第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì).ppt

1、 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,第5章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量,抽樣分布,數(shù)理統(tǒng)計(jì),一、數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其任務(wù),數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門以概率論為基礎(chǔ)的應(yīng)用學(xué)科。 它是研究如何有效地收集、 整理、分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問題作出推斷和預(yù)測，從而為決策提供依據(jù)。,數(shù)據(jù)的隨機(jī)性來源有二:一是由于種種原因(如所涉及的研究對(duì)象數(shù)量很大),人們不可能對(duì)其全部進(jìn)行研究,而只能以一定方式挑選其中一部分考察,這一部分的挑選就必然帶有隨機(jī)性;二是試驗(yàn)的隨機(jī)誤差,這是指試驗(yàn)中無法控制或未加控制,甚至不了解的因素引起的誤差。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究有效地收集數(shù)據(jù)，科學(xué)地整理與分析所獲得的有限的資料，對(duì)所研究

2、的問題, 盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論。,有效地收集數(shù)據(jù)有兩方面的含義:一是可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)上可處理并盡可能簡單方便的模型來描述所得到的數(shù)據(jù);二是要收集包含盡可能多的與所研究的問題有關(guān)的信息。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究問題的方式，不是對(duì)所研究對(duì)象的全體 ( 稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)(抽樣)，并通過這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征。,二、數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究問題的一般流程,我們這門課所學(xué)的數(shù)理 統(tǒng)計(jì)實(shí)際上是統(tǒng)計(jì)推斷 及其應(yīng)用（方差分析與 回歸分析）的一部分內(nèi) 容。,為什么要用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法研究問題？隨機(jī)現(xiàn)象有它的規(guī)律性，隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)注定了進(jìn)行

3、足夠多次觀察，其規(guī)律性才能清楚地呈現(xiàn)出來。但是，客觀上只允許對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行有限次觀察試驗(yàn)，只能獲得局部觀察資料.,三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的區(qū)別與聯(lián)系,1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系,2、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的區(qū)別,主要體現(xiàn)在研究方法的差別上：概率論是在已知隨機(jī)變量服從某種分布（概率函數(shù)、概率密度、分布函數(shù)）的情況下，研究隨機(jī)變量分布的性質(zhì)，數(shù)字特征和它的應(yīng)用。例如：已知隨機(jī)變量的概率密度求它的分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、方差；已知隨機(jī)變量的分布求其函數(shù)的分布等，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，從中得到能夠描述研究對(duì)象的某個(gè)隨機(jī)變量的具體分布和數(shù)字特征，以此推斷對(duì)象整體所具有的規(guī)律。前者用的是演繹法，后者

4、用的是歸納法。,都以隨機(jī)現(xiàn)象為對(duì)象，研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,總體 (Population),在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體（母體）； 組成總體的每個(gè)單元稱為個(gè)體； 描述總體單元在某方面特性的名稱或記號(hào)稱為總體指標(biāo)； 每個(gè)總體單元對(duì)總體指標(biāo)的響應(yīng)稱為指標(biāo)值； 總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量。,5.1 總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量,總體與總體特征數(shù),1.基本定義, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,個(gè)體,總體,研究大氣中的懸浮顆 粒的大小,總體 (Population),2.舉例,考察某大學(xué)一年級(jí)學(xué) 生的年齡,個(gè)體,總體, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,總體可以用隨機(jī)變量及其分布來表示，研究總體等價(jià)于研究表

5、達(dá)總體的隨機(jī)變量概率分布；在理論上可以把總體與概率分布等同起來，總體分布就是表達(dá)總體的隨機(jī)變量的分布。,總體 (Population),3.總體與隨機(jī)變量的關(guān)系, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,總體 (Population),設(shè)某大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的年 齡分布如右表,若從該大學(xué)一年級(jí)學(xué)生中任意抽查一個(gè)學(xué)生的年齡，所得結(jié)果為一隨機(jī)變量，記作X,X的概率分布是：,可見，X的概率分布反映了總體中各個(gè)值的分布情況. 很自然地，我們就用隨機(jī)變量X來表示所考察的總體.,也就是說，總體可以用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來描述.,3.總體與隨機(jī)變量的關(guān)系, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,總體特征數(shù),總體方差,總體均值,1.基本概

6、念, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,總體頻率, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,總體方差,如果總體為無限總體，則其對(duì)應(yīng)的總體特征數(shù)如下,總體均值, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,樣本 (Sample),樣本與樣本的數(shù)字特征,1.基本定義 按一定規(guī)則從總體中抽取一部分總體單元進(jìn)行觀測或試驗(yàn)，這一抽取過程稱為“抽樣”； 所抽取的部分總體單元的整體稱為總體的一個(gè)樣本(子樣)； 樣本中所包含的總體單元稱為樣本單元； 樣本中樣本單元的數(shù)目稱為樣本容量。, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,2.樣本應(yīng)滿足的性質(zhì),(1) 代表性；(2) 隨機(jī)性。,簡單隨機(jī)樣本,1.簡單隨機(jī)樣本（Independence identical di

7、stribution ）,2.生產(chǎn)實(shí)踐中獲得簡單隨機(jī)樣本的方法,(1) 有放回抽樣；,(3) 總體容量很大時(shí)無放回抽樣可近似看成隨機(jī)抽樣,(2) 農(nóng)業(yè)調(diào)研-對(duì)角線抽樣；, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,3. 樣本分布,注意：樣本分布反映樣本取不同實(shí)現(xiàn)的概率規(guī)律，其與總體分布相聯(lián)系，一般求算比較麻煩，但對(duì)于簡單隨機(jī)樣本有下列結(jié)果。, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,4. 總體、樣本、樣本實(shí)現(xiàn)的關(guān)系, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,統(tǒng)計(jì)量(Statistic), 統(tǒng)計(jì)量的基本概念, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2

8、012,幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量,樣本平均值,它反映了總體 均值的信息,樣本方差,它反映了總體 方差的信息,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,1. 均值、方差、矩, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,公式推導(dǎo), 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,它反映了總體k 階中心矩的信息,樣本k階原點(diǎn)矩,樣本k階中心矩,它反映了總體k 階原點(diǎn)矩的信息, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,2. 次序統(tǒng)計(jì)量,樣本中位數(shù),定義5.1.7 設(shè),的依次序排列成,，則稱,為樣本的第,統(tǒng)計(jì)量，特別，稱,為最小次序統(tǒng)計(jì)量，,為最大次序統(tǒng)。,為樣本，把樣本按其實(shí)現(xiàn)由小到大,個(gè)次序,計(jì)量., 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,樣本極值,樣本極差,和,樣本極值

9、在某些關(guān)于災(zāi)害性現(xiàn)象與材料實(shí)驗(yàn)結(jié)果的 統(tǒng)計(jì)分析中有用。 如一定時(shí)期內(nèi)一條河的最大流量、地震的最大震級(jí)、 材料斷裂強(qiáng)度、苗木受凍害的最低溫度等，都是極值性 的量。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有一個(gè)叫極值統(tǒng)計(jì)分析的專題處理這類問 題，也可視為順序統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)分析的一部分。,和,分別稱為樣本的最大值和最小值.,極差可用以估計(jì)總體分布的數(shù)量變動(dòng)的最大范圍。,四、樣本的頻率分布與直方圖,由樣本可以推斷總體，其直觀想法是：樣本來自總體，自然帶有總體的信息，從這些信息出發(fā)研究總體，總有可能得到總體的某些真實(shí)性質(zhì)。其次，由樣本研究總體，可以節(jié)省人力物力等。 由樣本研究總體的可行性還可以從理論上得到證實(shí)。,1.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),

10、例5.4,數(shù)據(jù)整理：將數(shù)據(jù)分組 計(jì)算各組頻數(shù) 作頻率分布表 作頻率直方圖,為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，首要的工作是收集原始數(shù)據(jù).一般通過抽樣調(diào)查或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)往往是雜亂無章的，需要通過整理后才能顯示出它們的分布狀況。 數(shù)據(jù)的簡單處理是以一種直觀明了方式加工數(shù)據(jù)，它包括兩個(gè)方面：數(shù)據(jù)整理；計(jì)算樣本特征值。,計(jì)算樣本特征值：樣本均值、樣本方差等。,例5.5 為對(duì)某小麥雜交組合F2代的株高X進(jìn)行研究，抽取容量為100的樣本，測試的原始數(shù)據(jù)記錄如下(單位:厘米)，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫出它的頻率直方圖，并以此說明隨機(jī)變量X的分布狀況。,2.樣本頻率分布表與直方圖,87 88111 91 73 70 92 9810

11、5 94 99 91 98110 98 97 90 83 92 88 86 94102 99 89104 94 94 92 96 87 94 92 86102 88 75 90 90 80 84 91 82 94 99102 91 96 94 94 85 88 80 83 81 69 95 80 97 92 96109 91 80 80 94102 80 86 91 90 83 84 91 87 95 76 90 91 77 103 89 88 85 95 92104 92 95 83 86 81 86 91 89 83 96 86 75 92,整理原始數(shù)據(jù)，加工為分組資料，作出頻率分布表，畫

12、直方圖，提取樣本分布特征的信息。步驟如下：,(1).找數(shù)據(jù)最小值m=69，最大值M=111，極差為Mm=42； (2).數(shù)據(jù)分組，根據(jù)樣本容量n的大小，決定分組數(shù)k； (3).確定組限和組中點(diǎn)值； (4).將數(shù)據(jù)分組，計(jì)算出各組頻數(shù)，作頻數(shù)、頻率分布表；,(5).作出頻率直方圖。 注意：分組的一般原則為 30n40 5k6 40n60 6k8 60n100 8k10 100n500 10k20 本例取k=9，一般采取等距分組（也可以不等距分組），組距等于比極差除以組數(shù)略大的測量單位的整數(shù)倍。本例測量單位為1厘米，組距為,一般根據(jù)算式： 各組中點(diǎn)值加減1/2組距=組的上限或下限，組的上限與下限應(yīng)

13、比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)。本例取a=67.5，b=112.49(a略小于m，b略大于M，且a和b都比數(shù)據(jù)多一位小數(shù))，分組如下：,67.5,72.5) 72.5,77.5) 77.5,82.5) 82.5,87.5) 87.5,92.5) 92.5,97.5) 97.5,102.5) 102.5,107.5) 107.5,112.5) 組中值分別為：70,75,80,85,90,95,100,105,110,以樣本值為橫坐標(biāo)，頻率/組距為縱坐標(biāo)；以分組區(qū)間為底，以,為高作頻率直方圖，如圖所示。 從頻率直方圖可看到： 靠近兩個(gè)極端的數(shù)據(jù)出 現(xiàn)比較少，而中間附近 的數(shù)據(jù)比較多，即中間 大兩頭小的分布趨勢(shì)(

14、隨 機(jī)變量分布狀況的最粗 略的信息)。頻率直方圖 中的小矩形的面積近似 地反映了樣本數(shù)據(jù)落在 某個(gè)區(qū)間內(nèi)的可能性大小，故它可近似描述X的分布狀況。,1.枝葉圖(莖葉圖） 將樣本的實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)分為兩部分，一部分 作為枝，另一部分為葉，構(gòu)成的圖稱為枝葉圖。 以例說明枝葉圖的做法：,例5.6,64 67 70 72 74 76 76 79 80 81 82 82 83 85 86 88 91 91 92 93 93 93 95 95 95 97 97 99 100 100 102 104 106 106 107 108 108 112 112 114 116 118 119 119 122 123 125 126 128 133,試作枝葉圖 解：將數(shù)據(jù)的百位和十位作枝，個(gè)位 作葉，用豎線將枝葉分開，形成圖。,五.其他描述樣本特征的圖,2.五數(shù)概括與箱線圖,車輛重量（磅）,5.2 抽樣分布,正態(tài)總體的抽樣分布,重要定理及推論,2.一個(gè)重要定理,1.基本概念,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布；, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,3. 三個(gè)重要推論, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012,推論1：, 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012, 概率統(tǒng)計(jì)