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文檔簡介

1、第三節(jié) 行列式按行(列)展開,定義,在n階行列式D中，劃掉元素aij所在的第i行和第j列后留下的n1階行列式稱為元素aij的余子式。記作Mij.,稱為aij的代數(shù)余子式.,例如,定理.1 n階行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即,證,定理3.2 n階行列式D中某一行（列）的各個(gè)元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即,或,證明,我們只證第一個(gè)式子。等號(hào)左端的表達(dá)式可視為一個(gè)行列式按第i行的展開式，該行列式的特點(diǎn)是：第i行的元素就是D中第k行的元素，而且它的第i行與D的第i行對(duì)應(yīng)的元素有相同的代數(shù)余子式。于是知該行列式為,i,k,

2、由于B中第i行與第k行相同，則B0，故,同理可證,證畢,把定理3.1及定理3.2結(jié)合起來,便得到了兩個(gè)重要 公式：,設(shè)n階行列式D，則,例1 計(jì)算行列式,解,例2 計(jì)算行列式D=|aij|n，其中aij=|ij|.,解：寫出此行列式觀察其特征,=(1)n+1(n 1)2n-2.,例3,計(jì)算n階行列式,解,按第1列展開,而,所以,練習(xí)：計(jì)算,行列式的展開定理3.1可以進(jìn)一步推廣。為此我們將元素的余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。,定義,在n階行列式D中選取k行、k列(1k n) ，由這些行、列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式，稱為D的k階子式。記作N。在行列式D中去掉k階子式N所在行、列以后得到的

3、nk階行列式稱為該k階子式的余子式。記作M。若N所在的行序數(shù)為i1,i2,ik，所在的列序數(shù)為j1,j2,jk，那么,稱做N的代數(shù)余子式。,定理3.3 拉普拉斯(Laplace)定理,設(shè)在n階行列式D中任意選取k個(gè)行（列） (1k n-1) ，找出位于這k行（列）中的一切k階子式N1,N2,Nt及其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,At，則有,其中,例4,計(jì)算五階行列式,解,利用定理3.3，把行列式D按前二行展開，前二行共有 C52=10 個(gè)二階子式，但其中不為0的只有三個(gè),與N1, N2, N3對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為,所以,例5,計(jì)算2n階行列式,解法1,按第一行展開有,以此作遞推公式，即可得,解法2,利用定理3.3，按第n,n+1行這兩行展開行列式

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