三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用,1.物理情景 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 星體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng),2.地理情景 氣溫變化規(guī)律 月圓與月缺,3.心理、生理現(xiàn)象 情緒的波動(dòng) 智力變化狀況 體力變化狀況,4.日常生活現(xiàn)象 漲潮與退潮 股票變化 ,三角函數(shù)可以作為描述現(xiàn)實(shí)世界周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.,例1:如圖為一個(gè)纜車(chē)示意圖，該纜車(chē)半徑 為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為 0.8 m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地 面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離是h. (1)求h與間的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車(chē)第一次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的時(shí)間,答：纜車(chē)第一次到達(dá)最

2、高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間為30秒,在單位時(shí)間內(nèi)所走 的弧度即為角速度,練習(xí): 如圖，某大風(fēng)車(chē)的半徑為2m,每12s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面0.5m,風(fēng)車(chē)圓周上一點(diǎn)A從最低點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)t(s)后與地面的距離為h(m).求距離h(m)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的關(guān)系式.,解:建立直角坐標(biāo) 系如圖所示,O1,A,由題意知:所求函數(shù)的模型為,則A=2,B=2.5,T=12,=/6,t=0時(shí) h=0.5 當(dāng)t=0時(shí),sin(t+)=-1,所以=-/2,因此所求函數(shù)的關(guān)系式為 h=2sin(/6)x-/2,在單位時(shí)間內(nèi)所走 的弧度即為角速度,例3:海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一

3、般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋。下面是某港口某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：,問(wèn)題1：觀(guān)察上表的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了 什么規(guī)律？,問(wèn)題3：能根據(jù)函數(shù)模型求整點(diǎn)時(shí)的水深 嗎？,問(wèn)題2：根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖. 觀(guān)察圖形， 你認(rèn)為可以用怎樣的函數(shù)模型刻 畫(huà)其中的規(guī)律？,x,y,O,3,6,9,12,15,18,21,24,2,4,6,解：以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中 描出各點(diǎn)，并用平滑的曲線(xiàn)連接。根據(jù)圖象，可以考慮用 函數(shù) 刻畫(huà)水深與時(shí)間的關(guān)系。,從數(shù)據(jù)和圖象可以得出： A=2.5，h=5，T=12， 由,（2）一條貨船的吃水深

4、度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？,（2）貨船需要的安全水深 為 4+1.5=5.5 （米），所以 當(dāng)y5.5時(shí)就可以進(jìn)港. 令 化簡(jiǎn)得,由計(jì)算器計(jì)算可得,解得,因?yàn)?，所以有函數(shù)周期性易得,因此，貨船可以在凌晨零時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)30分左右出 港；或在中午12時(shí)30分左右進(jìn)港，下午17時(shí)30分左右出港，每次 可以在港口停留5小時(shí)左右。,解：,（3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)候必須停止卸貨，將船駛向較深

5、的水域。,x,o,y,3,6,9,12,15,18,21,24,2.5,5,7.5,2,（3）設(shè)在時(shí)刻x船舶的安全水深為y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x2),在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以看到在6時(shí)到7時(shí)之間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn).,通過(guò)計(jì)算可得在6時(shí)的水深約為5米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.3米；6.5時(shí)的水深約為4.2米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.1米；7時(shí)的水深約為3.8米，而船舶的安全水深約為4米，因此為了安全，船舶最好在6.5時(shí)之前停止卸貨，將船舶駛向較深的水域.,安全：水深吃水深度,通過(guò)計(jì)算可得在6時(shí)的水深約為5米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.3米；6.5時(shí)的水深約為4.2米，此時(shí)船舶的安全水深約為4.1米；7時(shí)的水深約為3.8米，而船舶的安全水深約為4米，因此為了安全，船