概率與數(shù)理統(tǒng)計PPT.ppt

1、1.2 事件的概率,1.2.1 概率的初等描述,概率的直觀定義：在隨機試驗中，事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標。記為 P（A）,例：E-擲硬幣，A=正面朝上，B=反面朝上,結論：,古典概型是一種計算概率的數(shù)學模型，它是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象。,* 引例,例1 一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，編號 分別為110，現(xiàn)從中任取一球。,用i表示取到i號球，i = 1, 2, , 10，則該實驗的樣本空間 = 1,2,10（有限多個樣本點）,且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同（1/10）。,1.2.2 古 典 概 型,另如： 1擲一枚均勻的硬幣 （1）有2個可能的結果 （2）每個結果

2、的出現(xiàn)都是等可能的 2擲一枚均勻的骰子 （1）有6個可能的結果 （2）每個結果的出現(xiàn)都是等可能的 3在5個白球3個黑球任取2個 （1）有 個可能的結果 （2）每個結果的出現(xiàn)都是等可能的,古典概型中事件概率的計算,例2 一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，假設10個球中有7個是白色的，3個是紅色的，現(xiàn)從中任取一球。 A=取得白球，B=取得紅球 因此，很自然地定義,P(A)=7/10 P(B)=3/10,若一隨機試驗滿足下述兩個條件：,1) 樣本空間只含有有限多個樣本點（有限性）；,2）每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）。,則稱這種隨機試驗為古典概型,即：=1，2，n,即：對每個 i

3、= 1，2，n 有：P(1)= P(2)= P(n)=1/n,這是一類最簡單卻是常見的隨機試驗。,古典概型定義,舉例 1摸球問題 （組合問題） 例1 一袋中有大小、形狀完全相同的5個白球4個黑球，從中任取3個球 求： （1）恰有2個白球1個黑球的概率 （2）沒有黑球的概率 （3） 顏色相同的概率 解 設A=任取3個球，恰有2個白球1個黑球 B=任取3個球，沒有黑球 C=任取3個球，顏色相同 P（A）= P（B）= P（C）=,另如： 1o 52 張牌中任取4張,求 （1）2張紅桃，1張方塊，1張黑桃的概率 （2）沒有A的概率 （3）4張大小相同的概率,2o 一批產(chǎn)品100個，一、二、三、次品各

4、為20、30、40、10個，求 （1）任取5個均為一等品的概率 （2） 任取3個其中2個一等品，1個三等品的概率,3o P32 習題第6、7、8、9 、15 、 16題,概率的古典定義,在古典概型中，如果樣本空間含n個樣本點（基本事件） 事件A的有利樣本點為 m個，則定義事件的概率 P(A)為：,稱此概率為古典概率。,求概率問題,記數(shù)問題,2 排隊問題 （不可重復的排列問題） 例1 一套五卷的選集，隨機的放到書架上，求各冊自左向右或自右向左卷號恰為1、2、3、4、5順序的概率。 解 設A“各冊自左向右或自右向左卷號恰為1、2、 3、4、5順序” 樣本空間包含的基本事件總數(shù) n=5！=120 事

5、件A中包含的基本事件個數(shù)m=2 所以,例2 （ P33第12題）把10本書任意地放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率 設A其中指定的三本書放在一起 則 P（A）= ,P37 習題第13、14題,3分房問題 (生日問題) （可重復的排列問題） 例1 （ P13例4）兩封信隨機地向標號為、的4個郵筒投寄。求：（1）前兩個郵筒各投入1封信的概率（2）第個郵筒恰好投入1封信的概率 （3）兩封信投入不同郵筒的概率 解 設A前兩個郵筒各投入1封信 B第個郵筒恰好投入1封信 C兩封信投入不同郵筒 而 樣本空間包含的基本事件總數(shù)n=42=16 事件A中包含的基本事件個數(shù)mA=2!=2 事件B中包含的基

6、本事件個數(shù)mB=C21C31=6 事件C中包含的基本事件個數(shù)mC=P42=12 則 P（A）= 2/16 P（B）= 6/16 P（C）=12/16,例2 擲三枚骰子，求向上的點數(shù)全不相同的概率 解 設A向上的點數(shù)全不相同 樣本空間包含的基本事件總數(shù)n=63 事件A中包含的基本事件個數(shù)mA= P63 則 P（A）= P63/63 練習： P3310 （1） = （2） （3）,P33 習題第11題,4抓鬮問題 (抽簽問題) 例1 10人抓鬮決定誰得到4張電影票，(10張閹) 求 （1）第一人抓到電影票的概率 （2）第三人抓到電影票的概率 解 設A第一人抓到電影票 B第三人抓到電影票 1.不放回

7、地抓 （1） P（A）=4/10 （2）法1 考慮10人抽取的結果為一個基本事件，則 P（B） =,法2 考慮前3人抽取的結果為一個基本事件，則 P（B）=,2.有放回地抓 考慮10人抽取的結果為一個基本事件，則 P(B)= 考慮前3人抽取的結果為一個基本事件，則 P(B)=,解：由于球除顏色外無其它區(qū)別，故每一個球被取到的可 能性相同?？偣部赡艿娜》ㄊ牵?例2 袋中有a個白球，個黑球，從中任取一個，求（1）取出的球是白球的概率。,a+b 種,設表示“取到的是白球”,注 本例中的“球”可用其它東西代替，“顏色”也可以用其它性質代替。比如“球”被“產(chǎn)品”代替，“顏色”被“合格”或“不合格”代替等

8、。,故： 的樣本點數(shù) a P() = 樣本點總數(shù) a+b,解：設“第m次取到白球”,（2）袋中有a個白球，個黑球，從中接連任意取出(1 ma+b)個球，取出的球不放回，求第m次取出的球是白球的概率。,方法1：把a+b個球全部取出看作一個樣本點，共有（a+b）！種取法。發(fā)生共有 a1（a+b-1）！種取法， 1 a（a+b-1）！ a P()= = （a+b）！ a+b,方法2：只考慮前m次取球的情況.共有 m Pa+b 種取法。發(fā)生共有 Ca1Pam-1+b-1 種取法，故 1m-1 CaPa+b-1 a P()= = m Pa+b a+b,注意：該結果與m無關 考慮有放回地摸取，結果如何？,

9、注：本例實質上也是抽簽問題，結論說明按上述規(guī)則抽簽，每人抽中白球的機會相等，同抽簽次序無關。,解：設“他抽到會答考簽”,例3 抽簽口試，共有a+b 個考簽，每個考生抽一張，抽過的不在放回?？忌跄硶鹌渲衋個簽上的問題，他是第k個抽簽應考的人（ka+b)，求他抽到會答考簽的概率。,1 a（a+b-1）！ a P()= = （a+b）！ a+b,注意：該結果與 k 無關,古典概型的優(yōu)、缺點,優(yōu)點：古典概率可直接按公式計算，而不必進行大量的重 復試驗。,缺點：有局限性：只能用于全部結果為有限個，且等可 能性成立的情形。,一、定義 （P14） 1、度量（測度）：對某區(qū)域 D（線段、平面圖形、立體）的

10、大小的一種數(shù)量描述 （長度、面積、體積），用 (D) 表示 2、幾何概型 設區(qū)域G 區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機地（等可能地）投點，點落入G的概率與區(qū)域G的測度成正比，而與該區(qū)域在中的位置、形狀無關，則稱此概率模型為幾何概型,1.2.3 幾何概型,3、幾何概率的求法 （P14） 隨機試驗的樣本空間的測度為() ，區(qū)域G（ ）的測度為(G) ，用A表示“在區(qū)域內(nèi)任取一點，而該點落入?yún)^(qū)域G中”這一事件，則事件A的概率定義為 P（A）=,例1 49路公共汽車每隔6分鐘來一輛，現(xiàn)有某人在等車，問他等車不超過4分鐘的概率。 樣本空間 =0，6 若設A等車不超過4分鐘 A=0，4 P（A）=,例2 （會面問題 ）甲

11、乙兩人約定在6時到7時之間在某處見面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去。假定每人在指定的1小時內(nèi)任一時刻到達是等可能的，求兩人能會面的概率。 解 設A兩人能會面 x甲到達約會地點的時刻 y乙到達約會地點的時刻 則樣本空間=（x，y）| 0 x 60，0 y60 A為區(qū)域 G=（x，y）| 0 | x -y | 15 且G 于是 P（A）=,0,60,60,x,y,G,另解 設A兩人能會面 x甲到達約會地點的時刻 y乙到達約會地點的時刻 則樣本空間=（x，y）| 6x 7，6 y7 A為區(qū)域 G=（x，y）| 0 | x -y | 1/4， 且G 于是 P（A）=,0,x,y,G,例

12、3（P37 第17題）甲乙兩艘輪船向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜內(nèi)到達的時刻是等可能的。如果甲乙兩船的停泊時間都是一小時，求它們中的任何一艘都不需等候碼頭空出的概率。 解 設A它們中任何一艘都不需等候碼頭空出 x甲船到達碼頭的時刻 y乙船到達碼頭的時刻 則樣本空間=（x，y）| 0 x 24，0 y24 A為區(qū)域 G=（x，y）| | x -y | 1， 且G 于是 P（A）=,1.2.4 頻率與概率 1、頻率的定義及性質 1頻率（定義1.1)：在n次重復試驗中，若事件A發(fā)生了m次，則稱m為事件A發(fā)生的頻數(shù)，m/n為事件A發(fā)生的頻率，記為 n (A) 2 性質： （1）非負

13、性 對任意事件A，0n(A) 1 （2）規(guī)范性 對于必然事件，有n( )=1 （3）可加性 若事件A與B互不相容，則 n(A+B)=n(A)+n(B),2、概率的統(tǒng)計定義 定義1.1 在相同的條件下，重復進行n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在0到1之間的某一常數(shù)p附近擺動，且一般說來，n越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作 P(A) 注意 （1）頻率的穩(wěn)定值為概率，所以，一般n充分大時，常用頻率作為概率的近似值 （2）概率是先于試驗而存在的,設試驗的樣本空間為，設對每個事件A,都有一個實數(shù)P(A)與之對應，滿足下列三條公理：,(2) 規(guī)范性: P()=1,(3) 完全可加性（可列

14、可加性）:若Ak (k=1，2，) 兩兩互不相容，則 (Ai) = (Ai) i=1 i=1,定義1.2(概率的公理化定義),(1)非負性 : 對于任一事件A，都有 0P(A)1,則稱函數(shù)P(A)為事件A的概率。,1.2.5 概率的公理化定義,概率的主要性質,性質1 不可能事件的概率為零，即P()=0,證明 因=+，由公理得P()= P()+ P()+，故 p()=0,證明 因：,性質2 (有限可加性) 若A1，A2，An 兩兩互不相容， 則,而：,故：,由公理3得,推論： 若A1，A2，An 構成完備事件組，則,性質4 任給 A，B兩事件，則：P(AB)P(A)P(AB) 若則： P(AB)

15、P(A)P(B) P(A)P(B),證明 因,由性質2有,即：,故：,證明：因,且(A-B)與AB互不相容，由性質2 (有限可加性)，得 P(A)P(A-B)P(AB) P(AB)P(A)P(AB),當時，有：AB=B，故有：P(AB)P(A)P(B),當時，有P(AB)P(A)P(B) 0,則 P(A)P(B),證明 因： A+B=A+(B-AB) 且 A(B-AB)= （即：A與B-AB互不相容），由性質2 (有限可加性)得：,性質 加法公式 P(A+B)P(A)P(B)P(AB),一般的加法公式:,代入上式得：P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB),P(B-AB)=P(B)-P(AB),又因AB包含于B，由性質4得：,P(A+B)=P(A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB),推論：當A與B互不相容時 P(A+B)P(A)P(B),解：設 A表示“3個球中至少有2個白球”,例1：（課本P20例1)一袋內(nèi)裝有大小相同的7個球，其中4個白球，3個黑球。從中任取3個，求至少有2個白球的概率？,A1表示“3個球中正好有2個白球”,A2表示“3個球中正好有3個白球”,解：設 A表示“至少有兩件產(chǎn)品等級相同”,例2：（課本P21例3)一批產(chǎn)品共20件，其中一等品6件，二等品10件，三等品4件。從中任取3件，求