1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積.ppt

1、空間幾體的表面積與體積1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積云龍一中陳萍,在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？,幾何體表面積,提出問題,正方體、長方體是由多個平面圍成的幾何體，它們的表面積就是各個面的面積的和,因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積,引入新課,棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？,探究,棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,h,棱柱的展開圖,正棱柱的側(cè)面展開圖,棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,棱錐的展開圖,棱錐的側(cè)

2、面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,棱錐的展開圖,側(cè)面展開,正棱錐的側(cè)面展開圖,棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,棱臺的展開圖,側(cè)面展開,正棱臺的側(cè)面展開圖,棱柱、棱錐、棱臺的表面積,棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和,例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 ,分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成,因為BC=a，,所以：,交BC于點D,解：先求 的面積，過點S作 ，,典型例題,因此，四面體S-ABC 的表面積為 ,圓柱的表面積,圓柱的側(cè)面展開

3、圖是矩形,圓錐的表面積,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,圓臺的表面積,參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么 ,圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán),三者之間關(guān)系,圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？,例2 如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取3.14，結(jié)果精確到1 ）？,解：由圓臺的表面積公式得 花盆的表面積：,答：花盆的表面積約是999 ,典型例題,柱體、錐體、臺體的表面積,知識小結(jié),圓臺,圓柱,圓錐,作業(yè)： P28習(xí)題1.3A組 1，2，5,簡單幾何體的側(cè)面積,我們所要研究

4、的簡單幾何體： 柱體、錐體、臺體 旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐、圓臺 多面體：棱柱、棱錐、棱臺 側(cè)面積：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積,圓柱、圓錐、圓臺它們的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它們的側(cè)面積？,探究,一、（1）圓柱的側(cè)面積,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,S圓柱側(cè)=,(2)圓錐的側(cè)面積：,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,S圓錐側(cè)=,(3)圓臺的側(cè)面積：,圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán),二、（1）直棱柱的側(cè)面積,直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形,棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它們的側(cè)面積？,探究,（2）正棱錐的側(cè)面積,正棱錐的側(cè)面展開圖是 一些

5、全等的等腰三角形,（3）正棱臺的側(cè)面積,正棱臺的側(cè)面展開 圖是全等的等腰梯形,解 析：s =s側(cè)面積+2s底面積,例2：圓臺的上、下底面半徑分別是10和20 ，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180，求圓臺的側(cè)面積。（保留 ）,例3 一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3cm和6cm，高是 cm。求三棱臺的側(cè)面積。,練習(xí)：p25 1.已知正六棱柱的高為h,底面邊長為 a，求表面積。 2.從長方體一個頂點出發(fā)的三個面的面積分別為6，8，10，求它的對角線的長。 3.正四棱臺的上、下底面邊長分別是3，6，其側(cè)面積等于兩底面積之和，則其高和斜高分別是多少？ 4.要對一批圓錐形實心零部件的表面進(jìn)行防腐處理

6、，每平方厘米的加工處理費為0.15元。已知圓錐底面直徑與母線長相等，都等于5 cm，問加工處理1000個這樣的零件，需加工處理費多少元？（精確到0.01元）,小結(jié)：,S圓柱側(cè)=,S圓錐側(cè)=,1.3.1 柱體、錐體、臺體，球體的體積,以前學(xué)過特殊的棱柱正方體、長方體以及圓柱的體積公式,它們的體積公式可以統(tǒng)一為：,（S為底面面積，h為高）,柱體體積,圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的 ,圓錐體積,（其中S為底面面積，h為高）,由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于 底面面積乘高的 ,經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積的 即棱錐的體積：,錐體體

7、積,臺體體積,由于圓臺(棱臺)是由圓錐(棱錐)截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差得到圓臺(棱臺)的體積公式(過程略),根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？,棱臺（圓臺）的體積公式,其中 ， 分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）的高,臺體體積,柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？,S為底面面積，h為柱體高,S分別為上、下底面面積，h 為臺體高,S為底面面積，h為錐體高,臺體體積,例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個（ 取3.14）？,解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與

8、圓柱體積之差，即:,答：這堆螺帽大約有252個,典型例題,如果用油漆去涂一個乒乓球和一個籃球，且涂的油漆厚度相同，問哪一個球所用的油漆多？為什么？,問題一,實際問題,一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個球充入的氣體較多？為什么？,問題二,實際問題,球的體積,球的表面積,例4：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證： （1）球的體積等于圓柱體積的 （2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.,球的體積,例5 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的如果是實心

9、的，請你計算出它的內(nèi)徑（取3.14，結(jié)果精確到1cm）,解：由于外徑為50cm的鋼球的質(zhì)量為：,街心花園中鋼球的質(zhì)量為145000g，而145000517054，所以鋼球是空心的,球的表面積,例5 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的如果是實心的，請你計算出它的內(nèi)徑（取3.14，結(jié)果精確到1cm）,解：,設(shè)球的內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為：,答：鋼球是空心的其內(nèi)徑約為45cm,例6 如圖表示一個用鮮花作成的花柱，它的下面是一個直徑為1m、高為3m的圓柱形物體，上面是一個半球形體如果每平方米大

10、約需要鮮花150朵，那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（取3.1)？,解：圓柱形物體的側(cè)面面積,半球形物體的表面積為,答：裝飾這個花柱大約需要1635朵鮮花,球的表面積,(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼?倍. (2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼?倍. (3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是 . (4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是 .,練習(xí),隨堂練習(xí),影響球的表面積及體積的只有一個元素，就是球的半徑.,柱體、錐體、臺體的體積,錐體,臺體,柱體,知識小結(jié),球的體積,球的表面積,作業(yè) P32 習(xí)題1.3A組 3，4 B組 1,柱體、錐體、臺體的表面

11、積,在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？,幾何體表面積,提出問題,正方體、長方體是由多個平面圍成的幾何體，它們的表面積就是各個面的面積的和,因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積,引入新課,棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？,探究,棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,h,棱柱的展開圖,正棱柱的側(cè)面展開圖,棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,棱錐的展開圖,棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,棱錐的展開圖,側(cè)面展開,正棱錐

12、的側(cè)面展開圖,棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？,棱錐的展開圖,側(cè)面展開,正棱臺的側(cè)面展開圖,棱柱、棱錐、棱臺的表面積,棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和,例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 ,分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成,因為BC=a，,所以：,因此，四面體S-ABC 的表面積,交BC于點D,解：先求 的面積，過點S作 ，,典型例題,求多面體的表面積可以通過求各個平面多邊形的面積和得到,那么旋轉(zhuǎn)體的面積該如何求呢?,思考,圓柱的表面

13、積,圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,圓錐的表面積,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,圓臺的表面積,參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)面展開圖是什么 ,圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán),三者之間關(guān)系,圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？,例2 如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取3.14，結(jié)果精確到1 ）？,解：由圓臺的表面積公式得 花盆的表面積：,答：花盆的表面積約是999 ,典型例題,課堂練習(xí),1、一個三棱柱的底面是正三角形，邊長為4，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)棱長10,求其表面積. 2、一個圓臺，上

14、、下底面半徑分別為10、20，母線與底面的夾角為60，求圓臺的表面積. 變式：求切割之前的圓錐的表面積 3、面積為2的菱形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積是多少？ 4、若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為3，求這個圓錐的表面積,柱體、錐體、臺體的表面積,知識小結(jié),圓臺,圓柱,圓錐,作業(yè)布置,書本P28 A組1,2 附加題:圓錐的底面半徑為2cm，高為4cm，求圓錐的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值.,柱體、錐體、臺體的體積,、長方體的體積,等底等高柱體的體積相等嗎？,2、柱體的體積,定理：等底等高柱體的體積相等,祖恒原理,將一個三棱柱按如圖所示分解成三個三棱錐，那么這三個三棱錐的體積有什么關(guān)系

15、？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？,思考4:推廣到一般的棱錐和圓錐，你猜想錐體的體積公式是什么？,3、錐體的體積,定理：等底等高錐體的體積相等,等底等高的棱柱和棱錐體積的關(guān)系,4、臺體的體積,例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制六角螺帽共重5.8kg（鐵的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六邊形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個？,求此棱柱挖去圓柱后的體積和表面積,引申:.圓柱的側(cè)面展開圖如下左圖所示，求此圓柱的體積。,側(cè)面展開圖,直觀圖1,直觀圖2,引申2:已知正四棱臺兩底面的邊長, 和棱臺體積, 求棱臺的高.,球的表面積和體積,柱、錐、臺體積的關(guān)系,知

16、識探究（一）:球的體積,思考1:從球的結(jié)構(gòu)特征分析，球的大小由哪個量所確定？,思考2:底面半徑和高都為R的圓柱和圓錐的體積分別是什么？,思考3:如圖，對一個半徑為R的半球，其體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小關(guān)系？,思考4:根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你猜想半球的體積是什么？,思考5:由上述猜想可知，半徑為R的球的 體積 ，這是一個正確的結(jié)論，你 能提出一些證明思路嗎？,O.,問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.,問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.,知識探究（二）:球的表面積,思考1:半徑為r的圓面積公式是什么？它是怎樣得出來的？,思考2:把球面任意分割成n個“小球面片”，它們的面

17、積之和等于什么？,思考3:以這些“小球面片”為底，球心為頂點的“小錐體”近似地看成棱錐，那么這些小棱錐的底面積和高近似地等于什么？它們的體積之和近似地等于什么？,思考4:你能由此推導(dǎo)出半徑為R的球的表面積公式嗎？,思考5:經(jīng)過球心的截面圓面積是什么？它與球的表面積有什么關(guān)系？,球的表面積等于球的大圓面積的4倍,例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.,定理:半徑是R的球的體積,變式1：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2),解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是,答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.,由計算器算得:,(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?,用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?,球內(nèi)切于正方體,側(cè)棱長為5cm,例2 已知正方體的八個頂點都在球O的球面上，且正方體的表面積為a2，求球O的表面積和體積.,變式3.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.,作軸截面,兩個幾何體相切:一個幾何體的各個面與另一個