微分方程(Matlab).ppt

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),微 分 方 程,求微分方程的數(shù)值解,（一）常微分方程數(shù)值解的定義,（二）建立數(shù)值解法的一些途徑,（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解,返 回,1、目標(biāo)跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題,2、目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗,3、地中海鯊魚問題,返 回,數(shù)學(xué)建模實(shí)例,微分方程的解析解,To Matlab（ff1）,結(jié) 果：u = tg(t-c),解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）,To Matlab（ff2）,解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3

2、*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡 y=simple(y) z=simple(z),結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,To Matlab（ff3）,返 回,微分方程的數(shù)值解,（一）常微分方程數(shù)值解的定義,在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點(diǎn)

3、上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。,因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。,返 回,（二）建立數(shù)值解法的一些途徑,1、用差商代替導(dǎo)數(shù),若步長h較小，則有,故有公式：,此即歐拉法。,2、使用數(shù)值積分,對方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：,實(shí)際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：,此即改進(jìn)的歐拉法。,故有公式：,3、使用泰勒公式,以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。,4、數(shù)值公式的精度,當(dāng)一個數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時（k為正整數(shù)，h為步長），稱它是一個k階公式。,k越大，則數(shù)值公式的精度越高。,

4、歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。 龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。 線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。,返 回,（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,1、在解n個未知函數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.,2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.,注意:,解: 令 y1=x，y2=y1,1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2)

5、; dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3、結(jié)果如圖,To Matlab（ff4）,解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,

6、Y(:,1),b-); hold on plot(T,Y(:,2),r*); plot(T,Y(:,3),g+);,3、結(jié)果如圖,To Matlab（ff5）,圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.,返 回,導(dǎo)彈追蹤問題,設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中？,解法一（解析法）,由(1),(2)消去t整理得模型:,To Matlab(chase1),軌跡圖見程序chase1,解法二(數(shù)值

7、解),1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*),結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦,To Matlab(ff6),令y1=y,y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組。,解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)

8、值解),設(shè)時刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t).,3因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t,4. 解導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程,建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,

9、-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),To Matlab(chase2),5. 結(jié)果見圖1,導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致.,圖1,圖2,返 回,在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,直到tf=0.21時，得圖2.,結(jié)論：時刻t=0.21時，導(dǎo)彈在（1，0.21）處擊中乙艦。,To Matlab(chase2),慢跑者與狗,一個慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻擊他. 這只狗從原點(diǎn)出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗

10、的運(yùn)動方向始終指向慢跑者.分別求出w=20,w=5時狗的運(yùn)動軌跡.,1. 模型建立,設(shè)時刻t慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t).,則X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗從(0,0)出發(fā),與導(dǎo)彈追蹤問題類似，建立狗的運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程:,2. 模型求解,(1) w=20時,建立m-文件eq3.m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+

11、15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=5, 2.5, 3.5,至3.15時, 狗剛好追上慢跑者.,To Matlab(chase3),建立m-文件eq4.

12、m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，tf=10，建立主程序chase4.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T

13、); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=20, 40, 80, 可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者.,To Matlab(chase4),(2) w=5時,返 回,地中海鯊魚問題,意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？,他無法解釋這個現(xiàn)象，于是求助于著名

14、的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個食餌捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個問題.,該 模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型.,首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);,其次，建立主程序shark.m如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2)

15、,*) plot(x(:,1),x(:,2),To Matlab(shark),求解結(jié)果：,左圖反映了x1（t）與x2（t）的關(guān)系。 可以猜測： x1（t）與x2（t）都是周期函數(shù)。,模型（二） 考慮人工捕獲,設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e，相當(dāng)于食餌的自然增長率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為 r2+e,設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)e=0.3, 戰(zhàn)爭中降為e=0.1, 則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭中的模型分別為:,模型求解:,1、分別用m-文件shier1.m和shier2.m定義上述兩個方程,2、建立主程序shark1.m, 求解兩個方程，并畫出兩種情況下鯊魚數(shù)在魚類總數(shù)中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t),To Matlab(sh