2014-2015年選修2-1-33.1.2.ppt

1、3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算,1.向量的數(shù)乘運(yùn)算 (1)數(shù)乘運(yùn)算:,相同,相反,|倍,向量,(2)運(yùn)算律:分配律:(a+b)=_; 結(jié)合律:(a)=_.,a+b,()a,2.平行(共線(xiàn))向量:,互相平行或重合,相同或相反,平面,a=b,惟一,p=xa+yb,方向向量,1.判一判(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算.() (2)若表示兩向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)為異面直線(xiàn),則這 兩個(gè)向量不是共面向量.() (3)如果 則P,A,B共線(xiàn).() (4)空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量.(),【解析】(1)錯(cuò)誤,實(shí)數(shù)與向量相加沒(méi)有意義,如3+a不能確定 該式子是實(shí)數(shù)

2、還是向量. (2)錯(cuò)誤,由共面向量的定義知空間中任意兩個(gè)向量都是共面向 量,故此種說(shuō)法錯(cuò)誤. (3)正確,能判定P,A,B共線(xiàn).因?yàn)樵娇苫癁? 由共線(xiàn) 向量的充要條件可知,P,A,B共線(xiàn).,(4)錯(cuò)誤,空間中的任意三個(gè)向量不一定是共 面向量.例如,對(duì)于空間四邊形ABCD, 這三個(gè)向量就不是共面向量. 答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上) (1)若|a|=5,b與a的方向相反,且|b|=7,則a=b. (2)已知b=-5a(|a|=2),向量b的長(zhǎng)度為,向量b的方 向與向量a的方向. (3)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中, ,若 則x=,y=.,【解析

3、】(1)b與a的方向相反, 所以a=b且實(shí)數(shù)0, 由|a|=|b|,所以 故= 答案: (2)因?yàn)閨a|=2,又b=-5a, 所以向量b的長(zhǎng)度為10, 又因?yàn)?50,故向量b與a的方向相反. 答案:10相反,(3) 所以x1，y 答案：1,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 1.數(shù)乘運(yùn)算的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別:數(shù)乘向量與數(shù)與數(shù)的乘法是有區(qū)別的,前者結(jié)果是一個(gè)向量,后者結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù). (2)與加法、減法運(yùn)算的關(guān)系:空間向量的數(shù)乘運(yùn)算,實(shí)質(zhì)是空間向量的加減運(yùn)算. (3)特殊情況:當(dāng)=0或a=0時(shí),向量a=0.,2.對(duì)a的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)含義:a是實(shí)數(shù)與向量a間的運(yùn)算. (2

4、)的作用:的正負(fù)影響著向量a的方向,的大小影響著向量a的長(zhǎng)度. (3)a的作用:向量a與向量a一定是共線(xiàn)向量.,【知識(shí)拓展】非零向量的單位化 已知非零向量a和它的單位向量a,顯然向量|a|a與向 量a等長(zhǎng)且同向,所以有a=|a|a或a= .由此可知,一個(gè)非 零向量a除以它的模就可以得到它的單位向量.從向量a求向量 a的過(guò)程就稱(chēng)為向量a的單位化.,【微思考】 (1)向量a的模與向量a的模比較何時(shí)擴(kuò)大?何時(shí)縮小? 提示:向量a的?？梢詳U(kuò)大(當(dāng)|1時(shí)),也可以縮小(當(dāng)|0時(shí)),也可以改變(當(dāng)0時(shí)).,【即時(shí)練】 化簡(jiǎn) (a2b3c) 3(a2bc) _. 【解析】原式 3a6b3c 答案：,知識(shí)點(diǎn)2

5、 共線(xiàn)向量 1.對(duì)空間共線(xiàn)向量的兩點(diǎn)說(shuō)明 (1)類(lèi)比理解:空間共線(xiàn)向量與平面共線(xiàn)向量的定義完全一樣,平面共線(xiàn)向量的結(jié)論在空間共線(xiàn)向量中仍然成立. (2)共線(xiàn)的理解:“共線(xiàn)”這個(gè)概念具有自反性,也具有對(duì)稱(chēng)性,即若ab,則ba.,2.共線(xiàn)向量充要條件的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)區(qū)別:共線(xiàn)向量與直線(xiàn)平行的區(qū)別,直線(xiàn)平行不包括兩直線(xiàn)重合的情況,而我們說(shuō)的兩個(gè)共線(xiàn)向量ab,表示向量a,b的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)既可以是同一直線(xiàn),也可以是兩條平行直線(xiàn). (2)零向量:共線(xiàn)向量的充要條件及其推論是證明共線(xiàn)(平行)問(wèn)題的重要依據(jù),條件b0不可遺漏. (3)方向向量的個(gè)數(shù):直線(xiàn)的方向向量是指與直線(xiàn)平行或共線(xiàn)的向量.一條直線(xiàn)的

6、方向向量有無(wú)限多個(gè),它們的方向相同或相反.,3三點(diǎn)P，A，B共線(xiàn)的三種充要條件 (1)存在實(shí)數(shù)t，使得 即 (2)存在實(shí)數(shù)t，使得 (3)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得 (其中x+y=1).,【知識(shí)拓展】共線(xiàn)向量定理推論的證明 推論:如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A,且平行于已 知向量a的直線(xiàn),那么對(duì)空間任一點(diǎn)O,點(diǎn)P在 直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿(mǎn)足等式,證明：因?yàn)閘a， 所以對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，存在惟一的實(shí)數(shù)t，使得 =ta.(*) 又因?yàn)閷?duì)于空間任意一點(diǎn)O， 有 所以 若在l上取AB=a，則有 (*) 又因?yàn)?所以 ,當(dāng)t= 時(shí)， 注：其中向量a叫做直線(xiàn)l的方向向量. 和都叫空間直線(xiàn)的向量表示

7、式，是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)向量 公式,【微思考】 (1)若空間中兩向量共線(xiàn),則它們的方向有什么關(guān)系? 提示:兩向量共線(xiàn),則它們的方向相同或相反. (2)在兩向量共線(xiàn)的充要條件中,為什么要求b0? 提示:由于我們已經(jīng)規(guī)定了0與任意向量平行,所以當(dāng)b=0時(shí),a與b是共線(xiàn)向量,可如果a0,就不可能存在實(shí)數(shù),使a=b成立.,【即時(shí)練】 給出下列幾個(gè)命題: 若a與b共線(xiàn),b與c共線(xiàn),則a與c共線(xiàn); 零向量的方向是任意的; 若ab,則存在惟一的實(shí)數(shù),使a=b.其中真命題的個(gè)數(shù)為 () A.0B.1C.2D.3,【解析】選B.錯(cuò)誤,若b=0,則a,b共線(xiàn),b,c共線(xiàn),但a,c未必共線(xiàn);正確.這是關(guān)于零向量的方向的

8、規(guī)定;錯(cuò)誤.若b=0,則有無(wú)數(shù)多個(gè)使之成立.,知識(shí)點(diǎn)3 共面向量 1.對(duì)共面向量的兩點(diǎn)說(shuō)明 (1)共面的理解:共面向量是指與同一個(gè)平面平行的向量,可將共面向量平移到同一個(gè)平面內(nèi). (2)向量的“自由性”:空間任意的兩向量都是共面的.只要方向相同,大小相等的向量就是同一向量,只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量.,2.對(duì)共面向量充要條件的兩點(diǎn)說(shuō)明: (1)表示式:共面向量的充要條件給出了平面的向量表示式,說(shuō) 明空間中任意一個(gè)平面都可以由兩個(gè)不共線(xiàn)的平面向量表示 出來(lái). (2)正反兩角度:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存 在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使 滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn) P都在平面M

9、AB內(nèi);反之,平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式.,【微思考】 (1)共面向量與直線(xiàn)與平面平行的定義是否一樣? 提示:共面向量是指表示向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)與平面平行或表示向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)在平面內(nèi),它與直線(xiàn)和平面平行是不同的.,(2)在三個(gè)向量共面的充要條件中,若兩向量a,b共線(xiàn),那么結(jié)論是否還成立? 提示:不成立.因?yàn)楫?dāng)p與a,b都共線(xiàn)時(shí),存在不惟一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)使p=xa+yb成立.當(dāng)p與a,b不共線(xiàn)時(shí),不存在實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)使p=xa+yb成立.,【即時(shí)練】 以下命題: 若a,b所在直線(xiàn)是異面直線(xiàn),則a與b一定不共面; 若a,b,c三向量?jī)蓛晒裁?則a,b,c三向量一定

10、也共面; 若a,b,c三向量共面,則由a,b所在直線(xiàn)確定的平面與由b,c所在直線(xiàn)確定的平面一定平行或重合.其中正確命題的個(gè)數(shù)為 () A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè),【解析】選A.錯(cuò).由于向量是可以自由平移的,所以空間任意 兩個(gè)向量一定共面;錯(cuò).從正方體一頂點(diǎn)引出的三條棱作為三 個(gè)向量,雖然是兩兩共面,但這三個(gè)向量不共面,三個(gè)向量共面 時(shí),它們所在的直線(xiàn)或者在平面內(nèi)或者與平面平行;錯(cuò).首先 a,b所在直線(xiàn)不一定能確定平面,其次在平行六面體ABCD- A1B1C1D1中, 三向量共面,然而平面ABCD與平面 ABB1A1相交.,【題型示范】 類(lèi)型一 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 【典例1】 (1)(20

11、14上海高二檢測(cè))已知正方體ABCD-ABCD中,點(diǎn) E是AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn),且AF= EF,則 等于 (),(2)已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面 ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點(diǎn)， 若求式中x，y的值.,【解題探究】1.題(1)中向量如何用向量 與向量 表示？ 與 關(guān)系如何？ 2.題(2)中 你能確定哪些與向量 有關(guān)的三角形？ 【探究提示】1.利用平行四邊形法則 與 可利用線(xiàn)段間的長(zhǎng)度比例關(guān)系建立聯(lián)系 2.解答本題需準(zhǔn)確畫(huà)圖，有關(guān)的三角形是POQ，可得 對(duì)于PAC可得,【自主解答】(1)選D.由條件AF EF得EF2AF，

12、 所以AE=AF+EF=3AF, 所以,(2)如圖， 因?yàn)?所以xy,【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下，若 求x，y的值. 【解析】因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)， 所以 所以 從而有 所以x2，y2.,【方法技巧】利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧 (1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量 (2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙逆用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,【變式訓(xùn)練】已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別 為BC，PD的中點(diǎn)，求滿(mǎn)足 的實(shí)數(shù)x，y， z的值.,【解析】 所以x1，y0，z,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(20

13、14石家莊高二檢測(cè))已知點(diǎn)G是ABC的重 心，O是空間任意一點(diǎn)，若 求的值 【解題指南】構(gòu)造與向量 有關(guān)的三角形、平行四 邊形，利用向量加法、減法的運(yùn)算法則及數(shù)乘運(yùn)算求解.,【解析】連接CG并延長(zhǎng)交AB于D， 則D為AB中點(diǎn)，且CG2GD，連接AG，BG. 所以 所以3.,類(lèi)型二 共線(xiàn)向量 【典例2】 (1)(2014廣州高二檢測(cè))已知空間向量a,b且 =a+2b, = -5a+6b,=7a-2b,則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是() A.A,B,DB.A,B,C C.B,C,DD.A,C,D,(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且 F在對(duì)角線(xiàn)A1C上,且 求證:E,F,B

14、三點(diǎn)共線(xiàn).,【解題探究】1.題(1)中 用向量a，b如何表示？ 2.題(2)中的向量 與 分別用向量 表示， 其結(jié)果是什么樣的？ 【探究提示】1. =2a4b.,【自主解答】(1)選A. (5a6b)(7a2b) 2a4b 所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn) (2)設(shè) 因?yàn)?所以 所以,所以 又 所以 所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線(xiàn),【方法技巧】 1.判斷向量共線(xiàn)的策略 (1)熟記共線(xiàn)向量充要條件：ab，b0，則存在惟一實(shí)數(shù)使ab；若存在惟一實(shí)數(shù)，使ab，則ab. (2)判斷向量共線(xiàn)的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù).,2.三點(diǎn)共線(xiàn)與直線(xiàn)平行的判斷 (1)線(xiàn)線(xiàn)平行：證明兩直線(xiàn)平行要先證明兩直線(xiàn)的方向向量a， b平行，還要證明直線(xiàn)上

15、有一點(diǎn)不在另一條直線(xiàn)上. (2)三點(diǎn)共線(xiàn)：證明三點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)，只需證明存在實(shí)數(shù)， 使 或 即可,【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形 且不共面,M,N分別是AC,BF的中點(diǎn),判斷 與 是否共線(xiàn).,【解析】因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)， 四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形， 所以 所以 即 與 共線(xiàn),【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在 三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)，m，n，使 0，那么 mn的值為_(kāi),【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在惟一實(shí)數(shù)k使 即 所以(k1) 0， 又 令k1，m1，nk， 則mn0. 答案：0,類(lèi)型三 共面向量 【

16、典例3】 (1)已知A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O是平面ABC外任一點(diǎn)，若由 確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面， 則_.,(2)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點(diǎn),N在AC上,且ANNC=21,求證: 與 共面.,【解題探究】1.空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有 序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得 其中x+y+z 的結(jié)果是多少？ 2.題(2)中要證明 與 共面，這三個(gè)向量需建立的 關(guān)系式是什么樣的？,【探究提示】1.結(jié)果為1. 2.要證明 與 共面，需用其中兩個(gè)向量表示另一個(gè) 向量. 【自主解答】(1)由P與A，B，C三點(diǎn)共面，所以 1， 解得 答案：,所以 所以 與 共面,

17、【方法技巧】 1.四點(diǎn)共面的證明及應(yīng)用 (1)利用共面向量的充要條件：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充 分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使 滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任 一點(diǎn)P都滿(mǎn)足這個(gè)關(guān)系式這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面,(2)求參數(shù)：向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值 2.證明空間向量共面的兩種方法 (1)向量表示：設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線(xiàn)性組合，即若p=xa+yb，則向量p，a，b共面. (2)用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明

18、這些向量與該平面平行.,【變式訓(xùn)練】對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C，有 則xyz1是P，A，B，C四點(diǎn)共面 的( ) A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件,【解題指南】先確定哪一部分是條件，哪一部分是結(jié)論，再 從兩個(gè)方面證明看是否成立. 【解析】選B.若xyz1，則 即 由共面向量充要條件可知向量 共面，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；反之，若P，A，B，C四點(diǎn) 共面，當(dāng)O與四個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)(比如A點(diǎn))重合時(shí)， 0，x可 取任意值，不一定有xyz1.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】A，B，C不共線(xiàn)，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若 則P，A，B，C四點(diǎn)( ) A不共面 B共面 C不一定共面 D無(wú)法判斷是否共面,【解析】選B. 所以 所以 由共面的充要條件知P，A，B，C四點(diǎn)共面,【巧思妙解】巧用共面向量的充要條件證明共面(線(xiàn)面平行) 【典例】已知E,F,G,H分別是空間四邊形 ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn). (1)證明E,F,G,H四點(diǎn)共面. (2)證明BD平面EFGH.,【教你審題】,【常規(guī)解法】