逆矩陣重點和習題ppt課件

1、逆矩陣重點和習題,1,定理：行列式某一行（或列）的每一元素與另一行（或列）元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。,即:,2 逆矩陣,一、準備知識,逆矩陣重點和習題,2,結合行列式的展開定理，有：,逆矩陣重點和習題,3,引例：若 ，求矩陣X，使：AX=E2,解：設,解線性方程組容易得到：x1=3, x2=2 ,x3=1, x4=1.,問題：對于矩陣A，是否存在一個矩陣A1，使得：,比較矩陣方程AX=B與數(shù)的方程ax=b.,二、逆矩陣的概念,逆矩陣重點和習題,4,1.定義：對于n階方陣A，如果存在一個n階方陣B，使 AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣（簡稱可逆），并稱B為A的逆矩陣。,例：對于 ，,否則稱A

2、是不可逆的。,AB=E,=BA.,故A是可逆的,，并且B為A的逆矩陣。,A的逆矩陣記為：A1,，即： A A1= A1 A=E,2.問題：,(1)怎么樣的方陣才可逆？,(2)若A可逆，逆陣有多少個？,(3)若A可逆，怎樣去求它的逆陣A1？,逆矩陣重點和習題,5,分析：,設B和C都是A的逆矩陣, 則：,AB=BA=E, AC=CA=E,B=BE,=B (AC),= (BA) C,=EC,=C,需證明B=C,（證明唯一性常用同一法）,又,注：適當乘上單位陣E，并將E表示成一個矩陣與其逆陣乘積的形式，是一種常用的技巧。,單位陣技巧,3.定理：若A可逆，則A的逆陣唯一。,三、逆陣存在的充分必要條件,1

3、.定理：若A可逆，則 .,注：如果 ，則稱A是非奇異的，否則稱A是奇異的。,逆矩陣重點和習題,6,2.伴隨矩陣：設An=（aij），令Aij是A的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式，將這n2個數(shù)排成如下n階方陣:,（注意 中Aij 的排列）,稱之為A的伴隨矩陣。,例：求 的伴隨矩陣。,逆矩陣重點和習題,7,同理可得：,解：,所以：,2,3,2,6,6,2,4,5,2,3.定理：設A為n階方陣，若 ，則A可逆，且：,逆矩陣重點和習題,8,一行元素與另一行元素對應代數(shù)余子式乘之和,|A|,0,0,0,|A|,0,|A|,0,0,一行元素與對應代數(shù)余子式乘之和,同理：,證明：,逆矩陣重點和習題,9

4、,例：求 的逆矩陣。,解：,A1存在，,故,注:求逆陣需注意:1.Aij的符號(-1)i+j;2. 中Aij的排列。,逆矩陣重點和習題,10,4.定理：方陣A可逆,推論：若A、B都是n階矩陣，且AB=E，則BA=E，即A、B皆可逆, 且A、B互為逆矩陣。,證明：,因為AB=E,，所以|A|B|=1,，|A|0, |B|0,故 A、B皆可逆。,BA,=EBA,=(A1A)BA,=A1(AB)A,=A1EA,=A1A,=E,注：1.判斷B是否為A的逆, 只需驗證AB=E或BA=E的一個等式成立即可。,2.逆矩陣是相互的。,即：若A1=B，則B1=A.,（課本54頁推論1）,逆矩陣重點和習題,11,

5、練習：1.求 的逆矩陣。,答案：1.,（其中|A|=1）,2.設A、B都是n階方陣，B可逆，且A2+AB+B2=O，證明：A和A+B均可逆。,2.提示：只需證明,把A2+AB+B2=O改寫為A(A+B)=B2,思考：,逆矩陣重點和習題,12,四、逆陣的性質(zhì),1.若A可逆，則A1也可逆，且(A1)1=A.,2.若A可逆，數(shù) ，則kA也可逆，且：,3.若A可逆，則AT也可逆，且 (AT)-1= (A -1)T.,4.若A、B為同階可逆方陣，則其積AB也可逆，且: (AB)-1= B-1A-1,推廣：,5.若A可逆，|A1|=|A|1,，(AB)-1 A-1B-1,注：一般的，,(kA)-1 kA-1,逆矩陣重點和習題,13,例：設 求矩陣X， 使 AX=B.,分析：法一：待定系數(shù)法,若,法二：,，則A可逆，,由 AX=B可得：,X=A1B,注：若YA=B,，則Y=BA1.,逆矩陣重點和習題,14,例：矩陣A、B滿足AB=2A+B，求A，其中：,分析：, AB=2A+B, AB2A=B, A(B2E)=B,若|B2E|0,，則A=B (B2E)1,容易錯為 A(B2)=B,A=B (B2E)1,逆矩陣重點和習題,15,練習：用逆矩陣解線性方程