件.18.如圖，在幾何體中，平面平面，,為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）解析見證明；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行判定定理證明線面平行；

13、（2）找到并證明兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量，最后代入公式進(jìn)行求值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連，在中，又，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面.（2）平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面.，為中點(diǎn)，.以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則取，設(shè)直線與平面所成角為，.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理的運(yùn)用、用空間向量求線面角等知識(shí)，考查空間相象能力和運(yùn)算求解能力，在建系時(shí)如果三條兩兩互相垂直的直線不明顯，必需要給出證明.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（

14、2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）利用臨差法，多遞推一項(xiàng)再相減得，再利用構(gòu)造法得，得到，從而證明是等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式得；（2）由（1）得，利用錯(cuò)位相減法和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，分別求得數(shù)列，前項(xiàng)和，再相加.【詳解】（1）因?yàn)?，兩式相減得：，所以，當(dāng)時(shí)，.所以是以公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以.（2），令，其前項(xiàng)和為，所以，兩邊同乘以得：，兩式相減得：，整理得：，令，其前項(xiàng)和為，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和等知識(shí)，考查邏輯推理和運(yùn)算求解能力，由于計(jì)算比較繁瑣，所以最后可能通過檢驗(yàn)與是否相等，驗(yàn)證答案

15、的準(zhǔn)確性.20.如圖，在直三棱柱中，,（1）若為中點(diǎn)，證明：平面（2）設(shè)與平面所成的角為，求此三棱柱的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）證明垂直平面兩條相交直線，再利用線面垂直判定定理進(jìn)行證明；（2）作出與平面所成的角，并給出證明，再設(shè)，利用求得的值，再代入柱體體積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）設(shè)，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，又，即，又，平面.（2）過作于，連，平面平面，平面平面，平面，平面.為與平面所成的角，故，設(shè)，則，?！军c(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、平面幾何中的垂直關(guān)系、線面角的概念及體積公式計(jì)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解過程中要有方程思

16、想的意識(shí).21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，討論的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成解一次不等式，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）由第（1）步的思路，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后，再次求導(dǎo)得到，對(duì)分成和兩種情況進(jìn)行討論，先研究的單調(diào)性與函數(shù)值的正負(fù)，再研究的單調(diào)性與函數(shù)值的正負(fù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在恒成立，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立.當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，且，所

17、以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上恒成立，這與相矛盾，所以不成立.綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、參數(shù)的取值范圍，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，求解過程中要時(shí)刻注意腦中有圖，同時(shí)注意題設(shè)中的兩個(gè)條件.22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為(1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2）若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線與直線交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把參數(shù)方程消去參數(shù)得到，對(duì)極坐標(biāo)方程兩邊同乘以，再把代入化簡(jiǎn)得：； （2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中，利用參數(shù)的幾何意義知：，再把韋達(dá)定理代入，求值為.【詳解】由，因?yàn)?，所以，把代入得：，?（2）把代入得：，所以則異號(hào)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化，考查運(yùn)算求解能力，在運(yùn)用參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義時(shí)，前提是參數(shù)方程必需轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式.23.