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1、1,第四講 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),一、齊次線性方程組解的性質(zhì),二、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系及其求法,第四章 向量組的線性相關(guān)性,2,一、齊次線性方程組解的性質(zhì),1.回憶:線性方程組解的理論,充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)n.,充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)=n.,3,2.解向量的概念,設(shè)有齊次線性方程組,若記,(1),4,則上述方程組可寫成向量方程,若,為方程 的解,,則,稱為方程組(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解,(2),5,3齊次線性方程組解的性質(zhì),(1)若 為 的解,則,也是 的解.,證明,6,證明:,證畢.,分析:,方程組(2)的全體解向量所組成的集合記為S,,如果能
2、求得解集S的一個(gè)最大無關(guān)組,則方程(2)的任意解都可由,都是方程(2)的解。,因此上式就是方程(2)的通解。,最大無關(guān)組 線性表示;,的性質(zhì),最大無關(guān)組 的任何線性組合,反過來,由解向量,7,基礎(chǔ)解系的定義,二、基礎(chǔ)解系及其求法,的解;,線性表出。,8,結(jié)論:,9,2.基礎(chǔ)解系的求法,求解 n元齊次線性方程組 Amn x=0的基礎(chǔ)解系,及通解的步驟(設(shè)R(A)= rn):,1. 用初等行變換把 A 化成行最簡形矩陣B;,3. 令 n - r 個(gè)自由未知量分別取如下n-r組值:,2. 寫出 A的行最簡形矩陣B所對(duì)應(yīng)的方程組 Bx=0;,1,0,0; 0,1,0; 0,0,1.,10,的基礎(chǔ)解系.,所得到的n r個(gè)向量記為,就是方程組,4. 寫出通解:,11,例1,的基礎(chǔ)解系與通解.,解,對(duì)系數(shù)矩陣 作初等行變換,變?yōu)樾凶詈喰尉仃?,?求齊次線性方程組,12,13,14,15,小結(jié):,1.齊次線性方程組解的性
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