第四章大數(shù)定律與中心極限定理概要

1、4.1 特征函數(shù) 4.2 大數(shù)定律 4.3 隨機(jī)變量序列的兩種收斂性 4.4 中心極限定理,第四章 大數(shù)定律與中心極限定理,4.1 特征函數(shù),特征函數(shù)是處理概率論問題的有力工具， 其作用在于：,可將卷積運(yùn)算化成乘法運(yùn)算； 可將求各階矩的積分運(yùn)算化成微分運(yùn)算； 可將求隨機(jī)變量序列的極限分布化成一般的函數(shù)極限問題； .,4.1.1 特征函數(shù)的定義,定義4.1.1 設(shè) X 是一隨機(jī)變量，稱 (t) = E( eitX ) 為 X 的特征函數(shù). (必定存在),注意：,是虛數(shù)單位.,注 意 點(diǎn)(1),(1) 當(dāng)X為離散隨機(jī)變量時(shí)，,(2) 當(dāng)X為連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，,這是 p(x) 的傅里葉變換,性質(zhì)4.1

2、.1,4.1.2 特征函數(shù)的性質(zhì),|(t)| (0)=1,性質(zhì)4.1.2,性質(zhì)4.1.3,性質(zhì)4.1.4,若 X 與 Y 獨(dú)立，則,性質(zhì)4.1.5,定理4.1.1,特征函數(shù)的定理,一致連續(xù)性.,定理4.1.2,定理4.1.3,定理4.1.4,唯一性.,定理4.1.5,非負(fù)定性.,逆轉(zhuǎn)公式.,連續(xù)場(chǎng)合，,4.2 大數(shù)定律,討論 “概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義； 給出幾種大數(shù)定律： 伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、 馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律.,4.2.1 伯努利大數(shù)定律,定理4.2.1（伯努利大數(shù)定律）,設(shè) n 是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中 P(A) = p, 則對(duì)任意

3、的 0，有,4.2.2 常用的幾個(gè)大數(shù)定律,大數(shù)定律一般形式：,若隨機(jī)變量序列Xn滿足：,則稱Xn 服從大數(shù)定律.,切比雪夫大數(shù)定律,定理4.2.2,Xn兩兩不相關(guān)，且Xn方差存在，有共同的上界，則 Xn服從大數(shù)定律.,證明用到切比雪夫不等式.,馬爾可夫大數(shù)定律,定理4.2.3,若隨機(jī)變量序列Xn滿足：,則 Xn服從大數(shù)定律.,(馬爾可夫條件),辛欽大數(shù)定律,定理4.2.4,若隨機(jī)變量序列Xn獨(dú)立同分布，且Xn的數(shù)學(xué)期望存在。則 Xn服從大數(shù)定律.,(1) 伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例.,注 意 點(diǎn),(2) 切比雪夫大數(shù)定律是馬爾可夫大數(shù)定律的特例.,(3) 伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)

4、定律的特例.,4.3 隨機(jī)變量序列的兩種收斂性,兩種收斂性： i) 依概率收斂：用于大數(shù)定律； ii) 按分布收斂：用于中心極限定理.,4.3.1 依概率收斂,定義4.3.1 (依概率收斂),大數(shù)定律討論的就是依概率收斂.,若對(duì)任意的 0，有,則稱隨機(jī)變量序列Yn依概率收斂于Y, 記為,依概率收斂的性質(zhì),定理4.3.1 若,則Xn與Yn的加、減、乘、除 依概率收斂到 a 與 b 的加、減、乘、除.,4.3.2 按分布收斂、弱收斂,對(duì)分布函數(shù)列 Fn(x)而言，點(diǎn)點(diǎn)收斂要求太高.,定義4.3.2 若在 F(x) 的連續(xù)點(diǎn)上都有,則稱Fn(x) 弱收斂于 F(x) ，記為,相應(yīng)記,按分布收斂,依概

5、率收斂與按分布收斂的關(guān)系,定理4.3.2,定理4.3.3,4.3.3 判斷弱收斂的方法,定理4.3.4,4.4 中心極限定理,討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布, 本指出極限分布為正態(tài)分布.,4.4.1 獨(dú)立隨機(jī)變量和,設(shè) Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為,4.4.2 獨(dú)立同分布下的中心極限定理,定理4.4.1 林德貝格勒維中心極限定理,設(shè) Xn 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，數(shù)學(xué)期望為, 方差為 20，則當(dāng) n 充分大時(shí)，有,應(yīng)用之例: 正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生； 誤差分析,例4.4.1 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克. 一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克

6、的概率?,解:,設(shè)箱中第 i 袋味精的凈重為 Xi, 則Xi 獨(dú)立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心極限定理得，所求概率為：,= 0.0002,故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002. (很小),4.4.3 二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理,設(shè)n 為服從二項(xiàng)分布 b(n, p) 的隨機(jī)變量，則當(dāng) n 充分大時(shí)，有,是林德貝格勒維中心極限定理的特例.,中心極限定理的應(yīng)用有三大類：,注 意 點(diǎn) (2),ii) 已知 n 和概率，求y ；,iii) 已知 y 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 y，求概率；,一、給定

7、n 和 y，求概率,例4.4.3 100個(gè)獨(dú)立工作(工作的概率為0.9)的部件組成一個(gè)系統(tǒng)，求系統(tǒng)中至少有85個(gè)部件工作的概率.,解：用,由此得：,Xi=1表示第i個(gè)部件正常工作, 反之記為Xi=0.,又記Y=X1+X2+X100，則 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、給定 n 和概率，求 y,例4.4.4 有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.7)的機(jī)床， 每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需15kw電力. 問共需多少電力, 才可 有95%的可能性保證正常生產(chǎn)?,解：用,設(shè)供電量為y, 則從,Xi=1表示第i臺(tái)機(jī)床正常工作, 反之記為Xi=0.,又記Y=X1+X2+X200，則 E(Y)=140，Var(Y

8、)=42.,中解得,三、給定 y 和概率，求 n,例4.4.5 用調(diào)查對(duì)象中的收看比例 k/n 作為某電視節(jié) 目的收視率 p 的估計(jì)。 要有 90 的把握，使k/n與p 的差異不大于0.05，問至少要調(diào)查多少對(duì)象？,解：用,根據(jù)題意,Yn表示n 個(gè)調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則,從中解得,Yn 服從 b(n, p) 分布，k 為Yn的實(shí)際取值。,又由,可解得,n = 271,4.4.4 獨(dú)立不同分布下的中心極限定理,定理4.4.3 林德貝格中心極限定理,設(shè)Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若任對(duì) 0，有,林德貝格條件,則,李雅普諾夫中心極限定理,定理4.4.4 李雅普諾夫中心極限定理,設(shè)Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若存在 0，滿足：,李雅