第六章《概率論與數理統計教程》課件.ppt

1、第六章 參數估計,概率論與數理統計教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著,大 綱 要 求,一、理解點估計的概念. 二、了解估計量的評選標準（無偏性、有效性、一致性） 三、掌握矩估計法和極大似然估計法. 四、理解區(qū)間估計的概念. 五、會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間. 六、了解兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.,學 習 內 容,6.1 參數的點估計 6.2 衡量點估計量好壞的標準 6.3 正態(tài)總體參數的區(qū)間估計 6.4 兩個正態(tài)總體均值差與方差比 的區(qū)間估計,數理統計的主要任務之一是依據樣本推斷總體.推斷的基本內容包括兩個方面:一是依據樣本尋找總體未知參數的近似值和近似范圍;二

2、是依據樣本對總體未知參數的某種假設作出真?zhèn)闻袛?本章先介紹求近似值和近似范圍的方法.,XP(), XE(), XN(,2),用所獲得的樣本值去估計參數取值稱為參數估計.,點估計 區(qū)間估計,在要求的精度范圍內指出參數所在的區(qū)間,6.1 參數的點估計,參數估計,用某一數值作為參數的近似值,1. 點估計,定義 設總體X分布函數為F(x;1,2,m), i為未知 參數(i=1,2,m), X1,X2,Xn 為來自該總體的s.r.s,若以 統計量 =i(x1,x2,xn) 作為i的近似值,則稱 為i 的估計值(抽樣后),也稱 為i的估計量(抽樣前).由于近似 值(實數)與實數軸的點一一對應,姑且又稱 為

3、i的點估計 量（或值).,X分布為F(x;)待估,選擇統計量,估計量,帶入樣本值,估計值,即:,2. 點估計的方法,一、 矩估計法,將總體的各階原點矩用相應階的樣本原點矩替代，布列方程組或方程，所得到的解，作為總體未知參數的點估計值。,例1 設總體X在區(qū)間0， 上服從均勻分布，其中 0 是未知參數, 如果取得樣本觀測值為 求 的矩估計值,解：因為總體X的概率密度 總體X的一階原點矩 ， 樣本一階原點矩 由矩估計值方法得 所以得到 的矩估計量 而 的矩估計值就是,解： 因為總體X的分布中有兩個未知參數，所以應考慮一、二階原點矩，我們有 由矩估計值方法得 所以得到矩估計量 而矩估計值是,例2 設總

4、體 ,其中 及 都是未知參數，如 果取得樣本觀測值為 求 及 的矩估計值。,（1）基本思想 甲乙兩人比較射擊技術，分別射擊目標一次，甲中而乙未中，可 以認為：甲射擊技術優(yōu)于乙射擊技術。 事件A發(fā)生的概率為0.1或0.9，觀察一次，事件A發(fā)生了，可以認 為：事件A發(fā)生的概率為0.9。 實際問題(醫(yī)生看病、公安人員破案、技術人員進行質量檢驗等)盡管千差萬別,但他們具有一個共同的規(guī)律,即在獲得了觀察資料之后,給參數選取一個數值,使得前面的觀察結果出現的可能性最大.,二、 最大似然估計法,（2） 似然函數 設總體X為連續(xù)型,Xf(x;1,2,m), i為待 估參數(i=1,2,m),X1,X2,Xn為

5、來自該總體的s.r.s, 則（X1,X2,Xn）的聯合密度函數為 如果,設總體X為離散型,P(X=x)=P(x;1,m),i為待估參數(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來自該總體的s.r.s,則 P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m) （X1,X2,Xn）的似然函數為,如 XP(),即,樣本觀察值出現可能性的大小跟似然函數在該樣本值處的函數值有關, L越大, 樣本觀察值越可能出現.,若似然函數 在 取到最大值,則稱 分別為 的 最大似然估計.,（3）方法與步驟,（2）寫出對數似然函數(對似然函數求導),（3）寫出似然方程,（4）求解似然方程并寫出估計量,(只有一個待

6、估參數時求 ),例 3 求參數為p的0-1分布的最大似然估計.,P(X=0)=1-p P(X=1)=p,P(X=x)=px(1-p)1-x ( x=0,1),解得,最大似然估計為,例4. XN(,2),求參數,2的最大似然估計.,解:,例5. 設X服從0,區(qū)間上的均勻分布,參數 0,求的最大似然估計.,解:由題意得:,無解.,考慮L的取值,要使L取值最大,應最小,取,此時,L取值最大,所以,所求最大似然估計為,應用最大似然估計基本思想: L越大,樣本觀察值越可能出現.,6.2 衡量點估計量好壞的標準,設 為的一個點估計,若 則稱 為的一個無偏估計.,容易明白,對同一個未知參數,采用不同的方法找

7、到的點估計可能不同,那么,自然要問:究竟是用哪一個更“好”些呢?這里介紹三個評價標準.,標準一:,注意:無偏估計不是唯一存在.,設總體X的均值和方差分別為： 則 （1）樣本均值 是總體均值 的無偏估計量； （2）樣本方差 是總體方差 的無偏估計量。,兩個重要結論,設 和 是 的兩個無偏估計,若 ，則稱 比 更有效,設統計量 是未知參數 的點估計量，樣本 容量為 n ，若對任意 則稱 為 的一致估計.,兩個重要結論 （1）設總體X的均值 ，方差 則樣本均值 是總體均值 的一致估計量。 （2）樣本方差 是總體方差 的一致估計量。,點估計有使用方便、直觀等優(yōu)點,但它并沒有提供關于估計精度的任何信息,

8、為此提出了未知參數的區(qū)間估計法.,如:對明年小麥的畝產量作出估計為:,若設X表示明年畝產量,則估計結果為,P(800X1000)=80%,明年小麥畝產量八成為800-1000斤.,6.3 正態(tài)總體參數的區(qū)間估計,區(qū)間估計,1. 區(qū)間估計的定義,設總體分布中含有未知參數 ,根據來自該總體的s.r.s , 如果能夠找到兩個統計量 ,使得隨機區(qū)間 包含 達到一定的把握,那么,便稱該隨機區(qū)間為未知參 數的區(qū)間估計.即 當 成立時, 稱概率 為置信度或置信水平; 稱區(qū)間 是 的置信度為 的置信區(qū)間; 分別稱為置信下限和置信上限.,注意:點估計給出的是未知參數的一個近似值;區(qū)間估計給出的是未知參數的一個近

9、似范圍,并且知道這個范圍包含未知參數值的可靠程度.,說法1: 以概率 包含 ; 說法2: 以概率 落入 ; 說法3: 不包含 的概率為 ; 說法4: 以 的概率落在 之外;,例 2 . 設總體XN(,2),其中 2已知, X1,X2,Xn為X 的 一個樣本,求一個區(qū)間,使之以1-的 概率 包含的真值.,解:(1)選擇包含的分布已知函數:,(2)構造Z的 一個1-區(qū)間:,不妨設,即,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,所求1-置信區(qū)間為,P(|Z|)=1-,/2,/2,1-,=z/2,-,P(|Z|)=1-,置信區(qū)間不是唯一的.對于同一個置信度,可以有不同的置信區(qū)間.置信度相同時,當然置信區(qū)間越短越

10、好.一般來說,置信區(qū)間取成對稱區(qū)間.,注意:,2. 求置信區(qū)間的方法與步驟:,第一步 構造一個含未知參數的分布已知的隨機變量(樣本的函數)Z,Z中除待估參數外不含其它任何未知參數,一般是從未知參數的點估計著手,再進行加工來構造;,第二步 對給定的置信度 ,根據Z的分布定出滿足 的a,b(叫分位數或臨界點);,第三步 利用不等式變形,求出未知參數的 置信區(qū)間.,3.單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計:,(1)選擇包含的分布已知函數:,(2)構造Z的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,1）2已知,求的置信度為1-置信區(qū)間：,例 3.

11、 設總體XN(,0.92),X1,X2,X 9為來自總體的簡單隨 機樣本，樣本均值為5，求的置信度為95%的置信區(qū)間。,解:由題意得:,這是方差已知的總體均值的區(qū)間估計，結果為,其中,n=9,z0.025=1.96,代入得,4.412,5.588,所求置信區(qū)間為,(4.412，5.588),設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,2）2未知,求的置信度為1-置信區(qū)間：,(1)選擇包含的分布已知函數:,(2)構造T的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1-,設總體XN(,2), X1,X2,Xn 為一組樣本，,3）求2置信度為1-的置信區(qū)間：,總體均值 已

12、知， 由定理3知，樣本函數 選取 ，使得 所以,即：,的置信水平為 的置信區(qū)間為：,(a)選擇包含2的分布已知函數:,(c)變形得到2的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1-,1,2,1-/2,(b)構造 的 一個1-區(qū)間:,總體均值 未知，則 的置信區(qū)間,6.4 兩個正態(tài)總體均值差 與方差比的區(qū)間估計,1.兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計:,設原總體XN(1,12),改變后的總體Y N(2,22),X, Y相互獨立,從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,樣本均值和樣本方差分別記為,1) 12, 22已知, 1- 2的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含1- 2的分布已知函數:,(2)構造Z的 一個1-區(qū)間:,

13、(3)變形得到1- 2的1-置信區(qū)間:,2) 12=22=2, 2未知,1- 2的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含1- 2的分布已知函數:,(2)構造T的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到1- 2的1-置信區(qū)間:,2. 兩個正態(tài)總體方差比 12/22的1-置信區(qū)間:,(1)選擇包含12/22 的分布已知函數:,(2)構造F的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到12/22 的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,(1),(2),(1)選擇包含12/22 的分布已知函數:,(2)構造F的 一個1-區(qū)間:,(3)變形得到12/22 的1-置信區(qū)間:,/2,/2,1,2,P(1F 2)=1-,實際操作起來,依據樣本,按照第三步求出的 置信區(qū)間,查出分位數,算得上下限,最后寫出數值區(qū)間,單正態(tài)總體參數的區(qū)間估計,雙